（文理通用）2022屆高考數(shù)學大二輪復習 第1部分 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積練習

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1、（文理通用）2022屆高考數(shù)學大二輪復習 第1部分 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積練習 1．如圖1所示，是一個棱長為2的正方體被削去一個角后所得到的幾何體的直觀圖，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是( C ) [解析]　由直觀圖和俯視圖知，正視圖中點D1的射影是B1，所以正視圖是選項C中的圖形，A中少了虛線，故不正確． 2．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( C ) A．20π　　　 B．24π　　　　 C．28π　　　 D．32π [解析]　該

2、幾何體是圓錐與圓柱的組合體，由三視圖可知圓柱底面圓的半徑r＝2，底面圓的周長c＝2πr＝4π，圓錐的母線長l＝＝4，圓柱的高h＝4，所以該幾何體的表面積S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π，故選C． 3．(文)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( A ) A．12－π B．12－2π C．6－π D．4－π [解析]　由三視圖知，該幾何體是一個組合體，由一個長方體挖去一個圓柱構(gòu)成，長方體的長、寬高為4,3,1，圓柱底半徑1，高為1，∴體積V＝4×3×1－π×12×1＝12－π. (理)若某棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該棱錐的體積等

3、于( B ) A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm3 [解析]　由三視圖知該幾何體是四棱錐，可視作直三棱柱ABC－A1B1C1沿平面AB1C1截去一個三棱錐A－A1B1C1余下的部分． ∴VA－BCC1B1＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝×4×3×5－×(×4×3)×5＝20cm3. 4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( B ) A．18＋2π B．20＋π C．20＋ D．16＋π [解析]　由三視圖可知，這個幾何體是一個邊長為2的正方體割去了相對邊對應的兩個半徑為1、高為1的圓柱體，其表面

4、積相當于正方體五個面的面積與兩個圓柱的側(cè)面積的和，即該幾何體的表面積S＝4×5＋2×2π×1×1×＝20＋π. 故選B． 5．(2018·雙鴨山一模)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為( A ) A． B． C．4 D．2π [解析]　由已知幾何體的正視圖是一個正三角形，側(cè)視圖和俯視圖均為三角形，可得該幾何體有一個側(cè)面PAC垂直于底面，高為，底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，如圖． 則這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心， 這個幾何體的外接球的半徑R＝PD＝. 則這個幾何體的外接球的

5、表面積為S＝4πR2＝4π×()2＝. 6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為. [解析]　利用三棱錐的體積公式直接求解． VD1－EDF＝VF－DD1E＝SD1DE·AB＝××1×1×1＝. 7．已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC與AD的中點，且BC＝2AB＝2，現(xiàn)沿EF將平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，則三棱錐A－FEC外接球的體積為π. [解析]　如圖，平面ABEF⊥平面EFDC，AF⊥EF， 所以AF⊥平面ECDF，將三棱錐A－FEC補成正方體ABC′D′－FECD．

6、 依題意，其棱長為1，外接球的半徑R＝， 所以外接球的體積V＝πR3＝π·()3＝π. 8．(文)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)證明：AB⊥A1C； (2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積． [解析]　(1)取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B． 因為CA＝CB，所以O(shè)C⊥AB． 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB． 因為OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C． 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C． (2)由題設(shè)知△

7、ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝. 又A1C＝，則A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC． 因為OC∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又△ABC的面積S△ABC＝.故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABC×OA1＝3. (理)如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)證明：直線BC∥平面PAD； (2)若△PCD的面積為2，求四棱錐P－ABCD的體積． [解析]　(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝

8、90°，所以BC∥AD． 又BC?平面PAD，AD?平面PAD， 故BC∥平面PAD． (2)如圖，取AD的中點M，連接PM，CM. 由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD． 因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD． 因為CM?底面ABCD， 所以PM⊥CM. 設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x. 如圖，取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD， 所以PN＝x. 因為△PCD的面積為2， 所以×x×x＝2， 解得x

9、＝－2(舍去)或x＝2. 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2. 所以四棱錐P－ABCD的體積V＝××2＝4. B組 1．(文)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為( D ) A．60 B．30 C．20 D．10 [解析]　 由三視圖畫出如圖所示的三棱錐P－ACD，過點P作PB⊥平面ACD于點B，連接BA，BD，BC，根據(jù)三視圖可知底面ABCD是矩形，AD＝5，CD＝3，PB＝4，所以V三棱錐P－ACD＝××3×5×4＝10. 故選D． (理)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為( B ) A．3 B．2 C．2

10、 D．2 [解析]　在正方體中還原該四棱錐，如圖所示， 可知SD為該四棱錐的最長棱． 由三視圖可知正方體的棱長為2， 故SD＝＝2. 故選B． 2．(2018·宜賓一模)三棱錐A－BCD內(nèi)接于半徑為2的球O，BC過球心O，當三棱錐A－BCD體積取得最大值時，三棱錐A－BCD的表面積為( D ) A．6＋4 B．8＋2 C．4＋6 D．8＋4 [解析]　由題意，BC為直徑，△BCD的最大面積為×4×2＝4， 三棱錐A－BCD體積最大時，AO⊥平面BCD，三棱錐的高為2， 所以三棱錐A－BCD的表面積為4×2＋2××2×＝8＋4. 3．三棱錐P－ABC中，PA

11、⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為( C ) A． B．4π C．8π D．20π [解析]　由題意得，此三棱錐外接球即為以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因為△ABC的外接圓半徑r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，所以外接球的半徑R＝＝，所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π， 故選C． 4．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的四個面中面積最大的為( B ) A．2 B．2 C．4 D．2

12、[解析]　如圖，四面體的直觀圖是棱長為2的正方體ABCD－MNPQ中的三棱錐Q－BCN，且QB＝＝2，NC＝QN＝QC＝2，四面體Q－BCN各面的面積分別為S△QBN＝S△QBC＝×2×2＝2，S△BCN＝×2×2＝2，S△QCN＝×(2)2＝2， 面積最大為2. 5．三棱錐S－ABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱SB的長為( B ) A．2 B．4 C． D．16 [解析]　由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC為等腰三角形， 在△ABC中AC＝4，AC邊上的高為2， 故BC＝4， 在Rt△SBC中，由SC＝4， 可得SB＝4.

13、 6．設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等且＝，則的值是. [解析]　設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則有2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，又＝，∴＝，∴＝，則＝()2＝. 7．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D－ABC，當三棱錐D－ABC的體積取最大值時，其外接球的體積為π. [解析]　當平面DAC⊥平面ABC時，三棱錐D－ABC的體積取最大值．此時易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面B

14、CD，∴AD⊥BD，取AB的中點O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O為所求外接球的球心，故半徑r＝1，體積V＝πr3＝π. 8．(文)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD． (1)證明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E____ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積． [解析]　(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD． 因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE. 故AC⊥平面BED．又AC?平面AEC， 所以平面AEC⊥平面BED． (2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中， 由∠ABC＝120

15、°，可得AG＝GC＝x， GB＝GD＝. 因為AE⊥EC， 所以在Rt△AEC中，可得EG＝x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝x. 由已知得，三棱錐E-ACD的體積 VE-ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝. 故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝. 所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為. 故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2. (理)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分別是CE和CF的中點． (1)求證：AC⊥平面BDEF；

16、 (2)求證：平面BDGH//平面AEF； (3)求多面體ABCDEF的體積． [解析]　(1)證明：因為四邊形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD． 又因為平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD， 且AC?平面ABCD， 所以AC⊥平面BDEF. (2)證明：在△CEF中，因為G、H分別是CE、CF的中點， 所以GH∥EF， 又因為GH?平面AEF，EF?平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 設(shè)AC∩BD＝O，連接OH， 在△ACF中，因為OA＝OC，CH＝HF， 所以O(shè)H∥AF， 又因為OH?平面AEF，AF?平面AEF， 所以O(shè)H∥平面AEF. 又因為OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. (3)解：由(1)，得AC⊥平面BDEF， 又因為AO＝，四邊形BDEF的面積SBDEF＝3×2＝6， 所以四棱錐A－BDEF的體積V1＝×AO×SBDEF＝4. 同理，四棱錐C－BDEF的體積V2＝4. 所以多面體ABCDEF的體積V＝V1＋V2＝8.