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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項(xiàng)練 壓軸題提分練（一）理
1．(2018·威海模擬) 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)P(，)，動(dòng)直線l：y＝kx＋m交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B，且·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．
(1)求橢圓C的方程．
(2)討論3m2－2k2是否為定值？若為定值，求出該定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．
解析：(1)由題意可知＝，所以a2＝2c2＝2(a2－b2)，即a2＝2b2，①
又點(diǎn)P(，)在橢圓上，所以有＋＝1，②
由①②聯(lián)立，解得b2＝1，a2＝2，
故所求的橢圓方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·＝0，
2、
可知x1x2＋y1y2＝0.
聯(lián)立方程組
消去y化簡(jiǎn)整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由Δ＝16k2m2－8(m2－1)(1＋2k2)＞0，得1＋2k2＞m2，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，③
又由題知x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
整理為(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.
將③代入上式，得(1＋k2)－km·＋m2＝0.
化簡(jiǎn)整理得＝0，從而得到3m2－2k2＝2.
2．(2018·南寧二中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝－a2ln x＋x2－ax(a∈R)．
(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
3、
(2)設(shè)φ(x)＝2x＋(a2－a)ln x，記h(x)＝f(x)＋φ(x)，當(dāng)a＞0時(shí)，若方程h(x)＝m(m∈R)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，證明h′＞0.
解析：(1)由f(x)＝－a2ln x＋x2－ax，可知f′(x)＝－＋2x－a＝＝.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，所以，
①若a＞0，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
②若a＝0時(shí)，f′(x)＝2x＞0在x∈(0，＋∞)內(nèi)恒成立，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
③若a＜0，當(dāng)x∈(0，－)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)
4、x∈(－，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
(2)證明：由題可知h(x)＝f(x)＋φ(x)＝x2＋(2－a)x－aln x(x＞0)，
所以h′(x)＝2x＋(2－a)－＝＝.
所以當(dāng)x∈(0，)時(shí)，h′(x)＜0；當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0；當(dāng)x＝時(shí)，h′()＝0.
欲證h′()＞0，只需證h′()＞h′()，又h″(x)＝2＋＞0，即h′(x)單調(diào)遞增，故只需證明＞.
設(shè)x1，x2是方程h(x)＝m的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為0＜x1＜x2，
則
兩式相減并整理得a(x1－x2＋ln x1－ln x2)＝x－x＋2x1－2x2，
從而a＝，
故只需證明＞，
即x1＋x2＞.(*)
因?yàn)閤1－x2＋ln x1－ln x2＜0，
所以(*)式可化為ln x1－ln x2＜，
即ln＜.
因?yàn)?＜x1＜x2，所以0＜＜1，
不妨令t＝，所以得到ln t＜，t∈(0,1)．
記R(t)＝ln t－，t∈(0,1)，所以R′(t)＝－＝≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，等號(hào)成立，因此R(t)在(0,1)單調(diào)遞增．
又R(1)＝0，因此R(t)＜0，t∈(0,1)，
故lnt＜，t∈(0,1)得證，
從而h′()＞0得證．
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