（全國通用版）2022年中考數(shù)學復習 第六單元 圓 第23講 與圓相關的位置關系練習

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1、（全國通用版）2022年中考數(shù)學復習 第六單元 圓 第23講 與圓相關的位置關系練習 重難點　切線的性質(zhì)與判定 　(xx·郴州T23，8分)已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°. (1)求證：直線AD是⊙O的切線； (2)若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為4，求AE的長． 【思路點撥】　(1)先求出∠ABC＝30°，進而求出∠BAD＝120°，再由OA＝OB即可求出∠OAB＝30°，結論得證；(2)先求出∠AOC＝60°，用三角函數(shù)求出AM，再用垂徑定理即可得出結論． 解：(1)∵∠AEC＝30°， ∴∠ABC＝

2、30°. ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABC＝30°. 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得∠BAD＝120°.2分 連接OA. ∵OA＝OB. ∴∠OAB＝∠ABC＝30°. ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°. ∴OA⊥AD. ∵點A在⊙O上， ∴直線AD是⊙O的切線.4分 (2)∵∠AEC＝30°， ∴∠AOC＝60°. ∵BC⊥AE于點M， ∴AE＝2AM，∠OMA＝90°.6分 在Rt△AOM中，AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝2. ∴AE＝2AM＝4.8分 　(xx·江西)如圖，在△ABC中，O為AC上一點，以點O為圓心，OC為半徑作圓，

3、與BC相切于點C，過點A作AD⊥BO交BO的延長線于點D，且∠AOD＝∠BAD. (1)求證：AB為⊙O的切線； (2)若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的長． 【思路點撥】　(1)作OE⊥AB，先由∠AOD＝∠BAD求得∠ABD＝∠OAD，再由∠BCO＝∠D＝90°及∠BOC＝∠AOD求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后證△BOC≌△BOE得OE＝OC，依據(jù)切線的判定可得；(2)先求得∠EOA＝∠ABC，在Rt△ABC中求得AC＝8，AB＝10，由切線長定理知BE＝BC＝6，AE＝4，OE＝3，繼而得BO＝3，再證△ABD∽△OBC得＝，據(jù)此可得答案． 【自主解答】　解：(1

4、)證明：過點O作OE⊥AB于點E， ∵AD⊥BO于點D， ∴∠D＝90°. ∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°. ∵∠AOD＝∠BAD， ∴∠ABD＝∠OAD. 又∵BC為⊙O的切線， ∴AC⊥BC. ∴∠BCO＝∠D＝90°. ∵∠BOC＝∠AOD， ∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD. 在△BOC和△BOE中， ∴△BOC≌△BOE(AAS)． ∴OE＝OC. ∵OE⊥AB， ∴AB是⊙O的切線． (2)∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°， ∴∠EOA＝∠ABC. ∵tan∠ABC＝，BC＝6， ∴AC＝BC·t

5、an∠ABC＝8. 則AB＝＝10. 由(1)知，BE＝BC＝6， ∴AE＝4. ∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝， ∴＝. ∴OE＝3，OB＝＝3. ∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ABD∽△OBC. ∴＝，即＝. ∴AD＝2. 證明圓的切線時，可以分以下兩種情況： (1)若直線過圓上某一點，證明直線是圓的切線時，只需連接過這點的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡述為：“連半徑，證垂直，得切線”．“證垂直”時通常利用圓中的關系得到90°的角(如例1(1))； (2)直線與圓沒有已知的公共點時，通常過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于圓

6、的半徑，可簡述為：“作垂直，證半徑，得切線”．證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等(如例2(1))． 考點1　 點與圓的位置關系 1．已知點A在直徑為8 cm的⊙O內(nèi)，則OA的長可能是(D) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm 2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以C點為圓心，2為半徑作⊙C，則AB的中點O與⊙C的位置關系是(B) A．點O在⊙C外 B．點O在⊙C上 C．點O在⊙C內(nèi)

7、D．不能確定 考點2　 直線與圓的位置關系 3．在平面直角坐標系中，以點(3，2)為圓心、3為半徑的圓，一定(C) A．與x軸相切，與y軸相切 B．與x軸相切，與y軸相交 C．與x軸相交，與y軸相切 D．與x軸相交，與y軸相交 4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB為直徑的圓，則直線DC與⊙O的位置關系是相離． 考點3　 切線的性質(zhì)與判定 5．(xx·福建)如圖，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，AC交⊙O于點D.若∠ACB＝50°，則∠BOD等于(D) A．40° B．50°

8、 C．60° D．80° 6．(xx·日照)如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，連接PO并延長交⊙O于點C，連接AC，AB＝10，∠P＝30°，則AC的長度是(A) A．5 B．5 C．5 D. 7．(xx·重慶A卷)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD與⊙O相切于點D，過點B作PD的垂線交PD的延長線于點C.若⊙O的半徑為4，BC＝6，則PA的長為(A) A．4 B．2 C．3 D．2.5 8．(xx

9、·無錫)如圖，在矩形ABCD中，G是BC中點，過A，D，G三點的⊙O與邊AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，給出下列說法：①AC與BD的交點是⊙O的圓心；②AF與DE的交點是⊙O的圓心；③BC與⊙O相切，其中正確的說法的個數(shù)是(C) A．0 B．1 C．2 D．3 9．(xx·黃岡)如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，過點B的切線交OP于點C. (1)求證：∠CBP＝∠ADB； (2)若OA＝2，AB＝1，求線段BP的長． 解：(1)證明：連接OB，則OB⊥BC，∠OBD＋∠

10、DBC＝90°. 又AD為直徑， ∴∠DBP＝∠DBC ＋∠CBP＝90°. ∴∠OBD＝∠CBP. 又OD＝OB，∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠CBP，即∠ADB＝∠CBP. (2)∵∠ABD＝∠AOP，∠DAB＝∠PAO， ∴△ADB∽△APO.∴＝. ∵AB＝1，AO＝2，AD＝4， ∴AP＝8，BP＝7. 10．(xx·金華)如圖，在Rt△ABC中，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點D，E，連接AD.已知∠CAD＝∠B. (1)求證：AD是⊙O的切線； (2)若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半徑． 解：(1)

11、證明：連接OD. ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B. ∵∠B＝∠CAD， ∴∠ODB＝∠CAD. 在Rt△ACD中，∠CAD＋∠ADC＝90°， ∴∠ODB＋∠ADC＝90°. ∴∠ADO＝180°－(∠ADC＋∠ODB)＝90°. ∴OD⊥AD. 又∵OD是⊙O的半徑， ∴AD是⊙O的切線． (2)設⊙O的半徑為r. 在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝8×＝4. ∴AB＝＝＝4. ∴OA＝4－r. 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tanB＝. ∴CD＝AC·tan∠CAD＝4×＝2. ∴AD2＝AC2＋CD2＝42＋22＝20. 在Rt△ADO中，

12、OA2＝OD2＋AD2. ∴(4－r)2＝r2＋20. 解得r＝. 考點4　切線長定理 11．(xx·深圳)如圖，小明同學測量一個光盤的直徑，他只有一把直尺和一塊三角板，他將直尺、光盤和三角板如圖放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，則此光盤的直徑是(D) A．3 cm B．3 cm C．6 cm D．6 cm 12．如圖，△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內(nèi)切圓，點D是其中的一個切點，已知AD＝10 cm，小明準備用剪刀沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下一塊三角形(△AMN)，則剪下的△AMN的

13、周長為20__cm． 13．(xx·婁底)如圖，已知半圓O與四邊形ABCD的邊AD，AB，BC都相切，切點分別為D，E，C，半徑OC＝1，則AE·BE＝1． 考點5　 三角形與圓 14．(xx·黃石)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，則△ABC內(nèi)切圓的周長為4π． 15．如圖，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半徑至少為cm的圓形紙片所覆蓋． 16．(xx·瀘州)在平面直角坐標系內(nèi)，以原點O為圓心，1為半徑作圓，點P在直線y＝x＋2上運動，過點P作該圓的一條切線，切點為A，則PA的最小值為(D) A．3

14、 B．2 C. D. 17．(xx·寧波)如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連接PM，以點P為圓心，PM長為半徑作⊙P.當⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為3或4． 18．(xx·內(nèi)江)已知△ABC的三邊a，b，c，滿足a＋b2＋|c－6|＋28＝4＋10b，則△ABC的外接圓半徑＝． 19．(xx·內(nèi)江)如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O交斜邊AC于點D，過圓心O作OE∥AC，交BC于點E，連接DE. (1)判斷DE與⊙O的位置關系并說明理由； (2)求證：2DE2＝CD·OE； (3)若tanC＝

15、，DE＝，求AD的長． 解：(1)DE是⊙O的切線． 理由：連接OD，BD. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. ∵OE∥AC，OA＝OB， ∴BE＝CE. ∴DE＝BE＝CE. ∴∠DBE＝∠BDE. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB. ∴∠ODE＝∠OBE＝90°. ∵點D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切線． (2)證明：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△BCD∽△ACB. ∴＝. ∴BC2＝CD·AC. 由(1)知，DE＝BE＝CE＝BC. ∴4DE2＝CD·AC. 由(1)知，OE是△ABC的中位線， ∴AC＝2OE. ∴4DE2＝CD·2OE. ∴2DE2＝CD·OE. (3)∵DE＝， ∴BC＝5.在Rt△BCD中，tanC＝＝， 設CD＝3x，BD＝4x，根據(jù)勾股定理，得 (3x)2＋(4x)2＝25. ∴x＝－1(舍)或x＝1. ∴BD＝4，CD＝3. 由(2)知，BC2＝CD·AC， ∴AC＝＝. ∴AD＝AC－CD＝－3＝.