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1、2022年中考數學總復習 提分專練04 二次函數小綜合練習 湘教版
|類型1| 二次函數與其他函數的綜合
1.如圖T4-1,在平面直角坐標系內,二次函數y=ax2+bx(a≠0),一次函數y=ax+b(a≠0)以及反比例函數y=(k≠0)的圖象都經過點A,其中一次函數的圖象與反比例函數的圖象還交于另一點B,且一次函數的圖象與x軸,y軸分別交于點C,D.若點A的橫坐標為1,該二次函數圖象的對稱軸是直線x=2,有下列結論:①b=-4a;②a+b>k;③8a+4b>k;④a+2b>4k.其中正確結論的個數是 ( )
圖T4-1
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如圖T4-2,
2、曲線BC是反比例函數y=(4≤x≤6)圖象的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),拋物線y=-x2+2bx的頂點記作A.
(1)求k的值.
(2)判斷點A是否可與點B重合.
(3)若拋物線與曲線BC有交點,求b的取值范圍.
圖T4-2
|類型2| 二次函數與幾何圖形綜合
3.[xx·岳陽] 已知拋物線F:y=x2+bx+c經過坐標原點O,且與x軸另一交點為-,0.
(1)求拋物線F的表達式.
(2)如圖T4-3①,直線l:y=x+m(m>0)與拋物線F相交于點A(x1,y1)和點B(x2,y2)(點A在第二象限),求y2-y1的值(用
3、含m的式子表示).
(3)在(2)中,若m=,設點A'是點A關于原點O的對稱點,如圖T4-3②.
①判斷△AA'B的形狀,并說明理由.
②平面內是否存在點P,使得以點A,B,A',P為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
圖T4-3
4.[xx·益陽] 如圖T4-4,已知拋物線y=x2-x-n(n>0)與x軸交于A,B兩點(A點在B點的左邊),與y軸交于點C.
(1)如圖①,若△ABC為直角三角形,求n的值;
(2)如圖①,在(1)的條件下,點P在拋物線上,點Q在拋物線的對稱軸上,若以B
4、C為邊,以點B,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P的坐標;
(3)如圖②,過點A作直線BC的平行線交拋物線于另一點D,交y軸于點E,若AE∶ED=1∶4,求n的值.
圖T4-4
5.[xx·張家界] 如圖T4-5,已知二次函數y=ax2+1(a≠0,a為實數)的圖象過點A(-2,2),一次函數y=kx+b(k≠0,k,b為實數)的圖象l經過點B(0,2).
(1)求a的值并寫出二次函數的表達式;
(2)求b的值;
(3)設直線l與二次函數的圖象交于M,N兩點,過點M作MC垂直x軸于點C,試證明
5、:MB=MC;
(4)在(3)的條件下,請判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關系,并說明理由.
圖T4-5
參考答案
1.B [解析] 對稱軸為直線x=-=2,
∴b=-4a,故結論①正確;
∵一次函數與反比例函數的圖象都經過點A,
∴x=1時,a+b=k,故結論②錯誤;
由圖象可知,4a+2b>,∴8a+4b>k,故結論③正確;
a+2b=-+2b=b,4k=4(a+b)=4-+b=3b,∵二次函數圖象開口向下,∴a<0,∴b=-4a>0,∴b<3b,∴a+2b<4k,故結論④錯誤.
2.解:(1)∵B(4,1-m),C(6,-m)在反比例函
6、數y=的圖象上,
∴k=4(1-m)=6×(-m),∴解得m=-2,∴k=4×[1-(-2)]=12.
(2)∵m=-2,∴B(4,3),
∵拋物線y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,∴A(b,b2).
若點A與點B重合,則有b=4,且b2=3,顯然不成立,∴點A不與點B重合.
(3)當拋物線經過點B(4,3)時,有3=-42+2b×4,解得b=,
顯然拋物線右半支經過點B;
當拋物線經過點C(6,2)時,有2=-62+2b×6,解得b=,
這時仍然是拋物線右半支經過點C.
故b的取值范圍為≤b≤.
3.[解析] (1)將(0,0)和-,0代入y=x2+bx+c,解出
7、b和c即可.
(2)首先聯立y=x+m與y=x2+x,解出x1和x2,然后將x1和x2分別代入y=x+m,解出y1和y2,進而得出結果.
(3)①首先根據題意得出A'的坐標,進而得出A'B的長度,根據點A的坐標得出OA的長度,進而得出AA',然后根據三角函數的定義得出sinA',進而得出∠A'的度數,進而得出△AA'B的形狀;
②分別以AA',A'B和AB為菱形的對角線,根據菱形的性質得出點P的坐標即可.
解:(1)根據題意,得
解得
∴拋物線F的表達式為y=x2+x.
(2)聯立y=x+m與y=x2+x,
解得x1=-,x2=,
∴y1=x1+m=-+m,y2=x2+m=+
8、m,
∴y2-y1=+m--+m=.
(3)①△AA'B是等邊三角形.理由:當m=時,x1=-,x2=,
∴y1=,y2=2,
∴A-,,B,2.
∵點A與點A'關于原點對稱,
∴A',-,
∴A'B=2--=.
∵OA==,
∴OA'=,
∴AA'=,
∴A'B=AA'.
∵點A到BA'的距離d=+=,
∴sinA'===,
∴∠A'=60°,
∴△AA'B是等邊三角形.
②存在.
若以AA'為菱形的對角線,則點P與點B關于原點對稱,此時點P的坐標為-,-2;
若以A'B為菱形的對角線,則點P為將點A向右移動2d個單位長度得到的點,此時點P的坐標為2,;
9、
若以AB為菱形的對角線,則點P為將點A向上移動A'B個單位長度得到的點,此時點P的坐標為-,.
綜上,點P的坐標為-,-2或2,或-,.
4.[解析] (1)利用一元二次方程根與系數的關系結合相似三角形的性質即可求出n的值;
(2)因為以BC為邊,所以PQ∥BC,PQ∥BC可分為點P在點Q左側和點P在點Q右側兩種情況;
(3)過點D作DF⊥x軸,垂足為F,構造△ADF∽△BCO,利用三角形相似,結合點A和點D在拋物線上列方程組求解.
解:(1)若△ABC為直角三角形,則OC2=OA·OB.
由拋物線y=x2-x-n(n>0),可得
OC=n,OA·OB=2n,
∴n2=2n,
10、解得n1=2,n2=0(舍去),
∴n=2.
(2)由(1)可知拋物線的表達式為y=x2-x-2,拋物線的對稱軸為直線x=.
令y=0,得x1=-1,x2=4,
∴A(-1,0),B(4,0).
設點Pm,m2-m-2,
當直線PQ∥BC,點P在點Q的左側(如圖所示),
△BOC平移到△QNP的位置時,四邊形PQBC為平行四邊形,
此時NQ=OB,即-m=4,則m=-,
則m2-m-2=,
此時點P的坐標為-,;
當點P在點Q的右側時(如圖所示),
同理可得m-=4,即m=,
則m2-m-2=,
此時點P的坐標為,.
綜上所述,滿足條件的點P的坐標為-,,,.
11、
(3)過點D作DF⊥x軸,垂足為F.如圖,
則AO∶OF=AE∶ED=1∶4.
設A(a,0),B(b,0),
則AO=-a,OF=-4a.
∵AD∥BC,
∴∠OBC=∠DAO.
∵∠BOC=∠AFD=90°,
∴△BOC∽△AFD,
∴=,
即=,
∴=.
由題意得ab=-2n,∴=-,
∴DF=-5a·=-5a·-=a2.
∵點A,D在拋物線上,
∴
解得
∴n的值為.
5.[解析] (1)將點A的坐標代入二次函數的表達式,即可求出a的值,進而得到二次函數的表達式.
(2)將點B的坐標代入一次函數的表達式,即可求出b的值.
(3)過點M作ME
12、⊥y軸于點E,設Mx,x2+1,進而用含x的式子分別表示MB和MC.
(4)過點N作ND⊥x軸于點D,取MN的中點為P,過點P作PF⊥x軸于點F,過點N作NH⊥MC于點H,交PF于點G.根據(3)知NB=ND,通過等量代換,得出PF=MN.
解:(1)根據題意,得2=a×(-2)2+1,
解得a=,∴y=x2+1.
(2)根據題意,得2=k×0+b,解得b=2.
(3)證明:如圖,過點M作ME⊥y軸于點E.
設Mx,x2+1,則MC=x2+1,
∴ME=|x|,EB==.
∵MB===
==x2+1,
∴MB=MC.
(4)相切.理由如下:
如圖,過點N作ND⊥x軸于D,取MN的中點為P,過點P作PF⊥x軸于點F,過點N作NH⊥MC于點H,交PF于點G.
由(3)知NB=ND,
∴MN=NB+MB=ND+MC.
∵PG=MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF,
∴2PF=2PG+2GF
=MH+ND+HC
=ND+MC,
∴PF=MN,
∴以線段MN為直徑的圓與x軸相切.
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