3、＝∠BOC；
(3)若∠AOC＝∠BOC，則＝，AC＝BC．
8．如圖，在⊙O中，點C是的中點，∠OAB＝50°，則∠BOC等于40°．
9．如圖所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，則∠A＝40°．
10．(教材P49練習T2變式)如圖所示，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝34°，求∠AEO的度數(shù)．
解：∵＝＝，
∠COD＝34°，
∴∠BOE＝102°.
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAO＝∠BOE＝51°.
中檔題
11．如圖，AB是⊙O的直徑，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA.則∠BCD等于(C)
A．100° B．11
4、0° C．120° D．135°
12．如圖，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分別為C，F(xiàn)，則下列說法中，正確的個數(shù)為(D)
①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF.
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知，是同圓的兩段弧，且＝2，則弦AB與2CD之間的關系為(B)
A．AB＝2CD
B．AB＜2CD
C．AB＞2CD
D．不能確定
提示：如圖，在圓上截?。?，連接DE，CE，則有＝.∴AB＝CE.又CD＋DE＝2CD>CE＝AB，∴AB＜2CD，故選B.
14．如圖，A
5、，B，C是⊙O上的三點，且有＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度數(shù)；
(2)連接AB，BC，CA，試確定△ABC的形狀．
解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.
(2)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA.
∴△ABC是等邊三角形．
15．如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，過點A作AE∥CD交⊙O于點E，連接BD，DE，求證：BD＝DE.
證明：連接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA.
∵AE∥CD，
∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA.
6、
∴∠BOD＝∠DOE.
∴BD＝DE.
16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB.求證：＝.
證明：連接OC，OD，
∵AB是⊙O的直徑，M，N分別是AO，BO的中點，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．
∴∠＝∠DON.
∴＝.
綜合題
17．如圖，在⊙O中，AB，CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).
(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE與OF的大小有什么關系？為什么？
7、
(2)如果OE＝OF，那么與的大小有什么關系？為什么？
解：(1)OE＝OF.理由：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD.
在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD(AAS)．
∴OE＝OF.
(2)＝.
理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO＝BO，CO＝DO，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°.
∴點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．
在Rt△BEO和Rt△DFO中，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)．
∴BE＝DF.
8、
∵AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD.
∴＝.
2.2.2 圓周角
第1課時 圓周角定理及其推論1
基礎題
知識點1 認識圓周角
1．下列四個圖中，∠x是圓周角的是(C)
知識點2 圓周角定理
2．(xx·衢州)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，則∠AOB的度數(shù)是(B)
A．75° B．70° C．65° D．35°
3．如圖，△ABC內接于⊙O.若∠A＝α，則∠OBC等于(D)
A．180°－2α B．2α
C．90°＋α D．90°－α
4．如圖，將直角三角板60°角的頂點放在
9、圓心O上，斜邊和一直角邊分別與⊙O相交于A，B兩點，P是優(yōu)弧AB上任意一點(與A，B不重合)，則∠APB＝30°．
5．(xx·廣東)在同圓中，已知弧AB所對的圓心角是100°，則弧AB所對的圓周角是50°．
知識點3 圓周角定理推論1
6．如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于點E，則∠ABD＝(A)
A．∠ACD B．∠ADB
C．∠AED D．∠ACB
7．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A)
A．28° B．42° C．56° D．84°
8．(教材P5
10、2練習T3變式)如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，則∠B等于(C)
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，則∠BDC的度數(shù)是(D)
A．60° B．45° C．35° D．30°
10．如圖所示，弦AB，CD相交于點O，連接AD，BC，在不添加輔助線的情況下，請在圖中找出一對相等的角，它們是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．
11．如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四個點
11、，AB＝BC，BD交AC于點E，連接CD，AD.求證：DB平分∠ADC.
證明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠BDC＝∠ADB.
∴DB平分∠ADC.
易錯點 忽略弦所對的圓周角不唯一而致錯
12．已知某個圓的弦長等于它的半徑，則這條弦所對的圓周角的度數(shù)為30°或150°．
中檔題
13．如圖，P是⊙O外一點，PA，PB分別交⊙O于C，D兩點，已知和所對的圓心角分別為90°和50°，則∠P＝(D)
A．45° B．40° C．25° D．20°
14．(xx·菏澤)如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，則∠OBA等于(D)
A．6
12、4° B．58° C．32° D．26°
15．如圖，邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠AED的正弦值等于．
16．如圖所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，則∠ABO的度數(shù)為50°．
17．(教材P52練習T3變式)如圖，在⊙O中，A，B是圓上的兩點，已知∠AOB＝40°，直徑CD∥AB，連接AC，則∠BAC＝35°．
18．如圖，點A，B，C三點在⊙O上，過C作CD∥AB與⊙O相交于D點，E是上一點，且滿足AD＝DE，連接BD與AE相交于點F.求證：△AFD∽△ABC.
證明：∵AB∥CD，
∴
13、∠BAC＝∠ACD.
∵AD＝DE，∴＝.
∴∠DAE＝∠AED.
∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.
∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，
∴△AFD∽△ABC.
綜合題
19．如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；
(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．
證明：(1)△ABC是等邊三角形．
在⊙O中，
∵∠BAC與∠CPB是所對的圓周角，
∠ABC與∠APC是所對的圓周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.
又∵∠A
14、PC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC為等邊三角形．
(2)在PC上截取PD＝AP，連接AD，
∵∠APC＝60°，
∴△APD是等邊三角形．
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，
即∠ADC＝120°.
又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB.
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC(AAS)．
∴BP＝CD.
又∵PD＝AP.
∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.
第2課時 圓周角定理推論2及圓內接四邊形的性質
基礎題
知識點1 圓周角定理推論2
1．(xx·福建)如圖，AB是⊙O的
15、直徑，C，D是⊙O上位于AB異側的兩點．則下列四個角中，一定與∠ACD互余的角是(D)
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
2．如圖，小華同學設計了一個量直徑的測量器，標有刻度的尺子OA，OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE＝8個單位長度，OF＝6個單位長度，則圓的直徑為(B)
A．12個單位長度 B．10個單位長度
C．4個單位長度 D．15個單位長度
3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D＝40°，則∠CAB的度數(shù)為(C)
A．20° B．40° C．50°
16、 D．70°
4．如圖，CD是⊙O的直徑，已知∠1＝30°，則∠2＝(C)
A．30° B．45° C．60° D．70°
5．如圖，把直角三角形的直角頂點O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，則該圓玻璃鏡的半徑是(B)
A. cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
6．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度數(shù)．
解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°.
∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.
17、∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝40°.
知識點2 圓內接四邊形對角互補
7．如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，E是BC延長線上一點．若∠BAD＝105°，則∠DCE的大小是(B)
A．115° B．105° C．100° D．95°
8．(教材P55例4變式)(xx·邵陽)如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是(B)
A．80° B．120° C．100° D．90°
9．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，已知∠BCD＝110°，則∠BAD＝
18、70°．
10．如圖，已知∠EAD是圓內接四邊形ABCD的一個外角，并且BD＝DC.求證：AD平分∠EAC.
證明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB.
∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.
易錯點 對圓內接四邊形的概念理解不清導致錯誤
11．如圖，在⊙O中，點A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，則∠α＝140°．
中檔題
12．在圓內接四邊形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，則∠D等于(B)
A．60° B．1
19、20° C．140° D．150°
13．如圖，AB為⊙O的直徑，關于角p，q，r，s之間的關系：①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180°中，正確的是(A)
A．只有①和② B．只有①和③
C．只有②和③ D．①②③
14．(xx·白銀)如圖，⊙A過點O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO，BD，則∠OBD的度數(shù)是(B)
A．15° B．30° C．45° D．60°
15．(xx·北京)如圖，點A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ADB＝70°．
16
20、．如圖，已知點A，B，C，D均在⊙O上，CD為∠ACE的平分線．
(1)求證：△ABD為等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半徑．
解：(1)證明：
∵CD平分∠ECA，
∴∠ECD＝∠DCA.
∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠ECD＝∠DAB.
又∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB.
∴DB＝DA.
∴△ABD是等腰三角形．
(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，
∴∠ECA＝∠ACB＝90°.
∴∠BDA＝90°.∴AB是直徑．
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝＝＝6.
∴⊙O的半徑為3.
21、
17．(xx·宜昌)如圖，在△ABC中，AB＝AC.以AB為直徑的半圓交AC于點D，交BC于點E.延長AE至點F，使EF＝AE，連接FB，F(xiàn)C.
(1)求證：四邊形ABFC是菱形；
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圓和菱形ABFC的面積．
解：(1)證明：∵AB為半圓的直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE.
又∵EF＝AE，
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90°)
∴平行四邊形ABFC是菱形．
(2)連接BD.
∵AD＝7，BE＝CE＝2，
設CD＝x，則AB＝AC＝7＋x.
∵AB為半圓的直徑，
∴
22、∠ADB＝90°.
∴AB2－AD2＝CB2－CD2.
∴(7＋x)2－72＝42－x2.
∴x1＝1或x2＝－8(舍去)．
∴S半圓＝×π×42＝8π.
∴BD＝.
∴S菱形ABFC＝8.
綜合題
18．如圖，在⊙O中，直徑AB的兩側有定點C和動點P，點P在上運動(不與A，B重合)，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q.
(1)試猜想：△PCQ與△ACB具有何種關系？(不要求證明)
(2)當點P運動到什么位置時，△ABC≌△PCB？并給出證明．
解：(1)△PCQ∽△ACB.
(2)當為半圓時，
△ABC≌△PCB.
證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°.
∵為半圓，
∴CP是直徑．
∴∠PBC＝90°，AB＝CP.
∵CB是公共邊，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．
2022屆九年級數(shù)學下冊 第二章 2.2 圓心角、圓周角練習 （新版）湘教版
