2022年高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題 理(含解析)湘教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題 理(含解析)湘教版 【試卷綜述】全卷重點(diǎn)考查中學(xué)數(shù)學(xué)主干知識和方法;側(cè)重于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識和基本技能的考查;側(cè)重于知識交匯點(diǎn)的考查.全面考查了考試說明中要求的內(nèi)容,如復(fù)數(shù)、旋轉(zhuǎn)體、簡易邏輯試卷都有所考查.在全面考查的前提下,高中數(shù)學(xué)的主干知識如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計(jì)等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容,尤其是解答題,涉及內(nèi)容均是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識.明確了中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方向和考生的學(xué)習(xí)方向. 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 【題文】1、已知,則復(fù)數(shù) 是虛數(shù)

2、的充分必要條件是 ( ) A. B. C. D. 且 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的意義;充要條件. L4 A2 【答案】【解析】C解析:根據(jù)虛數(shù)的定義:復(fù)數(shù) (),當(dāng)時(shí),是虛數(shù).故選C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)虛數(shù)的定義得結(jié)論. 【題文】2.函數(shù)的定義域是 ( ) A.[-1,4] B. C.[1,4] D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)定義域的求法;一元二次不等式的解法. B1 E3 【答案】【解析】D 解析:由,故選 D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)定義域的意義,得關(guān)于x的不等式組

3、,解此不等式組即可. 【題文】3.已知集合A={0,1,2,3},B={x|x=2a,a∈A},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【知識點(diǎn)】函數(shù)值的意義;集合運(yùn)算. B1 A1 【答案】【解析】C 解析:∵A={0,1,2,3},B={x|x=2a,a∈A},∴B={0,2,4,6}, ∴A∩B={0,2},故選C. 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)值的意義得集合A 中元素,從而A∩B. 【題文】4、設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,a3=5,Sk+2﹣Sk=36,則k

4、的值為(  ) A.8 B.7 C.6 D.5 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和. D2 【答案】【解析】A 解析:由a1=1,a3=5得d=2,所以 Sk+2﹣Sk=,解得:k=8,故選A. 【思路點(diǎn)撥】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式求得結(jié)論. 【題文】5.已知函數(shù)是上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,若,則 ( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用;數(shù)值大小的比較. B3 E1 【答案】【解析】B 解析

5、:∵,∴<0,又, ∴,∵函數(shù)是上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴函數(shù)是上的增函數(shù),∴.故選B 【思路點(diǎn)撥】先判斷的大小關(guān)系,再利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定結(jié)論. 【題文】6 .由直線,,曲線及軸所圍成的封閉圖形的面積是 ( ) A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】定積分;微積分基本定理. B13 【答案】【解析】A 解析:,故選A. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定積分的幾何意義,及微積分基本定理求解. 【題文】7.已知點(diǎn)分別是正方的棱的中點(diǎn),點(diǎn)分別在線段上. 以為頂點(diǎn)的三棱錐的俯視圖不可能是( )

6、 【知識點(diǎn)】幾何體的三視圖. G2 【答案】【解析】C 解析:當(dāng)M與F重合、N與G重合、Q與E重合、P與重合時(shí),三棱錐的俯視圖為A;當(dāng)M、N、Q、P是所在線段的中點(diǎn)時(shí)為B;當(dāng)M、N、P是所在線段的非端點(diǎn)位置,而E與B重合時(shí),三棱錐的俯視圖有選項(xiàng)D的可能.故選C. 【思路點(diǎn)撥】由運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),分析三棱錐的俯視圖的可能情況,從而得出其不可能情況. 【題文】8.運(yùn)行如左下圖所示的程序,如果輸入的n是6,那么輸出的p是 ( )

7、 A.120 B.720 C.1440 D.5040 【知識點(diǎn)】算法

8、與程序. L1 L2 【答案】【解析】B 解析:程序運(yùn)行的過程為:(1)p=1,k=2;(2)p=2,k=3;(3)p=6,k=4;(4)p=24,k=5; (5)p=120,k=6;(6)p=720,k=7,這時(shí)不滿足,所以輸出的p是720 ,故選B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)程序描述的意義,依次寫出每次循環(huán)的結(jié)果即可. 【題文】9、函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象如圖所示,其 中A,B兩點(diǎn)之間的距離為5,則f(x)的遞增區(qū)間是 (   ) A.[6K-1,6K+2](K∈Z) B. [6k-4,6

9、k-1] (K∈Z) C.[3k-1,3k+2] (K∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K∈Z) 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖像與性質(zhì). C4 【答案】【解析】 B 解析:由圖可得,又最低點(diǎn) B(2,-2),所以,因?yàn)?≤φ≤π,所以 ,即,解不等式得 f(x)的遞增區(qū)間是[6k-4,6k-1] (K∈Z).故選B. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)圖像求得函數(shù)解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求f(x)的遞增區(qū)間. 【題文】10、已知,曲線恒過點(diǎn),若是曲線上的動(dòng)點(diǎn),且的最小值為,則 ( ). A.

10、 B.-1 C.2 D.1 【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)性;向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算;導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B6 F2 F3 B12 【答案】【解析】D 解析:根據(jù)題意得B(0,1),設(shè),則 ,即函數(shù) 有最小值0.因?yàn)椋援?dāng)a時(shí)f(x)無最小值;當(dāng)a>0時(shí),有時(shí)f(x)=0,即,顯然a=1是此方程的解,故選D. 【思路點(diǎn)撥】易得B(0,1),設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),利用向量數(shù)量積德坐標(biāo)運(yùn)算,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)取得最值得條件. 【題文】二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案

11、填在答題卡的相應(yīng)位置. 【題文】11、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,則 。 【知識點(diǎn)】等比數(shù)列. D3 【答案】【解析】27 解析:(負(fù)值舍去), 所以. 【思路點(diǎn)撥】由已知條件求出首項(xiàng)和公比即可. 【題文】12. 若等邊△ABC的邊長為1,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足,則=   . 【知識點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算;向量的數(shù)量積. F1 F3 【答案】【解析】 解析:= . 【思路點(diǎn)撥】用表示所求數(shù)量積中的向量,再用數(shù)量積公式求解. 【題文】13. 在中,若,則角B= 。 【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系;余弦定理的應(yīng)用. C2 C8

12、 【答案】【解析】或 解析:把,代入已知等式得:,又,所以角B=或. 【思路點(diǎn)撥】把余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系,代入已知等式得,又,所以角B=或. 【題文】14、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2,若對任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用. B3 B4 【答案】【解析】 解析:因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí),f(x)=,所以f(x)是的增函數(shù),又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)是R上的增函數(shù),所以若對任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥

13、f(3x+1)恒成立,即對任意x∈[a,a+2] ,因?yàn)楹瘮?shù)2x+1是[a,a+2]上的增函數(shù),所以2x+1有最大值2a+5,所以. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知判定函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù),然后把命題轉(zhuǎn)化為對任意x∈[a,a+2],a 2x+1恒成立問題求解. 【題文】15 、對于函數(shù),若在其定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì)P. (1)下列函數(shù)中具有性質(zhì)P的有 ① ② ③, (2)若函數(shù)具有性質(zhì)P,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【知識點(diǎn)】函數(shù)中的新概念問題; 導(dǎo)數(shù)法求最值. B1 B12 【答案】【解析】(1

14、) ①②;(2),或. 解析:(1)①由x=1得:,所以①具有性質(zhì)P. ②設(shè), ∵h(yuǎn)(0)=-1<0, ,∴在上有解,所以②具有性質(zhì)P. ③由,所以③不具有性質(zhì)P; (2)若函數(shù)具有性質(zhì)P,則在上 有解,令 ,可得h(x)在有最小值,所以 或. 【思路點(diǎn)撥】(1)只需分析方程xf(x)=1在函數(shù)f(x)的定義域上是否有解即可; (2)轉(zhuǎn)化為方程在上 有解,即在函數(shù)的值域上取值,用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即可. 【題文】三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi). 【題文】16.(本題滿分12分)在△ABC中,已知A=,

15、. (I)求cosC的值; (Ⅱ)若BC=2,D為AB的中點(diǎn),求CD的長. 【知識點(diǎn)】誘導(dǎo)公式;同角三角函數(shù)關(guān)系;正弦定理;余弦定理. C2 C8 【答案】【解析】(I) ;(Ⅱ). 解析:(Ⅰ)且,∴ …2分 …………………4分 ………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 …8分 由正弦定理得,即,解得.……10分 在中,,所以……12分 【思路點(diǎn)撥】(I)利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得sinB,再用誘導(dǎo)公式求解;(Ⅱ)由(I)及同角三角函數(shù)關(guān)系得sinC的值,再用正弦定理求得AB=6,然后在中,用余弦定理求CD長. 【題文】17.(本

16、題滿分12分) 在一個(gè)盒子中,放有大小相同的紅、白、黃三個(gè)小球,現(xiàn)從中任意摸出一球,若是紅球記1分,白球記2分,黃球記3分.現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后摸出兩球,所得分?jǐn)?shù)分別記為、,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,記. (I)求隨機(jī)變量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率; (Ⅱ)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【知識點(diǎn)】古典概型;離散型隨機(jī)變量的分布列;數(shù)學(xué)期望. K2 K6 K8 【答案】【解析】(I)的最大值為,取得最大值的概率; (Ⅱ)則隨機(jī)變量的分布列為: … 數(shù)學(xué)期望為2. 解析:(I)、可能的取值為、、,…

17、……1分 ,, ,且當(dāng)或時(shí),. 因此,隨機(jī)變量的最大值為 ………………3分 · 有放回摸兩球的所有情況有種……6分 (Ⅱ)的所有取值為. 時(shí),只有這一種情況. 時(shí),有或或或四種情況, 時(shí),有或兩種情況. ,,………………8分 則隨機(jī)變量的分布列為: ………………10分 因此,數(shù)學(xué)期望………………12分 【思路點(diǎn)撥】(I)的表達(dá)式為,數(shù)組(x,y)有9個(gè),且x、取值為、、,將x、y的取值代入的表達(dá)式得的最大值,據(jù)此可得取得最大值的概率;(Ⅱ)由(I)的方法可得的所以取值和取各值的概率,從而求

18、得的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【題文】18、(本題滿分12分)如圖,三角形和梯形所在的平面互相垂直, ,,是線段上一點(diǎn),. (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值; (Ⅲ)是否存在點(diǎn)滿足平面?并說明理由. 【知識點(diǎn)】線面平行的判定;線面垂直的條件;二面角求法. G4 G5 G11 【答案】【解析】(Ⅰ)證明:見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)不存在點(diǎn)滿足平面,理由:見解析.解析:(Ⅰ)取中點(diǎn),連接,…1分 D 又,所以. 因?yàn)?,所? 四邊形是平行四邊形,…………2分 所以

19、因?yàn)槠矫妫矫? 所以平面.…………4分 (Ⅱ)因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?, 且,所以平面,所以,…………5分 因?yàn)?,所以平?如圖, 以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系. 則,………6分 是平面的一個(gè)法向量. 設(shè)平面的法向量,則 ,即 令,則,所以, 所以,……………8分 故二面角的正弦值為?!?分. (Ⅲ)因?yàn)?,所以與不垂直,………11分 所以不存在點(diǎn)滿足平面.…………12分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)取中點(diǎn),證明四邊形是平行四邊形即可;(Ⅱ)以為原點(diǎn),直線AB為x軸,直線AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.通過求平面ABF

20、的法向量與平面BEF的法向量夾角余弦值,求二面角的正弦值;(Ⅲ)若存在點(diǎn)滿足平面,則AE,由判斷不存在點(diǎn)滿足平面. 【題文】19.(本題滿分13分)已知橢圓的焦距為, 且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程; (2)已知,是否存在使得點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)(不同于點(diǎn))在橢圓上?若存在求出此時(shí)直線的方程,若不存在說明理由. 【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求橢圓方程;直線與橢圓的位置關(guān)系. H5 H8 【答案】【解析】(1);(2)不存在滿足條件,理由:見解析. 解析:(1)由已知,焦距為2c=…………1分 又 …………2分 點(diǎn)在橢圓上,…………3分 故,所求橢圓的方程為……………5

21、分 (2)當(dāng)時(shí),直線,點(diǎn)不在橢圓上;…………7分 當(dāng)時(shí),可設(shè)直線,即…………8分 代入整理得 因?yàn)?,所? 若關(guān)于直線對稱,則其中點(diǎn)在直線上……10分 所以,解得因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在直線上,……12分 所以對稱點(diǎn)與點(diǎn)重合,不合題意所以不存在滿足條件.…………13分 【思路點(diǎn)撥】(1)由已知條件得關(guān)于a、b的方程組求解;(2)討論與兩種情況, 當(dāng)時(shí)得點(diǎn)不在橢圓上,所以不成立;當(dāng)時(shí),可設(shè)直線,即,代入整理得: ,由AB中點(diǎn)在直線上求得k=1,而這時(shí)直線y=x-1過點(diǎn),由此得k=1也不成立,所以不存在滿足條件. 【題文】20. (本題滿分13分)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為2.

22、 (Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值; (Ⅱ)設(shè),討論的單調(diào)性; (Ⅲ)已知且,證明: 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義;導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;不等式的證明. B11 B12 E7 【答案】【解析】(Ⅰ)1;(Ⅱ) 在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的,此函數(shù)無減區(qū)間;(Ⅲ) 證明:見解析. 解析:(Ⅰ) 所以……1分 由題意,得……3分 (Ⅱ),所以……4分 設(shè) 當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),, 所以,故在上為增函數(shù); ……………5分 當(dāng)時(shí),,是減函數(shù),, 所以,故在上為增函數(shù); 所以在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的。 ……………8分 (Ⅲ)因?yàn)椋桑á颍┲闪ⅲ? 即,………9分 從而,即 ………12分

23、 所以。………13分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)、由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得 ,解得m值;(Ⅱ)、定義域上導(dǎo)函數(shù)大于零的x范圍是增區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)小于零的x范圍是減區(qū)間;(Ⅲ)、由(Ⅱ)知在上單調(diào)遞增,而,所以,即 . 【典例剖析】綜合法是證明不等式的常用方法,但尋找推證不等式的基礎(chǔ)不等式比較困難. 本題第(Ⅲ)問的證明,采用了第(Ⅱ)問的結(jié)論:函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而得,由此變形、拆項(xiàng),再用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證得結(jié)論,總的來說這是一個(gè)較典型的考題. 【題文】21.(本題滿分13分)已知函數(shù),各項(xiàng)均不相等的有限項(xiàng)數(shù)列的各項(xiàng)滿足.令,且,例如:. (Ⅰ)若,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,求S19的值; (Ⅱ)

24、試判斷下列給出的三個(gè)命題的真假,并說明理由。 ①存在數(shù)列使得;②如果數(shù)列是等差數(shù)列,則; ③如果數(shù)列是等比數(shù)列,則。 【知識點(diǎn)】數(shù)列求和;數(shù)列性質(zhì)得研究. D2 D3 D4 【答案】【解析】(Ⅰ) ; (Ⅱ)①③是真命題,②是假命題.理由:見解析. 解析:………1分 ………3分 ………5分 (Ⅱ)①顯然是對的,只需滿足………7分 ②顯然是錯(cuò)的,若,………9分 ③也是對的,理由如下:……10分 首先是奇函數(shù),因此只需考查時(shí)的性質(zhì),此時(shí)都是增函數(shù),從而在上遞增,所以在上單調(diào)遞增。若,則,所以,即, 所以.同理若,可得, 所以時(shí),. 由此可知,數(shù)列是等比數(shù)列,各項(xiàng)符號一致的情況顯然符合; 若各項(xiàng)符號不一致,則公比且,, 若是偶數(shù),符號一致, 又符號一致,所以符合; 若是奇數(shù),可證明總和符號一致”, 同理可證符合;……………12分 綜上所述,①③是真命題;②是假命題……………13分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)、由取值得周期性,尋找前n項(xiàng)和的求和規(guī)律 ; (Ⅱ)、①當(dāng)時(shí),.所以①是對的;②當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列,且時(shí),.所以②是錯(cuò)的;③當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí),根據(jù)已知條件得公比q ,分q>0,q<0兩種情況討論得.所以③是對的.

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