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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)54 曲線與方程 理
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1．已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析：由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
答案：D
2．方程|x|－1＝所表示的曲線是( )
A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)圓
C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)半圓
解析：由題意得
即
或
故
2、原方程表示兩個(gè)半圓．
答案：D
3．設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程為( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1.
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：D
4．[2019·珠海模擬]已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若＝，則點(diǎn)P的軌跡方程為( )
A．y＝－2x B．y＝2x
3、C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析：設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，∴即
∵點(diǎn)R(x1，y1)在直線y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案：B
5．[2019·福建八校聯(lián)考]已知圓M：(x＋)2＋y2＝36，定點(diǎn)N(，0)，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在線段MP上，且滿足＝2，·＝0，則點(diǎn)G的軌跡方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由＝2，·＝0知GQ所在直線是線段NP的垂直平分線，連接GN，
∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|
4、＝6>2，∴點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a＝6,2c＝2，∴b2＝4，∴點(diǎn)G的軌跡方程為＋＝1，故選A.
答案：A
二、填空題
6．在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，B，C(a＞0)，且滿足條件sinC－sinB＝sinA，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是________．
解析：由正弦定理得－＝×，
即|AB|－|AC|＝|BC|，
故動(dòng)點(diǎn)A是以B，C為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線右支．
即動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為－＝1(x＞0且y≠0)．
答案：－＝1(x＞0且y≠0)
7．[2019·河南開(kāi)封模擬]如圖，已知圓E：(x＋)2＋y2＝16，點(diǎn)F(，0)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線
5、段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為_(kāi)_______________．
解析：連接QF，因?yàn)镼在線段PF的垂直平分線上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4.
又|EF|＝2＜4，得Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓為＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
8．[2019·江西九江聯(lián)考]設(shè)F(1,0)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸，且＝2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)N的軌跡方程為_(kāi)_______．
解析：設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由＝2，得即因?yàn)椤停?x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x
6、0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，所以點(diǎn)N的軌跡方程為y2＝4x.
答案：y2＝4x
三、解答題
9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于－.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
解析：因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)．
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)知直線AP與BP的斜率存在且均不為零，則·＝－，
化簡(jiǎn)得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1(x≠±1)．
10．如圖所示，已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與點(diǎn)B(2,0)，
7、分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
(1)△PAB的周長(zhǎng)為10；
(2)圓P與圓A外切，且過(guò)B點(diǎn)(P為動(dòng)圓圓心)；
(3)圓P與圓A外切，且與直線x＝1相切(P為動(dòng)圓圓心)．
解析：(1)根據(jù)題意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P點(diǎn)軌跡是橢圓，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.
因此其軌跡方程為＋＝1(y≠0)．
(2)設(shè)圓P的半徑為r，則|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.
由雙曲線的定義知，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，且2a＝
1,2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其軌跡方程為4
8、x2－y2＝1.
(3)依題意，知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線x＝2的距離，故其軌跡為拋物線，且開(kāi)口向左，p＝4.
因此其軌跡方程為y2＝－8x.
[能力挑戰(zhàn)]
11．已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l1：x－y－2＝0相切．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN⊥x軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足＝m＋(1－m)(其中m為非零常數(shù))，試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
解析：(1)設(shè)圓的半徑為r, 圓心到直線l1的距離為d，則d＝＝2.
因?yàn)閞＝d＝2，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以圓C1的方程為x2＋y2＝4.
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)，
∵AN⊥x軸于點(diǎn)N，∴N(x0,0)，
由題意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，
解得即
將點(diǎn)A代入圓C1的方程x2＋y2＝4，得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為＋＝1.
2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)54 曲線與方程 理
