《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練23 正弦定理和余弦定理 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練23 正弦定理和余弦定理 文(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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一、選擇題
1.在△ABC中,已知b=6,c=6,B=30°,則A等于( )
A.60° B.90°
C.30°或90° D.60°或120°
[解析] 由csinB=3
2、 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得5=b2+4-b,即3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去).故選D.
[答案] D
3.(2017·合肥模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是( )
A.3 B.
C. D.3
[解析] c2=(a-b)2+6,
即c2=a2+b2-2ab+6.①
∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,②
由①和②得ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×=,故選C.
[答案] C
4.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,
3、AB=2BC=2CD,則cos∠DAC=( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖所示,設(shè)CD=a,則易知AC=a,AD=a,在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos∠DAC,∴a2=(a)2+(a)2-2×a×a×cos∠DAC,∴cos∠DAC=.
[答案] B
5.(2017·山東卷)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是( )
A.a(chǎn)=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
[解析] 由題
4、意可知sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),即2sinBcosC=sinAcosC,又cosC≠0,故2sinB=sinA,由正弦定理可知a=2b.
[答案] A
6.(2017·甘肅省張掖市高三一診)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若c=2a,bsinB-asinA=asinC,則sinB為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由bsinB-asinA=asinC,且c=2a,得b=a,∵cosB===,∴sinB= =.故選A.
[答案] A
二、填空題
7.在△ABC中,已知sin(B+A)+sin(B-A
5、)=2sinAcosA,則△ABC的形狀為_(kāi)_______.
[解析] 由已知得sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=2sinAcosA,即sinBcosA=sinAcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,若cosA=0,則A=,△ABC為直角三角形.
若sinB-sinA=0,則A=B或A+B=π(舍去).
△ABC為等腰三角形,故△ABC為直角三角形或等腰三角形.
[答案] 直角三角形或等腰三角形
8.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,則b=________.
[解
6、析] 在△ABC中,∵cosA=,cosC=,∴sinA=,sinC=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=×+×=.由正弦定理=,可得b==1××=.
[答案]
9.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=________.
[解析] 解法一:依題意得2b×=a×+c×,即a2+c2-b2=ac,所以2accosB=ac>0,cosB=.又00,因此cos
7、B=,又0
8、S=ac·sinB=.
[能力提升]
11.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA·(sinC-cosC)=0,a=2,c=,則C=( )
A. B.
C. D.
[解析] 因?yàn)閟inB+sinA(sinC-cosC)=0,所以sin(A+C)+sinA·sinC-sinA·cosC=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,整理得sinC(sinA+cosA)=0,因?yàn)閟inC≠0,所以sinA+cosA=0,所以tanA=-1,所以A∈(0,π),所以A=,由正弦定理得s
9、inC===,又0
10、的對(duì)邊分別是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,則△ABC的面積為_(kāi)_______.
[解析] 由正弦定理=得sinB==,又c>b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,所以S=bcsinA=×2×2sin=×2×2×=+1.
[答案]?。?
14.(2017·河北石家莊模擬)已知在△ABC中,角C為直角,D是邊BC上一點(diǎn),M是AD上一點(diǎn),且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,則MA=________.
[解析] 設(shè)∠DMB=θ,則∠ADC=2θ,∠DAC=-2θ,∠AMB=π-θ,∠ABM=-2θ.
在△CDA中,利用正弦定理得=;
在△AMB中,利用正弦定理得=,
11、又在Rt△ABC中,cosθ=,
∴===,又CD=1,從而MA=2.
[答案] 2
15.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).
[解] (1)由題設(shè)得acsinB=,即csinB=.
由正弦定理得sinCsinB=.
故sinBsinC=.
(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-.
所以B+C=,故A=.
由題設(shè)得bcsinA=,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,
12、即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.
故△ABC的周長(zhǎng)為3+.
16.(2017·四川省成都市高三二檢)如圖,在平面四邊形ABCD中,已知A=,B=,AB=6.在AB邊上取點(diǎn)E,使得BE=1,連接EC,ED.若∠CED=,CE=.
(1)求sin∠BCE的值;
(2)求CD的長(zhǎng).
[解] (1)在△BEC中,由正弦定理,知=.
∵B=,BE=1,CE=,
∴sin∠BCE===.
(2)∵∠CED=B=,∴∠DEA=∠BCE,∴cos∠DEA=== =.
∵A=,∴△AED為直角三角形,又AE=5,
∴DE===2.
在△CED中,CD2=CE2+DE2-2CE·
13、DE·cos∠CED=7+28-2××2×=49.
∴CD=7.
[延伸拓展]
(2017·廣東汕頭一模)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且滿足b=c,=,若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn),∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2,OB=1,則四邊形OACB面積的最大值是( )
A. B. C.3 D.
[解析] 由=及正弦定理可得sinB·cosA=sinA-sinAcosB,∴sin(A+B)=sinA,∴sinC=sinA,又A,C∈(0,π),∴C=A,∴c=a,又b=c,∴△ABC是等邊三角形,設(shè)該三角形的邊長(zhǎng)為x,則x2=12+22-2×1×2×cosθ=5-4cosθ,則S四邊形OACB=×1×2sinθ+x2=sinθ+(5-4cosθ)=2sin+,又θ∈(0,π),∴當(dāng)θ=時(shí),S四邊形OACB取得最大值.故選B.
[答案] B