《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時跟蹤訓(xùn)練24 解三角形應(yīng)用舉例 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時跟蹤訓(xùn)練24 解三角形應(yīng)用舉例 文(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時跟蹤訓(xùn)練24 解三角形應(yīng)用舉例 文
一、選擇題
1.已知兩座燈塔A、B與C的距離都是a,燈塔A在C的北偏東20°,燈塔B在C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為( )
A.a(chǎn) B.a
C.a D.2a
[解析] 如圖所示,由余弦定理可知,AB2=a2+a2-2a·a·cos120°=3a2得AB=a.故選B.
[答案] B
2.如圖,設(shè)A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計算出A、B兩點的距離為(
2、)
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
[解析] 由題意得∠B=180°-45°-105°=30°,
由正弦定理得=,
∴AB===50(m).
[答案] A
3.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站北偏東40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的( )
A.北偏東10° B.北偏西10°
C.南偏東10° D.南偏西10°
[解析] 燈塔A、B的相對位置如圖所示,由已知得∠ACB=80°,
∠CAB=∠CBA=50°,
則α=60°-50°=10°,即北偏西10°.
[答案] B
4.在湖面上
3、高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30°,測得湖中之影的俯角為45°,則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)( )
A.2.7 m B.17.3 m
C.37.3 m D.373 m
[解析] 依題意畫出示意圖.
則=
∴CM=×10
≈37.3.
[答案] C
5.張曉華同學(xué)騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛,在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上,15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上,則電動車在點B時與電視塔S的距離是( )
A.2 km B.3 km
C.3 km D.2 km
4、[解析] 畫出示意圖如圖,
由條件知AB=24×=6.在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,所以BS==3.
[答案] B
6.在200米高的山頂上,測得山下一塔頂和塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
[解析] 作出示意圖如右圖,
由已知,在Rt△OAC中,OA=200,∠OAC=30°,則OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=.
在Rt△ABD中,AD=,∠BAD=30°,
則BD=AD·tan∠BAD=·tan30
5、°=,
∴BC=CD-BD=200-=.
[答案] A
二、填空題
7.一船以每小時15 km的速度向正東航行,船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個燈塔在北偏東15°方向,這時船與燈塔的距離為________km.
[解析]
如圖所示,依題意有:
AB=15×4=60,∠MAB=30°,
∠AMB=45°,
在△AMB中,
由正弦定理得=,
解得BM=30(km).
[答案] 30
8.(2017·廣東廣州市高三綜合測試)江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°
6、,而且兩條船與炮臺底部連線成30°角,則兩條船相距________m.
[解析] 如圖,由題意知,OA=30,
∠OAM=45°,∠OAN=30°,
∠MON=30°.
在Rt△AOM中,OM=OA·
tan∠OAM=30·tan45°=30.
在Rt△AON中,ON=OA·tan∠OAN=30·tan30°=10.
在△MON中,由余弦定理得
MN=
=
==10(m).
[答案] 10
9.(2018·山西大學(xué)附中檢測)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于________m.
7、
[解析] 如圖,∠ACD=30°,
∠ABD=75°,AD=60 m,
在Rt△ACD中,CD===60(m),
在Rt△ABD中,BD===
=60(2-)(m),
∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).
[答案] 120(-1)
三、解答題
10.港口A北偏東30°方向的C處有一檢查站,港口正東方向的B處有一輪船,距離檢查站為31海里,該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達(dá)D處觀測站,已知觀測站與檢查站距離21海里,問此時輪船離港口A還有多遠(yuǎn)?
[解] 在△BDC中,BC=31,BD=20,CD=21,由余弦定理知,cos∠CDB==
8、-,
∴sin∠CDB=.
∴sin∠ACD=sin=sin∠CDBcos-cos∠CDBsin =.
在△ACD中,由正弦定理知=?AD=×21÷=15.
∴此時輪船距港口還有15海里.
[能力提升]
11.(2017·山西太原模擬)某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°,沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1000 m后到達(dá)D處,又測得山頂?shù)难鼋菫?0 °,則山的高度BC為( )
A.500(+1)m B.500 m
C.500(+1)m D.1000 m
[解析]
過點D作DE∥AC交BC于E,因為∠DAC=30°,故∠ADE=150°.于是∠ADB=360
9、°-150°-60°=150°.又∠BAD=45°-30°=15°,故∠ABD=15°,由正弦定理,得AB===500(+)(m)
所以在Rt△ABC中,BC=ABsin45°=500(+1)(m).
[答案] A
12.某人在C點測得某塔在南偏西80°,塔頂仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到D,測得塔頂A的仰角為30°,則塔高為( )
A.15米 B.5米
C.10米 D.12米
[解析] 如圖,設(shè)塔高為h,
在Rt△AOC中,∠ACO=45°,則OC=OA=h.
在Rt△AOD中,∠ADO=30°,
則OD=h,
在△OCD中,∠OCD=
10、120°,
CD=10,
由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,
即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,
∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).
[答案] C
13.甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,兩船相距a海里,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的倍,則甲船應(yīng)取方向________才能追上乙船;追上時甲船行駛了________海里.
[解析] 如圖所示,設(shè)到C點甲船追上乙船,乙到C地用的時間為t,乙船速度為v,
則BC=tv,AC=tv,B=120°,
由正弦定理知=,
∴=,
∴sin∠C
11、AB=,∴∠CAB=30°,∴∠ACB=30°,
∴BC=AB=a,
∴AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°
=a2+a2-2a2·=3a2,∴AC=a.
[答案] 北偏東30° a
14. (2017·廣東省五校協(xié)作體高三一診)如圖所示,在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ,在山坡的A處測得∠DAC=15°,沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處,又測得∠DBC=45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ=________.
[解析] 由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=
12、90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由內(nèi)角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,根據(jù)正弦定理可得=,即DB=100sin15°=100×sin(45°-30°)=25(-1),又=,即=,得到cosθ=-1.
[答案] -1
15.海島B上有一座高為10米的塔,塔頂有一個觀測站A,上午11時測得一游船位于島北偏東15°方向上,且俯角為30°的C處,一分鐘后測得該游船位于島北偏西75°方向上,且俯角為45°的D處.(假設(shè)游船勻速行駛)
(1)求該船行駛的速度(單位:米/分鐘);
(2)又經(jīng)過一段時間后,游船到達(dá)海島B的正西方向E處,問此時游船距離海
13、島B多遠(yuǎn)?
[解] (1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=10,
則BC=10米;
在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=10,則BD=10米;
在△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,
則CD= =20米.
所以速度v==20米/分鐘.
(2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°,
又因為∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°.
在△BCE中,由正弦定理可知=,
所以EB==5米.
[延伸拓展]
(2017·江西宜春段考)某工廠實施煤改電工程防治霧霾,欲拆除高為AB的煙囪,測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C,D,測得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在點C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30°,且CE=1米,則煙囪高AB=________米.
[解析] ∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°,
在△CBD中,根據(jù)正弦定理得BC==20,
∴AB=1+tan30°·CB=1+20(米).
[答案] 1+20