2022年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第十四章 機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波 第1講 機(jī)械振動(dòng)學(xué)案

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1、2022年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第十四章 機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波 第1講 機(jī)械振動(dòng)學(xué)案 微知識(shí)1 簡諧運(yùn)動(dòng) 1．概念 質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖象(x－t圖象)是一條正弦曲線。 2．回復(fù)力 (1)定義：使物體返回到平衡位置的力。 (2)方向：時(shí)刻指向平衡位置。 (3)來源：振動(dòng)物體所受的沿振動(dòng)方向的合力。 3．描述簡諧運(yùn)動(dòng)的物理量 微知識(shí)2 簡諧運(yùn)動(dòng)的公式和圖象 1．表達(dá)式 (1)動(dòng)力學(xué)表達(dá)式：F＝－kx，其中“－\”表示回復(fù)力與位移的方向相反。 (2)運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示簡諧運(yùn)動(dòng)的快慢，(ωt

2、＋φ)代表簡諧運(yùn)動(dòng)的相位，φ叫做初相。 2．圖象 (1)從平衡位置開始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為x＝Asinωt， 圖象如圖甲所示。 (2)從最大位移處開始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為x＝Acosωt，圖象如圖乙所示。 　微知識(shí)3 簡諧運(yùn)動(dòng)的兩種模型 模型 彈簧振子 單擺 示意圖 　 微知識(shí)4 受迫振動(dòng)和共振 1．自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振 2.共振曲線 由圖知當(dāng)f驅(qū)＝f0時(shí)振幅最大。 一、思維辨析(判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”。) 1．簡諧運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)。(×) 2．簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力與位移大小成正比，方向相同。(×) 3．單

3、擺在通過平衡位置時(shí)，擺球所受合外力為零。(×) 4．彈簧振子在振動(dòng)過程中，每周期經(jīng)過平衡位置兩次。(√) 5．物體做受迫振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)頻率與固有頻率無關(guān)。(√) 6．簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象描述的是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡。(×) 二、對(duì)點(diǎn)微練 1．(簡諧運(yùn)動(dòng)的特征)(多選)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它每次經(jīng)過同一位置時(shí)，一定相同的物理量是(　　) A．位移　　 B．速度 C．加速度 D．動(dòng)能 解析　做簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，具有周期性。質(zhì)點(diǎn)每次經(jīng)過同一位置時(shí)，位移一定相同；由于加速度與位移大小成正比、方向總是相反，所以加速度相同；速度的大小相同，但方向不一定相同(可能相同，也可能相反)，所以速度不一定相同，

4、而動(dòng)能相同。 答案　ACD　 2．(單擺)做簡諧運(yùn)動(dòng)的單擺擺長不變，若擺球質(zhì)量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)速度減小為原來的，則單擺振動(dòng)的(　　) A．頻率、振幅都不變 B．頻率、振幅都改變 C．頻率不變、振幅改變 D．頻率改變、振幅不變 解析　由單擺的周期公式T＝2π 可知，單擺擺長不變，則周期不變，頻率不變；振幅A是反映單擺運(yùn)動(dòng)過程中的能量大小的物理量，由Ek＝mv2可知，擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)的動(dòng)能不變，由機(jī)械能守恒定律知，在最大位移處重力勢(shì)能不變，則振幅一定減小，所以C項(xiàng)正確。 答案　C　 3．(簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象)如圖為一彈簧振子的振動(dòng)圖象，由此可知(　　) A．在

5、t1時(shí)刻，振子的動(dòng)能最大，所受的彈性力最大 B．在t2時(shí)刻，振子的動(dòng)能最大，所受的彈性力最小 C．在t3時(shí)刻，振子的動(dòng)能最大，所受的彈性力最小 D．在t4時(shí)刻，振子的動(dòng)能最大，所受的彈性力最大 解析　從圖象的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)可以知道此圖是機(jī)械振動(dòng)圖象，將它與機(jī)械波的圖象區(qū)分開，它所描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置，t2和t4是在平衡位置處，t1和t3是在最大位移處，頭腦中應(yīng)出現(xiàn)一幅彈簧振子振動(dòng)的實(shí)物圖象，根據(jù)彈簧振子振動(dòng)的特征，彈簧振子在平衡位置時(shí)的速度最大，加速度為零，即彈性力為零；在最大位移處，速度為零，加速度最大，即彈性力為最大，所以B項(xiàng)正確。 答案　B　 4．(受迫振動(dòng)與共振

6、)一洗衣機(jī)在正常工作時(shí)非常平穩(wěn)，當(dāng)切斷電源后發(fā)現(xiàn)先是振動(dòng)越來越劇烈，然后振動(dòng)逐漸減弱，對(duì)這一現(xiàn)象下列說法正確的是(　　) ①正常工作時(shí)，洗衣機(jī)波輪的運(yùn)轉(zhuǎn)頻率大于洗衣機(jī)的固有頻率?、谡９ぷ鲿r(shí)，洗衣機(jī)波輪的運(yùn)轉(zhuǎn)頻率比洗衣機(jī)的固有頻率小?、郛?dāng)洗衣機(jī)振動(dòng)最劇烈時(shí)，波輪的運(yùn)轉(zhuǎn)頻率恰好等于洗衣機(jī)的固有頻率?、墚?dāng)洗衣機(jī)振動(dòng)最劇烈時(shí)，固有頻率最大 A．①④　　　B．②③ C．①③　　　D．②④ 解析　洗衣機(jī)做受迫振動(dòng)，當(dāng)波輪的運(yùn)轉(zhuǎn)頻率恰好等于洗衣機(jī)的固有頻率時(shí)，振動(dòng)最劇烈，③正確；切斷電源后，洗衣機(jī)波輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率逐漸減小的過程中發(fā)生了共振，因此，正常工作時(shí)的頻率大于洗衣機(jī)的固有頻率，①正確，②錯(cuò)誤，④

7、也錯(cuò)誤。 答案　C　 見學(xué)生用書P202 微考點(diǎn)　1　簡諧運(yùn)動(dòng)的五個(gè)特征量　　　　　　　　　　　 核|心|微|講 1．動(dòng)力學(xué)特征 F＝－kx，“－”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)。 2．運(yùn)動(dòng)學(xué)特征 簡諧運(yùn)動(dòng)的加速度與物體偏離位置的位移成正比而方向相反，為變加速運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均減小，靠近平衡位置時(shí)則相反。 3．運(yùn)動(dòng)的周期性特征 相隔T或nT的兩個(gè)時(shí)刻振子處于同一位置且振動(dòng)狀態(tài)相同。 4．對(duì)稱性特征 (1)相隔或(n為正整數(shù))的兩個(gè)時(shí)刻，振子位置關(guān)于平衡位置對(duì)稱，位移、速度、加速度大小相等，方

8、向相反。 (2)如圖所示，振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置O對(duì)稱的兩點(diǎn)P、P′(OP＝OP′)時(shí)，速度的大小、動(dòng)能、勢(shì)能相等，相對(duì)于平衡位置的位移大小相等。 (3)振子由P到O所用時(shí)間等于由O到P′所用時(shí)間，即tPO＝tOP′。 (4)振子往復(fù)過程中通過同一段路程(如OP段)所用時(shí)間相等，即tOP＝tPO。 5．能量特征 振動(dòng)的能量包括動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep，簡諧運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。 典|例|微|探 【例1】　如圖所示，彈簧振子在振動(dòng)過程中，振子從a到b歷時(shí)0.2 s，振子經(jīng)a、b兩點(diǎn)時(shí)速度相同，若它從b再回到a的最短時(shí)間為0.4 s，則該振子的振動(dòng)頻率為(

9、　　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 【解題導(dǎo)思】 (1)彈簧振子在振動(dòng)的過程中具有周期性，在關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)的位移大小、回復(fù)力大小、速度大小有何關(guān)系？ 答：在關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)的位移大小相等、回復(fù)力大小相等、速度大小相等。 (2)振動(dòng)中從b點(diǎn)到右方最大位移處和從右方最大位移處到b點(diǎn)所用時(shí)間有何關(guān)系？ 答：相等。 解析　由簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知：tOb＝0.1 s，tbc＝0.1 s，故＝0.2 s，解得T＝0.8 s，f＝＝1.25 Hz，選項(xiàng)B正確。 答案　B (1)做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力一

10、定為零，但所受合外力不一定為零。 (2)由于簡諧運(yùn)動(dòng)具有周期性和對(duì)稱性，因此涉及簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)往往出現(xiàn)多解，分析時(shí)應(yīng)特別注意。位移相同時(shí)回復(fù)力、加速度、動(dòng)能和勢(shì)能等可以確定，但速度可能有兩個(gè)方向，由于周期性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也不能確定。 題|組|微|練 1．彈簧振子在做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，若某一過程中振子的速率在減小，則此時(shí)振子的(　　) A．速度與位移方向一定相反 B．加速度與速度方向可能相同 C．位移可能在減小 D．回復(fù)力一定在增大 解析　彈簧振子的速率在減小，則動(dòng)能減小，彈性勢(shì)能增大，故振子必定從平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)，速度與位移方向相同，則加速度與速度方向必定相反，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由上

11、述分析可知，彈簧振子的位移大小在增大，回復(fù)力的大小與位移大小成正比，故回復(fù)力一定增大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確。 答案　D　 2．一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當(dāng)日風(fēng)浪較大，游船上下浮動(dòng)。可把游船的浮動(dòng)簡化成豎直方向的簡諧運(yùn)動(dòng)，振幅為20 cm，周期為3.0 s。當(dāng)船上升到最高點(diǎn)時(shí)，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10 cm時(shí)，游客能舒服地登船。在一個(gè)周期內(nèi)，游客能舒服登船的時(shí)間是(　　) A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s 解析　游船浮動(dòng)可簡化成豎直方向的簡諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意，當(dāng)船的位移滿足x＝Asinθ≥＝10 cm時(shí)乘客可以舒服

12、登船，解得≥θ≥，而θ＝t，所以T≥t≥T，乘客舒服登船時(shí)間為Δt＝T－T＝T＝1.0 s，本題只有選項(xiàng)C正確。 答案　C　 微考點(diǎn)　2　簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象　　　　　　　　　　　　 核|心|微|講 1．可以確定振動(dòng)物體在任一時(shí)刻的位移。 2．確定振動(dòng)的振幅A和周期T。 3．確定各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向。判斷方法：振動(dòng)方向可以根據(jù)下一時(shí)刻位移的變化來判定。下一時(shí)刻位移若增加，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向是遠(yuǎn)離平衡位置；下一時(shí)刻位移如果減小，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向指向平衡位置。 4．比較各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度(回復(fù)力)的大小和方向。 5．比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能和動(dòng)能的大小。質(zhì)點(diǎn)的位移越大，它所具有勢(shì)能越大，動(dòng)能

13、則越小。 典|例|微|探 【例2】　如圖所示為一彈簧振子的振動(dòng)圖象，試完成以下問題： (1)寫出該振子簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。 (2)在第2 s末到第3 s末這段時(shí)間內(nèi)，彈簧振子的加速度、速度、動(dòng)能和彈性勢(shì)能各是怎樣變化的？ (3)該振子在前100 s的總位移是多少？路程是多少？ 【解題導(dǎo)思】 (1)由簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象能讀出哪些信息？ 答：振幅、周期。 (2)一個(gè)周期內(nèi)振子運(yùn)動(dòng)的路程是多少？ 答：振幅的4倍。 解析　(1)由振動(dòng)圖象可得 A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0， 則ω＝＝ rad/s， 故該振子簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為 x＝5sin t (cm)。 (2)由題圖

14、可知，在t＝2 s時(shí)，振子恰好通過平衡位置，此時(shí)加速度為零，隨著時(shí)間的延續(xù)，位移不斷變大，加速度也變大，速度不斷變小，動(dòng)能不斷減小，彈性勢(shì)能逐漸增大，當(dāng)t＝3 s時(shí)，加速度達(dá)到最大值，速度等于零，動(dòng)能等于零，彈性勢(shì)能達(dá)到最大值。 (3)振子經(jīng)過一個(gè)周期位移為零，路程為4×5 cm＝20 cm，前100 s剛好經(jīng)過了25個(gè)周期，所以前100 s振子的位移x＝0，振子的路程s＝25×20 cm＝500 cm＝5 m。 答案　(1)x＝5sint(cm) (2)見解析　(3)0　5 m 題|組|微|練 3．一個(gè)彈簧振子沿x軸做簡諧運(yùn)動(dòng)，取平衡位置O為x軸坐標(biāo)原點(diǎn)。從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過四分

15、之一周期，振子具有沿x軸正方向的最大加速度。能正確反映振子位移x與時(shí)間t關(guān)系的圖象是(　　) 解析　 如圖所示，O為平衡位置，由題意知t＝時(shí)，振子具有正向最大加速度，故此時(shí)振子應(yīng)在A處，位移x為負(fù)的最大值。分析各圖象知，只有A項(xiàng)正確。 答案　A　 4．如圖甲所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在A、B兩點(diǎn)之間做簡諧運(yùn)動(dòng)。取向右為正方向，振子的位移x隨時(shí)間t的變化圖象如圖乙所示，下列說法正確的是(　　) A．t＝0.8 s時(shí)，振子的速度方向向左 B．t＝0.2 s時(shí)，振子在O點(diǎn)右側(cè)6 cm處 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s時(shí)，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s到

16、t＝0.8 s的時(shí)間內(nèi)，振子的速度逐漸減小 解析　從t＝0.8 s時(shí)起，再過一段微小時(shí)間，振子的位移為負(fù)值，因?yàn)槿∠蛴覟檎较?，故t＝0.8 s時(shí)，速度方向向左，A項(xiàng)正確；由題圖乙得振子的位移x＝12sint cm，故t＝0.2 s時(shí)，x＝6 cm，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；t＝0.4 s和t＝1.2 s時(shí)，振子的位移方向相反，由a＝知，加速度方向相反，C項(xiàng)錯(cuò)誤；t＝0.4 s到t＝0.8 s的時(shí)間內(nèi)，振子的位移逐漸變小，故振子逐漸靠近平衡位置，其速度逐漸變大，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。 答案　A　 微考點(diǎn)　3　受迫振動(dòng)和共振　　　　　　　　　　　　 核|心|微|講 1．自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的關(guān)系比

17、較 2.對(duì)共振的理解 (1)共振曲線 如圖所示，橫坐標(biāo)為驅(qū)動(dòng)力的頻率f，縱坐標(biāo)為振幅A。它直觀地反映了驅(qū)動(dòng)力的頻率對(duì)某固有頻率為f0的振動(dòng)系統(tǒng)做受迫振動(dòng)時(shí)振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當(dāng)f＝f0時(shí)，振幅A最大。 (2)受迫振動(dòng)中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化 做受迫振動(dòng)的系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒，系統(tǒng)與外界時(shí)刻進(jìn)行能量交換。 典|例|微|探 【例3】　一個(gè)單擺在地面上做受迫振動(dòng)，其共振曲線(振幅A與驅(qū)動(dòng)力頻率f的關(guān)系)如圖所示，則(　　) A．此單擺的固有周期約為0.5 s B．此單擺的擺長約為1 m C．若擺長增大，單擺的固有頻率增大 D．若擺長增大，共振

18、曲線的峰將向右移動(dòng) 【解題導(dǎo)思】 驅(qū)動(dòng)力的頻率與單擺的固有頻率越接近，單擺振動(dòng)的振幅有何變化？ 答：驅(qū)動(dòng)力的頻率與單擺的固有頻率越接近時(shí)單擺振幅越大，兩者相等時(shí)，振幅達(dá)到最大。 解析　由共振曲線知此單擺的固有頻率為0.5 Hz，固有周期為2 s；再由T＝2π，得此單擺的擺長約為1 m；若擺長增大，單擺的固有周期增大，固有頻率減小，則共振曲線的峰將向左移動(dòng)。 答案　B 題|組|微|練 5．在實(shí)驗(yàn)室可以做“聲波碎杯”的實(shí)驗(yàn)，用手指輕彈一只玻璃酒杯，可以聽到清脆的聲音，測得這聲音的頻率為500 Hz。將這只酒杯放在一個(gè)大功率的聲波發(fā)生器前，操作人員通過調(diào)整其發(fā)出的聲波，就能使酒杯碎掉。

19、下列說法正確的是(　　) A．操作人員必須把聲波發(fā)生器輸出的功率調(diào)到很大 B．操作人員必須使聲波發(fā)生器發(fā)出頻率很高的超聲波 C．操作人員必須同時(shí)增大聲波發(fā)生器發(fā)出聲波的頻率和功率 D．操作人員必須將聲波發(fā)生器發(fā)出的聲波頻率調(diào)到500 Hz，且適當(dāng)增大其輸出功率 解析　由題可知用手指輕彈一只酒杯，測得這聲音的頻率為500 Hz，就是酒杯的固有頻率，當(dāng)物體發(fā)生共振時(shí)，物體振動(dòng)的振幅最大，甚至可能造成物體解體，將這只酒杯放在一個(gè)大功率的聲波發(fā)生器前，操作人員通過調(diào)整其發(fā)出的聲波，將酒杯碎掉是利用的共振現(xiàn)象，而發(fā)生共振的條件是驅(qū)動(dòng)力的頻率等于物體的固有頻率，而酒杯的固有頻率為500 Hz，故

20、操作人員要將聲波發(fā)生器發(fā)出的聲波頻率調(diào)到500 Hz，使酒杯產(chǎn)生共振，從而能將酒杯碎掉，故D項(xiàng)正確。 答案　D　 6．在飛機(jī)的發(fā)展史中有一個(gè)階段，飛機(jī)上天后不久，機(jī)翼很快就抖動(dòng)起來，而且越抖越厲害，后來人們經(jīng)過了艱苦的探索，利用在飛機(jī)機(jī)翼前緣處裝置一個(gè)配重桿的方法，解決了這一問題，在飛機(jī)機(jī)翼前緣處裝置配重桿的主要目的是(　　) A．加大飛機(jī)的慣性　 B．使機(jī)體更加平衡 C．使機(jī)翼更加牢固　 D．改變機(jī)翼的固有頻率 解析　飛機(jī)飛上天后，在氣流周期性驅(qū)動(dòng)力的作用下做受迫振動(dòng)，機(jī)翼越抖越厲害說明氣流驅(qū)動(dòng)力的頻率與機(jī)翼的固有頻率非常接近或相等，在機(jī)翼前緣處裝置配重桿，目的是通過改變機(jī)翼的質(zhì)量

21、來改變其固有頻率，使驅(qū)動(dòng)力頻率與固有頻率相差較大，從而實(shí)現(xiàn)減振的目的，D項(xiàng)正確。 答案　D　 見學(xué)生用書P204 單擺周期公式的理解和應(yīng)用 　素能培養(yǎng) 1．單擺在擺角很小的情況下的振動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)周期公式知周期由擺長l和重力加速度g決定。而g是聯(lián)系很多機(jī)械運(yùn)動(dòng)的橋梁，如自由落體運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)等，因此，要注意單擺運(yùn)動(dòng)與其他動(dòng)力學(xué)結(jié)合的問題。 2．當(dāng)單擺在其他星球或升降機(jī)中振動(dòng)時(shí)，周期公式中的g為視重力加速度，它隨著單擺所處環(huán)境的改變而改變。做題不能認(rèn)為g總等于9.8 m/s2。 　經(jīng)典考題　一根擺長為2 m的單擺，在地球上某地振動(dòng)時(shí)，測得完成100次全振動(dòng)所用的時(shí)間為284

22、 s。 (1)求當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。 (2)該單擺拿到月球上去，已知月球的重力加速度是1.60 m/s2，單擺振動(dòng)周期是多少？ 解析　(1)周期T＝＝ s＝2.84 s。 由周期公式T＝2π 得 g＝＝ m/s2＝9.78 m/s2。 (2)T′＝2π ＝2×3.14× s＝7.02 s。 答案　(1)9.78 m/s2　(2)7.02 s 　對(duì)法對(duì)題 1．在科學(xué)研究中，科學(xué)家常將未知現(xiàn)象同已知現(xiàn)象進(jìn)行比較，找出其共同點(diǎn)，進(jìn)一步推測未知現(xiàn)象的特性和規(guī)律。法國物理學(xué)家?guī)靵鲈谘芯慨惙N電荷的吸引力問題時(shí)，曾將扭秤的振動(dòng)周期與電荷間距離的關(guān)系類比單擺的振動(dòng)周期與擺球到地心距離的關(guān)

23、系。已知單擺擺長為l，引力常量為G，地球質(zhì)量為M，擺球到地心的距離為r，則單擺振動(dòng)周期T與距離r的關(guān)系式為(　　) A．T＝2πr　　　 B．T＝2πr C．T＝ D．T＝2πl(wèi) 解析　設(shè)離地心r處重力加速度為g，則＝mg，故g＝①；單擺振動(dòng)周期T＝2π②。①代入②得T＝2πr，故選項(xiàng)B正確。 答案　B　 2．一單擺在地面處的擺動(dòng)周期與在某礦井底部擺動(dòng)周期的比值為k。設(shè)地球的半徑為R。假定地球的密度均勻。已知質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，求礦井的深度d。 解析　根據(jù)萬有引力定律，地面處質(zhì)量為m的物體的重力為mg＝G， 式中g(shù)是地面處的重力加速度，M是地球的質(zhì)量。設(shè)ρ是地

24、球的密度，則有 M＝πρR3， 擺長為L的單擺在地面處的擺動(dòng)周期為 T＝2π 。 若該物體位于礦井底部，則其重力為 mg′＝G， 式中g(shù)是礦井底部的重力加速度，且 M′＝πρ(R－d)3。 在礦井底部此單擺的周期為 T′＝2π ， 由題意T＝kT′， 聯(lián)立以上各式得 d＝R(1－k2)。 答案　R(1－k2) 見學(xué)生用書P205 1．(多選)某質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，其位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝Asint，則質(zhì)點(diǎn)(　　) A．第1 s末與第3 s末的位移相同 B．第1 s末與第3 s末的速度相同 C．第3 s末至第5 s末的位移方向都相同 D．第3 s末至第

25、5 s末的速度方向都相同 解析　由關(guān)系式可知ω＝ rad/s，T＝＝8 s，將t＝1 s和t＝3 s代入關(guān)系式中求得兩時(shí)刻位移相同，A項(xiàng)對(duì)；作出質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象，由圖象(上圖)可以看出，第1 s末和第3 s末的速度方向不同，B項(xiàng)錯(cuò)；由圖象可知，第3 s末至第4 s末質(zhì)點(diǎn)的位移方向與第4 s末至第5 s末質(zhì)點(diǎn)的位移方向相反，而速度的方向相同，故C項(xiàng)錯(cuò)，D項(xiàng)對(duì)。 答案　AD　 2．一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象如圖所示，下列說法正確的是(　　) A．質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)頻率是4 Hz B．在10 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程是20 cm C．第4 s末質(zhì)點(diǎn)的速度為零 D．在t＝1 s和t＝3 s兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)

26、位移大小相等，方向相同 解析　由振動(dòng)圖象可知，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期是4 s，頻率為0.25 Hz，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；振幅為2 cm。一個(gè)周期質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為4A,10 s為2.5個(gè)周期，經(jīng)過的路程為2.5×4A＝10A＝20 cm，B項(xiàng)正確；4 s末質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，速度最大，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；在t＝1 s和t＝3 s兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)分別在正最大位移和負(fù)最大位移，大小相等、方向相反，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。 答案　B　 3．甲、乙兩單擺靜止于平衡位置，擺球質(zhì)量相同，擺長l甲>l乙。現(xiàn)給擺球相同的水平初速度v，讓其在豎直平面內(nèi)做小角度擺動(dòng)，它們的頻率與能量分別為f1、f2和E1、E2，則它們的關(guān)系是(　　) A．f1>f2

27、，E1＝E2　　　 B．f1E2 D．f1＝f2，E1