2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 文 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測(cè)熱度 1.坐標(biāo)系 1.了解坐標(biāo)系的作用及直角坐標(biāo)系內(nèi)的伸縮變換 2.了解極坐標(biāo)的概念,會(huì)在極坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置,能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互相轉(zhuǎn)化 3.能在極坐標(biāo)系中求簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程 Ⅱ 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,22; 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,22; 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,23; 2015課標(biāo)Ⅰ,23 解答題 ★★★ 2.參數(shù)方程 1.了解參數(shù)方程和參數(shù)的意義 2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程 3.理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的

2、幾何意義,并能用參數(shù)方程解決相關(guān)的問題 Ⅰ 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,22; 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,23; 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,23; 2015課標(biāo)Ⅱ,23 2014課標(biāo)Ⅰ,23 填空題、 ★★★ 分析解讀 坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考數(shù)學(xué)的選考部分,其中極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,直線與圓的參數(shù)方程及應(yīng)用是高考的重點(diǎn),難度不大,題型一般為解答題,分值為10分,但部分省份可能以填空題的形式出現(xiàn).本章也是對(duì)前面所學(xué)的解析幾何、平面幾何、三角函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步的深化,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用. (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)

3、m得l2的普通方程l2:y=(x+2).設(shè)P(x,y),由題設(shè)得 消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 聯(lián)立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-, 從而cos2θ=,sin2θ=, 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5, 所以交點(diǎn)M的極徑為. 五年高考 考點(diǎn)一　坐標(biāo)系 1.(2015湖南,12,5分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

4、2sin θ,則曲線C的直角坐標(biāo)方程為　　　　　　. 答案　x2+y2-2y=0 2.(2014陜西,15C,5分)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線ρsin=1的距離是　　　　. 答案　1 3.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,22,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. 解析　(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0

5、),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0).由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0).由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α· =2≤2+. 當(dāng)α=-時(shí),S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 4.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參

6、數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a. 解析　(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.(2分) 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(4分) (2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 (6分) 若ρ≠0,由方程組

7、得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,(8分) 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,從而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上. 所以a=1.(10分) 5.(2013遼寧,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓C1,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sin θ,ρcos=2. (1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo); (2)設(shè)P為C1的圓心,Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn).已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù)

8、),求a,b的值. 解析　(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4, 直線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0. 解 得 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,.(6分) (注:極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.) (2)由(1)可得,P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2),(1,3),故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0. 由參數(shù)方程可得y=x-+1, 所以 解得a=-1,b=2.(10分) 考點(diǎn)二　參數(shù)方程 1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C:(t為參數(shù))的普通方程為　　　　　　　. 答案　x-y-1=0 2.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,22,10分

9、)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a. 解析　(1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0, 故C上的點(diǎn)(3cos θ,sin θ)到l的距離為d=. 當(dāng)a≥-4時(shí),d的最大值為, 由題設(shè)得=, 所以a=8; 當(dāng)a<-4時(shí),d的最大值為, 由題設(shè)得=,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16.

10、3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=,求l的斜率. 解析　(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R). 設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2+12ρcos α+11=0.

11、(6分) 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|==.(8分) 由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分) 所以l的斜率為或-.(10分) 4.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin=2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo). 解析　(1)C1的普通方程為+y2=1. C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.(5

12、分) (2)由題意,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos α,sin α).因?yàn)镃2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值,d(α)==.(8分) 當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+(k∈Z)時(shí),d(α)取得最小值,最小值為,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.(10分) 5.(2016江蘇,21C,10分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng). 解析　橢圓C的普通方程為x2+=1. 將直線l的參數(shù)方程代入x2+=1, 得+=1,即7t2+16t=0,解得

13、t1=0,t2=-. 所以AB=|t1-t2|=. 6.(2015課標(biāo)Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α<π.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo); (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值. 解析　(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)

14、方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其中0≤α<π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α,α),B的極坐標(biāo)為(2cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4. 當(dāng)α=時(shí),|AB|取得最大值,最大值為4. 教師用書專用(7—11) 7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l1:(s為參數(shù))和直線l2:(t為參數(shù))平行,則常數(shù)a的值為　　　　. 答案　4 8.(2015陜西,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,☉C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

15、sin θ. (1)寫出☉C的直角坐標(biāo)方程; (2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí),求P的直角坐標(biāo). 解析　(1)由ρ=2sin θ,得 ρ2=2ρsin θ, 從而有x2+y2=2y, 所以x2+(y-)2=3. (2)設(shè)P,又C(0,), 則|PC|==, 故當(dāng)t=0時(shí),|PC|取得最小值, 此時(shí),P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0). 9.(2014課標(biāo)Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求

16、|PA|的最大值與最小值. 解析　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 直線l的普通方程為2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為 d=|4cos θ+3sin θ-6|, 則|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角, 且tan α=. 當(dāng)sin(θ+α)=-1時(shí),|PA|取得最大值,最大值為. 當(dāng)sin(θ+α)=1時(shí),|PA|取得最小值,最小值為. 10.(2014課標(biāo)Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

17、cos θ,θ∈. (1)求C的參數(shù)方程; (2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo). 解析　(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0≤t≤π). (2)設(shè)D(1+cos t,sin t). 由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓. 因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同.tan t=,t=. 故D的直角坐標(biāo)為,即. 11.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))

18、上,對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點(diǎn). (1)求M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn). 解析　(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù),0<α<2π). (2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d==(0<α<2π). 當(dāng)α=π時(shí),d=0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn). 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　坐標(biāo)系 1.(人教A選4—4,一,

19、3,A5,變式)已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcos θ=3,ρ=4cos θ(ρ≥0),則曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為　　　　　　　　　　　　　. 答案　,(k∈Z) 2.(2018衡水中學(xué)、鄭州一中12月聯(lián)考,22)已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的極坐標(biāo)方程; (2)若直線θ=與曲線C交于點(diǎn)A(不同于原點(diǎn)),與直線l交于點(diǎn)B,求|AB|的值. 解析　(1)ρ=2cos θ可化為ρ2=2ρcos θ, 根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得x

20、2+y2=2x, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x. 直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為x-y-1=0, 化為極坐標(biāo)方程為ρcos=. (2)將θ=代入ρ=2cos θ,可求得|OA|=1, 將θ=代入ρcos=,可求得|OB|=1+, 根據(jù)題意可知O、A、B三點(diǎn)共線,且|AB|=|OA|+|OB|=2+, ∴|AB|=2+. 3.(2018廣東廣州12月調(diào)研,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),將曲線C1經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C2,在以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ-ρsin θ-10=0.

21、 (1)說明曲線C2是哪一種曲線,并將曲線C2的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)已知點(diǎn)M是曲線C2上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l的距離的最大值和最小值. 解析　(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),伸縮變換為 所以曲線C2的參數(shù)方程為 所以C2的普通方程為x'2+y'2=4. 表示圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓. 所以C2的極坐標(biāo)方程為ρ2=4,即ρ=2. (2)直線l的普通方程為x-y-10=0. 由(1)知曲線C2表示圓心為原點(diǎn),半徑為2的圓,且圓心到直線l的距離d==5, 因?yàn)?>2,所以圓C2與直線l相離. 所以圓C2上的點(diǎn)M到直線l的距離的最大值為d+r=5+2,最小值為d

22、-r=5-2. 4.(2017山西太原模擬,22)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn),Ox軸為極軸,選擇相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=. (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并指出曲線是什么曲線; (2)若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求|AB|. 解析　(1)由ρ=得ρsin2θ=8cos θ, ∴ρ2sin2θ=8ρcos θ,∴y2=8x,∴曲線C表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線. (2)由(t為參數(shù))得y=2x-4,代入y2=8x,得x2-6x+4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2

23、=6,x1·x2=4,∴|AB|=·|x1-x2|=·=×=10. 考點(diǎn)二　參數(shù)方程 5.(2018山西康杰中學(xué)等六校12月聯(lián)考,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(0,),曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos=. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值. 解析　(1)由2ρcos=得 ρcos θ+ρsin θ=,即x+y-=0. 由(φ為參數(shù))得+=1. 所以曲線C的普通方程為+=1,直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-=0. (

24、2)由(1)知:直線l的傾斜角為,所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 代入曲線C的普通方程可得t2+2t-8=0. 設(shè)方程的兩根為t1,t2,則|PA|·|PB|=|t1t2|=8. 6.(2018河南洛陽(yáng)一模,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t參數(shù),m∈R),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2=(0≤θ≤π). (1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)已知點(diǎn)P是曲線C2上一點(diǎn),若點(diǎn)P到曲線C1的最小距離為2,求m的值. 解析　(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t,可得C1的普通方程為x-y+m=0

25、. 由曲線C2的極坐標(biāo)方程得3ρ2-2ρ2cos2θ=3,θ∈[0,π], ∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為+y2=1(0≤y≤1). (2)設(shè)曲線C2上任意一點(diǎn)P(cos α,sin α),α∈[0,π], 則點(diǎn)P到曲線C1的距離d==. ∵α∈[0,π],∴cos∈, ∴2cos∈[-2,], 當(dāng)m+<0時(shí),m+=-4,即m=-4-; 當(dāng)m-2>0時(shí),m-2=4,即m=6. ∴m=-4-或m=6. 7.(2017安徽黃山二模,22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=,過點(diǎn)P(1,0)的直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn). (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)求|PA|·

26、|PB|的取值范圍. 解析　(1)由ρ=得ρ2(1+sin2θ)=2,故曲線C的直角坐標(biāo)方程為+y2=1. (2)由題意知,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將代入+y2=1得 (cos2α+2sin2α)t2+2tcos α-1=0, 設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1t2=, 則|PA|·|PB|=|t1t2|==∈, ∴|PA|·|PB|的取值范圍為. 8.(2017廣東廣州聯(lián)考,22)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0<θ<π),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=4sin θ. (

27、1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)θ變化時(shí),求|AB|的最小值. 解析　(1)由(t為參數(shù))消去t得xcos θ-ysin θ+sin θ=0. 所以直線l的普通方程為xcos θ-ysin θ+sin θ=0, 由ρcos2θ=4sin θ得(ρcos θ)2=4ρsin θ, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x2=4y, 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2=4y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x2=4y,得t2sin2θ-4tcos θ-4=0, 設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=,

28、t1t2=-, 所以|AB|=|t1-t2|===, ∵0<θ<π,∴當(dāng)θ=時(shí),|AB|取最小值4. 9.(2016遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考,23)已知在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcos θ=0. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離d的取值范圍. 解析　(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 將t=x+3代入y=t,得直線l的普通方程為x-y+3=0. 曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcos θ=0, 將x=ρc

29、os θ,ρ2=x2+y2代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4. (2)設(shè)點(diǎn)P(2+2cos θ,2sin θ),θ∈R,則 d==, ∵θ∈R,∴d的取值范圍是. B組　2016—2018年模擬·提升題組 (滿分:40分　時(shí)間:40分鐘) 解答題(每小題10分,共50分) 1.(2018河南百校聯(lián)盟12月聯(lián)考,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C2:ρ=2sin. (1)求曲線C1的普通方程及C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)P(k,2k),若曲線C1與C2只有一個(gè)公

30、共點(diǎn)Q(Q與P不重合),求|PQ|. 解析　(1)由(t為參數(shù))消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x+y-3k=0. 由ρ=2sin可得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ, 由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y得C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=0. (2)曲線C1為直線,曲線C2表示以C2(1,1)為圓心,為半徑的圓, 若曲線C1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)Q,則圓心C2(1,1)到直線x+y-3k=0的距離為, 即=,解得k=0或k=. 當(dāng)k=0時(shí),P,Q重合于點(diǎn)(0,0),不滿足題意,舍去. 當(dāng)k=時(shí),P的坐標(biāo)為,易知點(diǎn)P在直線C1上,|PC2|==.

31、 所以|PQ|==. 2.(2017豫北名校聯(lián)盟聯(lián)考,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)求曲線C的普通方程; (2)經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)(平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn))作直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),若M恰好為線段AB的三等分點(diǎn),求直線l的斜率. 解析　(1)由曲線C的參數(shù)方程得(θ為參數(shù)), 所以曲線C的普通方程為+=1. (2)設(shè)直線l的傾斜角為θ1, 則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 代入曲線C的普通方程, 得(cos2θ1+4sin2θ1)t2+(4cos θ1+8sin θ1)t-8=0, 設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,

32、 所以 由題意可知t1=-2t2. 所以12sin2θ1+16sin θ1cos θ1+3cos2θ1=0, 即12tan2θ1+16tan θ1+3=0. 解得tan θ1=. 所以直線l的斜率為. 3.(2017河北衡水中學(xué)二調(diào),22)已知直線l:(t為參數(shù)),曲線C1:(θ為參數(shù)). (1)設(shè)l與C1相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|; (2)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的,縱坐標(biāo)壓縮為原來的,得到曲線C2,設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值. 解析　(1)l的普通方程為y=(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1, 聯(lián)立得方程組解得或所以l

33、與C1的交點(diǎn)為A(1,0),B, 所以|AB|==1. (2)由題意知C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)), 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是,從而點(diǎn)P到直線l的距離d==, 因此當(dāng)sin=-1時(shí),d取得最小值且最小值為(-1). 4.(2016廣東肇慶三模,23)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcos θ-4=0. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π). 解析　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),可得C1的普通方程為y2=x, 將

34、代入上式整理得ρsin2θ=cos θ, 即C1的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ-cos θ=0. (2)將曲線C2的極坐標(biāo)方程ρ2+2ρcos θ-4=0化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2+2x-4=0, 將y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去), 當(dāng)x=1時(shí),y=±1,所以C1與C2交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)為A(1,1),B(1,-1), ∵ρA==,ρB==,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,∴θA=,θB=. 故C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法 1

35、.(2018湖北八校12月聯(lián)考,22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系. (1)求曲線C的普通方程; (2)A,B為曲線C上兩點(diǎn),若OA⊥OB,求+的值. 解析　(1)由ρ2=得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9, 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得曲線C的普通方程是+y2=1. (2)因?yàn)棣?=,所以=+sin2θ, 設(shè)A(ρ1,α),由OA⊥OB知B點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為, 所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=. 2.(2017四川廣安等四市一模,22)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C1:(α為參數(shù))經(jīng)

36、過伸縮變換后的曲線為C2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C2的極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρsin=1,且曲線C3與曲線C2相交于P,Q兩點(diǎn),求|PQ|的值. 解析　(1)由題意得曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), 則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x'-1)2+y'2=1, 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos α. (2)由(1)知曲線C2是以(1,0)為圓心,1為半徑的圓, 易知曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0,表示直線, 所以曲線C2的圓心(1,0)到直線C3的距離d==,所以|PQ|=2=. 3.(2017山西太原一模,

37、22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為其中φ為參數(shù),曲線C2:x2+y2-2y=0,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線l:θ=α(ρ≥0)與曲線C1,C2分別交于點(diǎn)A,B(均異于原點(diǎn)O). (1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)當(dāng)0<α<時(shí),求|OA|2+|OB|2的取值范圍. 解析　(1)C1的普通方程為+y2=1, C1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0, C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. (2)聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C1的極坐標(biāo)方程得|OA|2=, 聯(lián)立θ=α(ρ≥0)與C2的極坐標(biāo)方程得|OB|2=4sin2α,

38、 則|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4. 令t=1+sin2α, 則|OA|2+|OB|2=+4t-4, 當(dāng)0<α<時(shí),t∈(1,2). 設(shè)f(t)=+4t-4, 易得f(t)在(1,2)上單調(diào)遞增, ∴|OA|2+|OB|2∈(2,5). 方法2　參數(shù)方程與普通方程的互化方法 4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C',過點(diǎn)F(,0)作傾斜

39、角為60°的直線交曲線C'于A,B兩點(diǎn),求|FA|·|FB|. 解析　(1)直線l的普通方程為2x-y+2=0, 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4. (2)∵ ∴C'的直角坐標(biāo)方程為+y2=1. 易知直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 將直線AB的參數(shù)方程代入+y2=1, 得t2+t-1=0, 則t1·t2=-, ∴|FA|·|FB|=|t1·t2|=. 方法3　與參數(shù)方程有關(guān)問題的求解方法 5.(2018四川成都七中一診,22)已知曲線C:(α為參數(shù))和定點(diǎn)A(0,),F1、F2是此曲線的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線A

40、F2的極坐標(biāo)方程; (2)經(jīng)過點(diǎn)F1且與直線AF2垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點(diǎn),求|MF1|-|NF1|的值. 解析　(1)可化為+=1,表示橢圓,焦點(diǎn)為F1(-1,0)和F2(1,0). 經(jīng)過A(0,)和F2(1,0)的直線方程為x+=1,即x+y-=0, ∴極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=. (2)由(1)知,直線AF2的斜率為-, 因?yàn)閘⊥AF2,所以l的斜率為, ∴l(xiāng)的傾斜角為30°, ∴l(xiāng)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 將其代入橢圓C的直角坐標(biāo)方程,整理得13t2-12t-36=0. ∵M(jìn),N在點(diǎn)F1的兩側(cè),∴|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.