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1、2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第62講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系檢測
1.直線y=kx-k+1與橢圓+=1的位置關(guān)系為(A)
A.相交 B.相切
C.相離 D.不確定
因為直線可變形為y=k(x-1)+1,可知直線恒過(1,1)點,而(1,1)在橢圓內(nèi),所以直線與橢圓相交.
2.橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于M,N兩點,原點與線段MN中點的連線的斜率為,則的值是(A)
A. B.
C.2 D.
消去y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0,
所以MN的中點為(,1-).
依題意=,即=.
3.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右
2、焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是(C)
A.(1,2] B.(1,2)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
因為過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,
所以該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,
所以≥,
所以離心率e2==≥4,
所以e≥2,即e∈[2,+∞).
4.(2017·南關(guān)區(qū)模擬)等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,C與拋物線y2=16x的準線交于A、B兩點,|AB|=4,則C的實軸長為(C)
A. B.2
C.4 D.8
由題意知拋物線的準線為x=
3、-4,設(shè)等軸雙曲線方程為:x2-y2=a2(a>0),
將x=-4代入等軸雙曲線方程解得y=±,
因為|AB|=4,所以2=4,解得a=2.
所以C的實軸長為4.
5.拋物線y2=4x與直線2x-y+m=0相交所得的弦長為3,則m的值為?。? .
將直線方程代入拋物線方程整理得:y2-2y+2m=0,
所以|AB|=|y1-y2|==3,
所以m=-4.
6.(2016·湖北孝感模擬)若點(3,1)是拋物線y2=2px(p>0)的一條弦的中點,且這條弦所在直線的斜率為2,則p的值是 2 .
設(shè)以點(3,1)為中點的弦所在的直線交拋物線y2=2px(p>0)于A(x1,y1
4、),B(x2,y2)兩點,
則
由①-②得y-y=2p(x1-x2),
則=,由題意知,kAB=2,且y1+y2=2.
故kAB===2.所以p=2.
7.(2017·新課標卷Ⅰ)設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點,A與B的橫坐標之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設(shè)M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直線AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y′=.
設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
5、設(shè)直線AB的方程為y=x+m,
故線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
當Δ=16(m+1)>0,即m>-1時,x1,2=2±2.
從而|AB|=|x1-x2|=4.
由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7.
所以直線AB的方程為y=x+7.
8.(2016·北京東城模擬)已知雙曲線-=1與直線x+y-1=0交于P,Q兩點,且·=0(O為原點),則-的值為(B)
A.1 B.2
C.3 D.
由得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2
6、,y2),
則x1+x2=,x1x2=-.
因為·=x1x2+y1y2
=x1x2+(1-x1)(1-x2)
=2x1x2-(x1+x2)+1
=0,
所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,
即b-a=2ab,所以-=2.
9.平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是 (-∞,-1)∪(1,+∞) .
依題意可知機器人運行的軌跡方程為y2=4x.
設(shè)直線l:y=k(x+1),聯(lián)立
消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
由Δ=(2k2-4)2
7、-4k4<0,得k2>1,
解得k<-1或k>1.
10.(2016·新課標卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點P,M關(guān)于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H.
(1)求;
(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由.
(1)如圖,由已知得M(0,t),P(,t).
又N為M關(guān)于點P的對稱點,故N(,t),
故直線ON的方程為y=x,
將其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=.因此H(,2t).
所以N為OH的中點,即=2.
(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點.理由如下:
直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y(tǒng)2=2t,
即直線MH與C只有一個公共點,
所以除H以外,直線MH與C沒有其他公共點.