（全國通用版）2022年中考數(shù)學復習 第五單元 四邊形 滾動小專題（六）與四邊形有關(guān)的計算與證明練習

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1、（全國通用版）2022年中考數(shù)學復習 第五單元 四邊形 滾動小專題（六）與四邊形有關(guān)的計算與證明練習 1．(xx·大慶)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別是AB，AC的中點，連接CD，過E作EF∥DC交BC的延長線于點F. (1)證明：四邊形CDEF是平行四邊形； (2)若四邊形CDEF的周長是25 cm，AC的長為5 cm，求線段AB的長度． 解：(1)證明：∵D，E分別是AB，AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上的一點， ∴ED是Rt△ABC的中位線． ∴ED∥FC.BC＝2DE. 又 EF∥DC， ∴四邊形CDEF是平行四邊形． (2)∵四邊形CDEF是

2、平行四邊形， ∴DC＝EF. ∵DC是Rt△ABC斜邊AB上的中線， ∴AB＝2DC. ∴四邊形CDEF的周長＝AB＋BC. ∵四邊形CDEF的周長為25 cm，AC的長5 cm， ∴BC＝25－AB. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52. 解得AB＝13. ∴線段AB的長為13 cm. 2．如圖，在?ABCD中，直線EF繞對角線AC的中點O旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于E，F(xiàn)兩點，連接AE，CF. (1)求證：四邊形AECF是平行四邊形； (2)若AC＝2，∠CAF＝30°，則當AF＝時，四邊形AEC

3、F是矩形． 證明：在?ABCD中，AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE. ∵點O是?ABCD對角線的交點， ∴OA＝OC. 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE(ASA)． ∴AF＝CE. ∵AF∥CE， ∴四邊形AECF是平行四邊形. 3．(xx·揚州)如圖，在?ABCD中，DB＝DA，點F 是AB的中點，連接DF并延長，交CB的延長線于點E，連接AE. (1)求證：四邊形AEBD是菱形； (2)若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面積． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥CE， ∴∠DAF＝∠

4、EBF. ∵∠AFD＝∠BFE，AF＝BF， ∴△AFD≌△BFE(ASA)． ∴AD＝EB.∵AD∥EB， ∴四邊形AEBD是平行四邊形． ∵BD＝AD， ∴四邊形AEBD是菱形． (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD＝AB＝10，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠DCB. ∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3. ∵四邊形AEBD是菱形， ∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF. ∴tan∠ABE＝＝3. ∵DC＝，BF＝， ∴EF＝. ∴DE＝3. ∴S菱形AEBD＝·AB·DE＝××3＝15. 4．(xx·上海)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥

5、BC，AD＝CD，E是對角線BD上一點，且EA＝EC. (1)求證：四邊形ABCD是菱形； (2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求證：四邊形ABCD是正方形． 證明：(1)在△ADE和△CDE中， ∴△ADE≌△CDE(SSS)．∴∠ADE＝∠CDE. ∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC. ∴∠BDC＝∠DBC.∴CD＝BC＝AD. 又∵AD∥BC.∴四邊形ABCD是菱形． (2)∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE. 設(shè)∠CBE＝2x°，∠BCE＝∠BEC＝3x°，則 2x＋3x＋3x＝180，解得x＝22.5. ∴∠CBD＝∠CDB＝45°

6、. ∴∠BCD＝90°. ∴四邊形ABCD是正方形． 5．(xx·荊州)如圖，對折矩形ABCD，使AB與DC重合，得到折痕MN，將紙片展平；再一次折疊，使點D落在MN上的點F處，折痕AP交MN于點E；延長PF交AB于點G.求證： (1)△AFG≌△AFP； (2)△APG為等邊三角形． 證明：(1)由折疊可知M，N分別為AD，BC的中點． ∵DC∥MN∥AB， ∴F為PG的中點，即PF＝FG. 又∵∠PFA＝∠D＝90°， ∴∠AFP＝∠AFG＝90°. 在△AFG和△AFP中， ∴△AFG≌△AFP(SAS)． (2)由題意知，△APD≌△APF≌△AG

7、F. ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，AP＝AG. ∴∠PAG＝60°. ∴△APG為等邊三角形． 6．(xx·吉林)如圖1，在△ABC中，AB＝AC，過AB上一點D作DE∥AC交BC于點E，以E為頂點，ED為一邊作∠DEF＝∠A，另一邊EF交AC于點F. (1)求證：四邊形ADEF為平行四邊形； (2)當點D為AB中點時，?ADEF的形狀為菱形； (3)延長圖1中的DE到點G，使EG＝DE，連接AE，AG，F(xiàn)G，得到圖2.若AD＝AG，試判斷四邊形AEGF的形狀，并說明理由． 　　 圖1　　　　　　　　　　圖2 解：(1)證明：∵DE∥AC， ∴∠ADE＋∠DEF＝

8、180°，∠A＋∠AFE＝180°. 又∵∠DEF＝∠A， ∴∠ADE＝∠AFE. ∴四邊形ADEF為平行四邊形． (3)四邊形AEGF為矩形．證明如下： ∵四邊形ADEF為平行四邊形； ∴DEAF. 又∵DE＝EG， ∴EGAF. ∴四邊形AEGF為平行四邊形． 又∵AD＝AG，DE＝EG， ∴∠AEG＝90°. ∴平行四邊形AEGF為矩形． 7．(xx·北京)如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(不與點A，B重合)，連接DE，點A關(guān)于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH.

9、(1)求證：GF＝GC； (2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明． 解：(1)證明：連接DF. ∵點A關(guān)于直線DE的對稱點為F， ∴AE＝FE，DA＝DF. 在△DAE和△DFE中， ∴△DAE≌△DFE(SSS)． ∴∠DFE＝∠A＝90°. ∵DA＝DC，∴DC＝DF. 在Rt△DCG和Rt△DFG中， ∴Rt△DCG≌Rt△DFG(HL)． ∴GF＝GC. (2)BH＝AE. 證明：過點H作HI⊥AB于點I. 由(1)可知，∠EDF＋∠FDG＝45°. ∵EH⊥DE， ∴△DEH為等腰直角三角形． ∴∠DEA＋∠HEI＝90°. 又∵∠D

10、EA＋∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠IEH. 在△DAE和△EIH中， ∴△DAE≌△EIH(AAS)． ∴AE＝IH，AD＝EI. ∴AE＋BE＝BE＋BI.∴BI＝AE. ∴AE＝IH＝BI，△BHI是等腰直角三角形． ∴BH＝BI＝AE. 8．(xx·臨沂)將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG. (1)如圖1，當點E在BD上時，求證：DF＝CD； (2)當α為何值時，GC＝GB？畫出圖形，并說明理由． 　　 圖1　　　　　　　　　　　圖2 解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°

11、，EF＝BC＝AD， ∴∠AEB＝∠ABE. 又∵∠ABE＋∠EDA＝∠AEB＋∠DEF＝90°， ∴∠EDA＝∠DEF. 又∵DE＝ED， ∴△AED≌△FDE(SAS)． ∴DF＝EA. 又∵AE＝AB＝CD， ∴CD＝DF. (2)當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上， 分兩種情況討論： ①當點G在AD的右側(cè)時，取BC的中點H，連接GH交AD于點M. ∵GC＝GB， ∴GH⊥BC. ∴四邊形ABHM是矩形． ∴AM＝BH＝AD＝AG. ∴GM垂直平分AD. ∴GD＝GA＝DA. ∴△ADG是等邊三角形． ∴∠DAG＝60°， ∴旋轉(zhuǎn)角α＝60°. ②當點G在AD的左側(cè)時，同理可得，△ADG是等邊三角形． ∴∠DAG＝60°， ∴旋轉(zhuǎn)角α＝360°－60°＝300°.