2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題三 三角函數(shù) 解三角形與平面向量 第3講 平面向量試題

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題三 三角函數(shù) 解三角形與平面向量 第3講 平面向量試題 1．(xx·課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 2．(xx·四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點M，N滿足＝3，＝2，則·等于(　　) A．20 B. 15 C．9 D．6 3．(xx·江蘇)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 4．(xx·湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A(－1,0)，B(0，)，

2、C(3,0)，動點D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________． 1.考查平面向量的基本定理及基本運算，多以熟知的平面圖形為背景進行考查，多為選擇題、填空題、難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積，以選擇題、填空題為主，難度低；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn). 熱點一　平面向量的線性運算 (1)在平面向量的化簡或運算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化； (2)在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點”，結(jié)果向量的

3、方向是指向被減向量． 例1　(1)(xx·陜西)設(shè)0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan θ＝______. (2)如圖，在△ABC中，AF＝AB，D為BC的中點，AD與CF交于點E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，則x＋y＝________. 思維升華　(1)對于平面向量的線性運算，要先選擇一組基底；同時注意共線向量定理的靈活運用．(2)運算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系． 跟蹤演練1　(1)(xx·黃岡中學(xué)期中)已知向量i與j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n滿足的條件是(　　

4、) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 (2)(xx·北京)在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 熱點二　平面向量的數(shù)量積 (1)數(shù)量積的定義：a·b＝|a||b|cos θ. (2)三個結(jié)論 ①若a＝(x，y)，則|a|＝＝. ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. ③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角， 則cos θ＝＝. 例2　(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________． (

5、2)在△AOB中，G為△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，則||的最小值是________． 思維升華　(1)數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算． 跟蹤演練2　(1)(xx·山東)過點P(1，)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則·＝________________________________________________________________________. (2)(xx·課標(biāo)全國Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點，若＝(＋)，則與

6、的夾角為________． 熱點三　平面向量與三角函數(shù) 平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件． 例3　已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α

7、一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題． 跟蹤演練3　(xx·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．如

8、圖，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量.則等于(　　) A.(a＋b) B.(a＋b) C.(a＋b) D.(a＋b) 2．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，則·等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，且a⊥b，則tan(2α＋)＝________. 4．如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則·最小值是__________________________________

9、_____________________． 二輪專題強化練 專題三 第3講　平面向量 A組　專題通關(guān) 1．(xx·佛山月考)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則等于(　　) A．(2,4) B．(3,5) C．(1,1) D．(－1，－1) 2．(xx·安徽)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)·b＝1 D．(4a＋b)⊥ 3．在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN邊上的一點，若＝m

10、＋，則實數(shù)m的值為(　　) A. B. C．1 D．3 4．(xx·福建)已知⊥，||＝，||＝t，若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且＝＋，則·的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 5．(xx·湖北)已知向量⊥，||＝3，則·＝________. 6．若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比值為________． 7．(xx·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點E和F分別在線段BC和DC上，且＝，＝，則·的值為________． 8．設(shè)向量a＝(a1，a

11、2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量積a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，點P(x，y)在y＝sin x的圖象上運動，Q是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點，且滿足＝m?＋n(其中O為坐標(biāo)原點)，則函數(shù)y＝f(x)的值域是________． 9．(xx·惠州二調(diào))設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]． (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 10．已知向量a＝(2sin(ωx＋)，0)，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，函數(shù)f(x)

12、＝a·b的圖象與直線y＝－2＋的相鄰兩個交點之間的距離為π. (1)求ω的值； (2)求函數(shù)f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間． B組　能力提高 11．已知非零單位向量a與非零向量b滿足|a＋b|＝|a－b|，則向量b－a在向量a上的投影為(　　) A．1 B. C．－1 D．－ 12．已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，＋2] C．[1，＋1] D．[1，＋2] 13．(xx·江蘇)設(shè)向量ak＝(k＝0,1,2，…，12)，則(ak·ak＋1

13、)的值為________． 14．(xx·陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上． (1)若＋＋＝0，求||； (2)設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 學(xué)生用書答案精析 第3講　平面向量 高考真題體驗 1．A　[∵＝3，∴－＝3(－)， 即4－＝3，∴＝－＋.] 2．C　[＝＋， ＝－＝－＋， ∴·＝(4＋3)·(4－3) ＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，選C.] 3．－3 解析　∵a＝(2,1)，b＝(

14、1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3. 4.＋1 解析　設(shè)D(x，y)，由＝(x－3，y)及 ||＝1知(x－3)2＋y2＝1， 即動點D的軌跡為以點C為圓心的單位圓． 又O＋＋ ＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y) ＝(x－1，y＋)， ∴|＋＋|＝ . 問題轉(zhuǎn)化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點與點P(1，－)間距離的最大值． ∵圓心C(3,0)與點P(1，－)之間的距離為＝， 故的最大值為＋1. 熱點分類突破 例1　(1)　(2)－ 解析　(1)因為a∥b， 所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θc

15、os θ＝cos2θ. 因為0<θ<，所以cos θ>0， 得2sin θ＝cos θ，tan θ＝. (2)如圖，設(shè)FB的中點為M，連接MD. 因為D為BC的中點，M為FB的中點，所以MD∥CF. 因為AF＝AB，所以F為AM的中點，E為AD的中點． 方法一　因為＝a，＝b，D為BC的中點， 所以＝(a＋b)． 所以＝＝(a＋b)． 所以＝＋＝－＋ ＝－b＋(a＋b) ＝a－b. 所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－. 方法二　易得EF＝MD，MD＝CF， 所以EF＝CF，所以CE＝CF. 因為＝＋＝－＋＝－b＋a， 所以＝(－b＋a)＝a－b. 所以x＝，

16、y＝－，則x＋y＝－. 跟蹤演練1　(1)C　(2)　－ 解析　(1)因為A，B，D三點共線，所以 ＝λ?i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i與j不共線，所以所以mn＝1. (2)如圖，＝＋ ＝＋ ＝＋(－) ＝－， ∴x＝，y＝－. 例2　(1)22　(2)2 解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因為·＝2，所以(＋ )·(－)＝2，即2－ ·－2＝2.又因為2＝25，2＝64，所以·＝22. (2)如圖，在△AOB中，＝＝×(＋) ＝(＋)， 又·＝||||·cos 60°＝6， ∴||||＝12， ∴||2＝(＋)2＝(||2＋|

17、|2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×(2||||＋12)＝×36＝4(當(dāng)且僅當(dāng)||＝||時取等號)． ∴||≥2，故||的最小值是2. 跟蹤演練2　(1)　(2)90° 解析　(1)由題意，圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示， ∵P(1，)，∴PA⊥x軸，PA＝PB＝. ∴△POA為直角三角形，其中OA＝1，AP＝，則OP＝2， ∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°. ∴·＝||||·cos∠APB＝××cos 60°＝. (2)∵＝(＋)， ∴點O是△ABC中邊BC的中點， ∴BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有〈，〉＝90°. 例3　解　(1)∵b＝(cos

18、 x，sin x)， c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝， ∴f(x)＝b·c ＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α ＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)． 令t＝sin x＋cos x， 則2sin xcos x＝t2－1，且－1

19、夾角為， ∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x ＝cos(x－α)． ∵0<α

20、>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中， sin B＝＝ ＝， 由正弦定理， 得sin C＝sin B＝×＝. 因為a＝b>c， 所以C為銳角， 因此cos C＝＝ ＝. 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝. 高考押題精練 1．C　[因為DE∥BC，所以DN∥BM，則△AND∽△AMB，所以＝. 因為＝，所以＝. 因為M為BC的中點， 所以＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝＝(a＋b)． 故選C.] 2．B　[∵＝2，圓O的半徑為1， ∴||＝， ∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.] 3

21、．－ 解析　因為a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，且a⊥b， 所以cos α＋2sin α＝0， 則tan α＝－. 所以tan 2α＝＝－. 所以tan(2α＋)＝＝＝＝－. 4．－ 解析　因為＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋()2.又因為∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以·＝||cos 120°＝－||.所以·＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.故當(dāng)且僅當(dāng)||＝時，·最小值是－. 二輪專題強化練答案精析 第3講　平面向量 1．C　[＝＝－＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．] 2．D　[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2

22、a＝b， 得|b|＝2. 又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故選D.] 3．B　[如圖，因為＝，所以＝， ＝m＋＝m＋，因為B，P，N三點共線， 所以m＋＝1，所以m＝.] 4.A　[建立如圖所示坐標(biāo)系，則 B，C(0，t)，＝，＝(0，t)， ＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13， 故選A.] 5．9 解析　因為⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9. 6.

23、 解析　設(shè)AB的中點為D， 由5＝＋3，得3－3 ＝2－2， 即3＝2. 如圖所示，故C，M，D三點共線， 且＝， 也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5， 則△ABM與△ABC的面積比值為. 7. 解析　在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1， ∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos 60°＋2×＋×1×cos 60°＋××cos 120°＝. 8．[－，] 解析　令Q(c，d)，由新的運算可得＝m?＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)， ∴消去x得d＝s

24、in(c－)， ∴y＝f(x)＝sin(x－)， 易知y＝f(x)的值域是[－，]． 9．解　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈[0，]，從而sin x＝， 所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋， 當(dāng)x＝∈[0，]時，sin(2x－)取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 10．解　(1)因為向量a＝(2sin(ωx＋)，0)，b＝(2cos ωx,3)

25、(ω>0)，所以函數(shù)f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋)cos ωx＝4[sin ωx·(－)＋cos ωx·]cos ωx＝2·cos2ωx－2sin ωxcos ωx＝(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx＝2cos(2ωx＋)＋， 由題意，可知f(x)的最小正周期為T＝π，所以＝π，即ω＝1. (2)易知f(x)＝2cos(2x＋)＋，當(dāng)x∈[0,2π]時，2x＋∈[，4π＋]， 故2x＋∈[π，2π]或2x＋∈[3π，4π]時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[，]和[，]． 11．C　[因為|a＋b|＝|a－b|， 所以(a＋b)2＝(a－b)2，

26、 解得a·b＝0，所以向量b－a在向量a上的投影為|b－a|cos〈a，b－a〉＝＝ ＝－|a|＝－1.] 12．A　[∵a·b＝0，且a，b是單位向量， ∴|a|＝|b|＝1. 又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1， ∴2c·(a＋b)＝c2＋1. ∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0， ∴|a＋b|＝， ∴c2＋1＝2|c|cos θ(θ是c與a＋b的夾角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0

27、sπ＋· ＝cos＋cosπ＋sinπ. 故(ak·ak＋1)＝ ＝os＋osπ＋inπ. 由osπ＝0，inπ＝0，得 (ak·ak＋1)＝cos×12＝9. 14．解　(1)方法一　∵＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)， ∴解得 即＝(2,2)，故||＝2. 方法二　∵＋＋＝0， 則(－)＋(－)＋(－)＝0， ∴＝(＋＋)＝(2,2)， ∴||＝2. (2)∵＝m＋n， ∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)， ∴ 兩式相減得，m－n＝y(tǒng)－x. 令y－x＝t，由圖知，當(dāng)直線y＝x＋t過點B(2,3)時，t取得最大值1，故m－n的最大值為1.