2022屆九年級數(shù)學下冊 第二章 2.3 垂徑定理練習 (新版)湘教版

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1、2022屆九年級數(shù)學下冊 第二章 2.3 垂徑定理練習 (新版)湘教版 基礎題                知識點1 垂徑定理 1.(長沙中考改編)如圖,在⊙O中,弦AB=6,圓心O到AB的距離OC=2,則⊙O的半徑長為(B) A. B. C.2 D.4   2.如圖,AB是⊙O的弦,OD⊥AB于D,交⊙O于E,則下列說法錯誤的是(D) A.AD=BD B.∠AOE=∠BOE C.= D.OD=DE 3.如圖,在⊙O中,直徑CD垂直于弦AB.若∠C=25°,則∠BOD的度數(shù)是(D) A.25° B.30° C.40° D.50°

2、 4.如圖,AB是⊙O的弦,半徑OC⊥AB于點D.若⊙O的半徑為5,AB=8,則CD的長是(A) A.2 B.3 C.4 D.5 5.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,OC=5 cm,CD=6 cm,則OE=4cm. 6.(教材P59例1變式)如圖,在⊙O中,直徑AB垂直弦CD于點M,AM=18,BM=8,則CD的長為24. 7.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,點M在⊙O上,MD恰好經(jīng)過圓心O,連接MB.若CD=16,BE=4,求⊙O的直徑. 解:∵AB⊥CD,CD=16, ∴CE=DE=8. 設OB=x,∵BE=4,

3、 ∴x2=(x-4)2+82. 解得x=10. ∴⊙O的直徑是20. 知識點2 垂徑定理的實際應用 8.(教材P60習題T1變式)一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑OB=10,截面圓圓心O到水面的距離OC是6,則水面寬AB是(A) A.16 B.10 C.8 D.6 9.如圖所示,某窗戶是由矩形和弓形組成,已知弓形的跨度AB=3 m,弓形的高EF=1 m,現(xiàn)計劃安裝玻璃,請幫工程師求出所在圓O的半徑r. 解:由題意,知OA=OE=r. ∵EF=1,∴OF=r-1. ∵OE⊥AB, ∴AF=AB=×3=1.5. 在Rt△OAF中,OF2+AF

4、2=OA2, 即(r-1)2+1.52=r2.解得r=. ∴圓O的半徑為 m. 易錯點 忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑” 10.下列說法正確的是(D) A.過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧 B.弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧,但不一定過圓心 C.過弦的中點的直徑垂直于弦 D.平分弦所對的兩條弧的直徑平分弦 中檔題 11.如圖,將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長為(C) A.2 cm B. cm C.2 cm D.2 cm 12.(xx·棗莊)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點P,AP=2,

5、BP=6,∠APC=30°.則CD的長為(C) A. B.2 C.2 D.8 提示:過點O作OH⊥PD于H,連接OD.AP=2,BP=6,則AO=BO=4,則PO=2,又∠OPH=∠APC=30°,∴OH=1,OD=OB=4,在Rt△HOD中,HD==,∴CD=2HD=2. 13.如圖,以點P為圓心的圓弧與x軸交于A,B兩點,點P的坐標為(4,2),點A的坐標為(2,0),則點B的坐標為(6,0). 14.(xx·黃岡)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB.若AD=6,則AC=2. 15.(xx·孝感)已知

6、⊙O的半徑為10 cm,AB,CD是⊙O的兩條弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,則弦AB和CD之間的距離是2或14cm. 16.(xx·安徽)如圖,⊙O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5. (1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標出它與劣弧BC的交點E;(保留作圖痕跡,不寫作法) (2)若(1)中的點E到弦BC的距離為3,求弦CE的長. 解:(1)畫圖如圖所示. (2)∵AE平分∠BAC, ∴=. 連接OE,OC,EC,則OE⊥BC于點F,EF=3. 在Rt△OFC中,由勾股定理可得, FC===. 在Rt△EFC中,由勾股定理可得, CE===

7、. 17.如圖,CD為⊙O的直徑,弦AB交CD于點E,連接BD,OB. (1)求證:△AEC∽△DEB; (2)若CD⊥AB,AB=8,DE=2,求⊙O的半徑. 解:(1)證明:根據(jù)“同弧所對的圓周角相等”, 得∠A=∠D,∠C=∠ABD, ∴△AEC∽△DEB. (2)∵CD⊥AB,O為圓心, ∴BE=AB=4. 設⊙O的半徑為r,∵DE=2,則OE=r-2. ∴在Rt△OEB中,由勾股定理,得OE2+EB2=OB2, 即(r-2)2+42=r2,解得r=5. ∴⊙O的半徑為5. 綜合題 18.如圖,已知∠MAN=30°,O為邊AN上一點,以O為圓心,

8、2為半徑作⊙O,交AN于D,E兩點,設AD=x.當x為何值時,⊙O與AM相交于B,C兩點,且∠BOC=90°? 解:過點O作OF⊥BC于點F. ∵∠BOC=90°,OB=OC=2, ∴∠OBC=45°, BC==2. ∵OF⊥BC,∴BF=BC=,∠BOF=45°. ∴∠OBF=∠BOF. ∴OF=BF=. ∵∠MAN=30°,∴OA=2OF=2. ∴AD=2-2, 即當x=2-2時,∠BOC=90°. 小專題(五) 與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計算與證明 1.已知:如圖,A,B,C,D是⊙O上的點,∠1=∠2,AC=3 cm. (1)求證:=; (2)求BD的長.

9、 解:(1)證明:∵∠1=∠2, ∴=, ∴+=+. ∴=. (2)∵=, ∴AC=BD. ∵AC=3 cm, ∴BD=3 cm. 2.A,B是⊙O上的兩個定點,P是⊙O上的動點(P不與A,B重合),我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于點A,B的滑動角.已知∠APB是⊙O上關(guān)于點A,B的滑動角. (1)若AB是⊙O的直徑,則∠APB=90°; (2)如圖,若⊙O的半徑是1,AB=,求∠APB的度數(shù). 解:連接OA,OB,AB. ∵⊙O的半徑是1,即OA=OB=1, 又∵AB=, ∴OA2+OB2=AB2. 由勾股定理的逆定理可得,∠AOB=90°. ∴∠APB=

10、∠AOB=45°. 3.如圖,AB是⊙O的直徑,C,D兩點在⊙O上.若∠C=45°. (1)求∠ABD的度數(shù); (2)若∠CDB=30°,BC=3,求⊙O的半徑. 解:(1)連接AD. ∵∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠BCD=45°. ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°. ∴∠ABD=45°. (2)連接AC. ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°. ∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=3, ∴AB=6. ∴⊙O的半徑為3. 4.如圖,A,P,B,C是圓上的四個點,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延長線相交于點D. (1)求證

11、:△ABC是等邊三角形; (2)若∠PAC=90°,AB=2,求PD的長. 解:(1)證明:∵A,P,B,C是圓上的四個點, ∴∠ABC=∠APC,∠CPB=∠BAC. ∵∠APC=∠CPB=60°, ∴∠ABC=∠BAC=60°. ∴∠ACB=60°. ∴△ABC是等邊三角形. (2)∵△ABC是等邊三角形, ∴∠ACB=60°,AC=AB=BC=2. ∵∠PAC=90°,∴∠DAB=∠D=30°. ∴BD=AB=2. ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形,∠PAC=90°, ∴∠PBC=∠PBD=90°. 在Rt△PBD中,PD===4. 5.如圖,一圓

12、弧形橋拱的圓心為E,拱橋的水面跨度AB=80米,橋拱到水面的最大高度為20米.求: (1)橋拱的半徑; (2)現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米,求水面上漲的高度為多少米? 解:(1)過點E作EF⊥AB于點F,延長EF交圓于點D,則由題意得DF=20. 由垂徑定理知, 點F是AB的中點,AF=FB=AB=40米, EF=ED-FD=AE-DF, 由勾股定理知,AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-DF)2. 設圓的半徑是r, 則r2=402+(r-20)2, 解得r=50. 即橋拱的半徑為50米. (2)設水面上漲后水面跨度MN為60米, MN交ED于H,連接EM,

13、 則MH=NH=MN=30米, ∴EH==40(米). ∵EF=50-20=30(米), ∴HF=EH-EF=10米. 6.已知△ABC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點D,E,連接ED.若ED=EC. (1)求證:AB=AC; (2)若AB=4,BC=2,求CD的長. 解:(1)證明:∵ED=EC, ∴∠EDC=∠C. ∵∠EDC+∠ADE=180°,∠ADE+∠B=180°, ∴∠EDC=∠B. ∴∠B=∠C.∴AB=AC. (2)連接AE,∵AB為直徑, ∴AE⊥BC. 由(1)知,AB=AC, ∴BE=CE=BC=. 在△ABC與△EDC中

14、, ∵∠C=∠C,∠CDE=∠B, ∴△ABC∽△EDC. ∴=. ∴CE·CB=CD·CA. ∵AC=AB=4, ∴×2=4CD. ∴CD=. 7.如圖,在△ABC中,AB=BC=2,以AB為直徑的⊙O分別交BC,AC于點D,E,且點D為BC的中點. (1)求證:△ABC為等邊三角形; (2)求DE的長; (3)在線段AB的延長線上是否存在一點P,使△PBD≌△AED,若存在,請求出PB的長;若不存在,請說明理由. 解:(1)證明:連接AD. ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°. ∵點D是BC的中點, ∴AD是線段BC的垂直平分線. ∴AB=AC. ∵AB=BC,∴AB=BC=AC. ∴△ABC為等邊三角形. (2)連接BE. ∵AB是直徑,∴∠AEB=90°. ∴BE⊥AC. ∵△ABC是等邊三角形, ∴AE=EC,即E為AC的中點. ∵D是BC的中點,故DE為△ABC的中位線, ∴DE=AB=×2=1. (3)存在點P使△PBD≌△AED, 由(1)(2)知,BD=ED, ∵∠BAC=60°,DE∥AB,∴∠AED=120°. ∵∠ABC=60°,∴∠PBD=120°. ∴∠PBD=∠AED. 要使△PBD≌△AED,只需PB=AE=1.

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