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1、陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法 第一課時教案 北師大版選修2-2
教學(xué)目標(biāo):
1、知識與技能
(1)了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實質(zhì),掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟。
(2)會證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。
2、過程與方法
努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境,使學(xué)生處于積極思考,大膽質(zhì)疑的氛圍,提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率,讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程,體會類比的數(shù)學(xué)思想。
3、情感態(tài)度價值觀
通過本節(jié)課的教學(xué),使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想,小心求證的辯證思維素質(zhì),以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意見
2、和數(shù)學(xué)交流能力。
教學(xué)重點、難點:
教學(xué)重點:借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,掌握它的基本步驟,運用它證明一些簡單的與正整數(shù)n(n取無限多個值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。
教學(xué)難點:
(1)學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì),具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用,不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。
(2)運用數(shù)學(xué)歸納法時,在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。
第1課時
教學(xué)過程:
一、課題引入:
1、“多米諾骨牌”游戲動畫演示
2、舉例:如自行車賽中1人倒了,后面全倒了;古時候的烽火臺;過年,放鞭炮;祖輩姓王,子隨父姓,
3、子子孫孫皆姓王。
3、分析條件,引導(dǎo)學(xué)生遷移、升華, 形成數(shù)學(xué)方法:
①第一塊骨牌倒下;
②任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。
強調(diào)條件②的作用:是一種遞推關(guān)系(第k塊倒下,使第k+1塊倒下)。
二、探求新知:
提問問題1:
(1)若骨牌有無數(shù)個,則滿足了(1)、(2)后,能保證所有的骨牌都倒下嗎?
(2)若將此骨牌問題抽象為證明數(shù)學(xué)問題p(n),該作何解釋?
經(jīng)過啟發(fā)誘導(dǎo),得出數(shù)學(xué)歸納法及其證明題目的格式:
證明一個與正整數(shù)有關(guān)命題的關(guān)鍵步驟如下:
(1) 證明當(dāng)n=1(有時n的第一個值為)時結(jié)論正確;(歸納奠基)
(2) 假設(shè)當(dāng)n=k (k∈,k≥)
4、 時結(jié)論正確, 證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確.(歸納遞推)
完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.有(1)無(2)是有源無水;有(2)無(1)是有水無源。
提出問題2:
問題(2)的處理:啟發(fā)學(xué)生借助于特殊化、歸納總結(jié),得到猜想:
.
如何進行證明呢?引導(dǎo)學(xué)生解決問題.
三、實例應(yīng)用
例1、 證明:首項為,公差為的等差數(shù)列的前項和公式為
.
例 2、已知數(shù)列滿足,猜想的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明。
解析:由,得,,,。歸納上述結(jié)果,可猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想。
(1)當(dāng)時,,,結(jié)論
5、成立;
(2)假設(shè)時,命題成立,即成立。
那么,當(dāng)時,,這就是說,當(dāng)時等式成立。
根據(jù)(1)和(2),可知對于任意正整數(shù)n都成立。
反思:證明命題也成立時,要有目標(biāo)意識,瞄準(zhǔn)目標(biāo)“拼湊”。
變形:數(shù)列滿足,,猜想的通項
公式并證明。(證明課后思考)
四、課堂練習(xí)
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明:“”,在驗證時,左端計算所得的項為( )
A. 1 B. C. D.
2、用數(shù)學(xué)歸納法證明時,從n=k到n=k+1,左端需要增加的代數(shù)式為( )
A. B. C. D.
解析:B
3、若命題對n=k成立,則它對也成立,又已知
6、命題成立,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 對所有自然數(shù)n都成立
B. 對所有正偶數(shù)n成立
C. 對所有正奇數(shù)n都成立
D. 對所有大于1的自然數(shù)n成立
解析:B
五、課堂小結(jié)
1、數(shù)學(xué)歸納法是一種利用有限證明無限的方法,它適用于與自然數(shù)有關(guān)的問題。
2、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟:
1°驗證n=n0(n0為命題允許的最小正整數(shù))時,命題成立
2°假設(shè)n=k(k≥n0)時命題成立,證明n=k+1時命題成立,
由1°和2°對任意的n≥n0, n∈N* 命題成立。
兩個步驟缺一不可,否則結(jié)論不能成立;
3、在證明遞推步驟時,必須使用歸納假設(shè),進行恒等變換。