中考復習篇之《專題六 二次函數(shù)綜合題》

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專題六　二次函數(shù)綜合題 類型一 代數(shù)問題 (2019安徽)一次函數(shù)y＝kx＋4與二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象的一個交點坐標為(1，2)，另一個交點是該二次函數(shù)圖象的頂點． (1)求k，a，c的值； (2)過點A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象相交于B，C兩點，點O為坐標原點，記W＝OA2＋BC2，求W關于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值． 【分析】 (1)把(1，2)分別代入y＝kx＋4和y＝ax2＋c，得k＋4＝－2和a＋c＝2，然后求出二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(0，4)，可得c＝4，然后計算得到a的值； (2)由A(0，m)(0＜m＜4)可得OA＝m，令y＝－2x2＋4＝m，求出B，C坐標，進而表示出BC長度，將OA，BC代入W＝OA2＋BC2中得到W關于m的函數(shù)解析式，求出最小值即可． 【自主解答】 1．(2019長春)已知函數(shù) (1)當n＝5， ①點P(4，b)在此函數(shù)圖象上，求b的值； ②求此函數(shù)的最大值． (2)已知線段AB的兩個端點坐標分別為A(2，2)、B(4，2)，當此函數(shù)的圖象與線段AB只有一個交點時，直接寫出n的取值范圍． (3)當此函數(shù)圖象上有4個點到x軸的距離等于4，求n的取值范圍． 2．(2014安徽)若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”． (1)請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)； (2)已知關于x的二次函數(shù)y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的圖象經過點A(1，1)．若y1＋y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達式，并求出當0≤x≤3時，y2的最大值． 3．(2019陜西)在平面直角坐標系中，已知拋物線L：y＝ax2＋(c－a)x＋c經過點A(－3，0)和點B(0，－6)，L關于原點O對稱的拋物線為L′. (1)求拋物線L的表達式； (2)點P在拋物線L′上，且位于第一象限，過點P作PD⊥y軸，垂足為D.若△POD與△AOB相似，求符合條件的點P的坐標． 4．(2019廣州)已知拋物線G：y＝mx2－2mx－3有最低點． (1)求二次函數(shù)y＝mx2－2mx－3的最小值(用含m的式子表示)； (2)將拋物線G向右平移m個單位得到拋物線G1.經過探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線G1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數(shù)關系，求這個函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍； (3)記(2)所求的函數(shù)為H，拋物線G與函數(shù)H的圖象交于點P，結合圖象，求點P的縱坐標的取值范圍． 5．(2019長沙)已知拋物線y＝－2x2＋(b－2)x＋(c－2 020)(b，c為常數(shù))． (1)若拋物線的頂點坐標為(1，1)，求b，c的值； (2)若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求c的取值范圍； (3)在(1)的條件下，存在正實數(shù)m，n(m＜n)，當m≤x≤n時，恰好≤≤，求m，n的值． 類型二 幾何問題 (2018泰州)在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的圖象與x軸有兩個交點． (1)當m＝－2時，求二次函數(shù)的圖象與x軸交點的坐標； (2)過點P(0，m－1)作直線l⊥y軸，二次函數(shù)圖象的頂點A在直線l與x軸之間(不包含點A在直線l上)，求m的范圍； (3)在(2)的條件下，設二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線l相交于點B，求△ABO的面積最大時m的值． 【分析】(1)先將m＝－2代入，得出函數(shù)解析式，再列一元二次方程即可求解；(2)先對函數(shù)圖象的大概位置有個初步的認識，結合題干中的條件“圖象與x軸有兩個交點”得拋物線的頂點在x軸的下方，且在直線l上方，這樣可以根據(jù)點A的縱坐標列不等式組求解；(3)在(2)的基礎上進一步明確拋物線的頂點A在第三象限，用含m的代數(shù)式表示出△ABO的底AB和高，就可以列出其面積關于m的函數(shù)關系式，從而利用二次函數(shù)的最值解決問題． 【自主解答】 1．如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋m的圖象與x軸的一個交點為B(－1，0)，另一個交點為A，且與y軸交于點C. (1)求m的值； (2)求直線AC的函數(shù)表達式； (3)該二次函數(shù)的圖象上有點D(x，y)(不與點C重合)，使S△ABD＝S△ABC，求點D坐標． 2．(2019合肥包河區(qū)一模)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3經過點A(－1，0)、B(4，0)，E是線段OB上一動點(點E不與O、B重合)，過點E作x軸的垂線交拋物線于點D，交線段BC于點G，過點D作DF⊥BC，垂足為點F. (1)求該拋物線的解析式； (2)試求線段DF的長h關于點E的橫坐標x的函數(shù)解析式，并求出h的最大值． 3．(2019甘肅)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點A(1，0)、B(3，0)，與y軸交于點C. (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)若點P為拋物線上的一點，點F為對稱軸上的一點，且以點A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標； (3)點E是二次函數(shù)第四象限圖象上一點，過點E作x軸的垂線，交直線BC于點D，求四邊形AEBD面積的最大值及此時點E的坐標． 4．(2019本溪)拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(5，0)兩點，頂點為C，對稱軸交x軸于點D，點P為拋物線對稱軸CD上的一動點(點P不與C，D重合)．過點C作直線PB的垂線交PB于點E，交x軸于點F. (1)求拋物線的解析式； (2)當△PCF的面積為5時，求點P的坐標； (3)當△PCF為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標． 參考答案 【專題類型突破】 類型一 【例1】 解：(1)由題意得，k＋4＝2，解得k＝－2， 則一次函數(shù)解析式為：y＝－2x＋4. 又∵二次函數(shù)頂點橫坐標為0， ∴頂點坐標為(0，4)． ∴c＝4. 把(1，2)代入二次函數(shù)表達式得a＋c＝2，解得a＝－2. (2)∵由(1)得二次函數(shù)解析式為y＝－2x2＋4，令y＝m，得2x2＋m－4＝0. ∴x＝，設B，C兩點的坐標分別為(x1，m)(x2，m)，則|x1|＋|x2|＝2， ∴W＝OA2＋BC2＝m2＋4＝m2－2m＋8＝(m－1)2＋7. ∴當m＝1時，W取得最小值7. 跟蹤訓練 1．解：(1)當n＝5時， y＝， ①將P(4，b)代入y＝－x2＋x＋，得b＝； ②當x≥5時，當x＝5時有最大值為5； 當x<5時，當x＝時有最大值為， ∴函數(shù)的最大值為； (2)將點(4，2)代入y＝－x2＋nx＋n中， 得n＝， 當4，∴n>8， 當x＝時，y＝＋， ＋≤4，∴n≥， 當x＝n時，y＝－n2＋n2＋n＝n， n<4； ∴函數(shù)圖象上有4個點到x軸的距離等于4時，n>8或n≤<4. 2．解：(1)定義翻譯：“同簇二次函數(shù)”即兩個二次函數(shù)y1與y2的頂點坐標一樣，且二次項系數(shù)的正負性相同． 本題是開放題，答案不唯一，符合題意即可．如y1＝2x2，y2＝x2，頂點坐標都為(0，0)，且二次項系數(shù)均為正數(shù)，故符合． (2)∵函數(shù)y1的圖象經過點A(1，1)，∴2－4m＋2m2＋1＝1，解得m1＝m2＝1， ∴y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1. ∵y1＋y2與y1為“同簇二次函數(shù)”， ∴可設y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k>0)， 則y2＝k(x－1)2＋1－y1＝(k－2)(x－1)2. 由題意可知函數(shù)y2的圖象經過點(0，5)， 則(k－2)(－1)2＝5.∴k－2＝5. ∴y2＝5(x－1)2＝5x2－10x＋5. 根據(jù)y2的函數(shù)圖象性質可知：當0≤x≤1時，y隨x的增大而減??；當12 020. (3)由(1)可知拋物線y＝－2x2＋4x－1＝－2(x－1)2＋1， ∴y≤1， ∵01， ∴2n2－2n－1＝0， 解得n1＝(舍去)，n2＝. 同理，由②得到：(m－1)(2m2－2m－1)＝0， ∵1≤m≤n， ∴2m2－2m－1＝0， 解得m1＝1，m2＝(舍去)，m3＝(舍去)． 綜上所述，m＝1，n＝. 類型二 【例2】 (1)當m＝－2時， 函數(shù)為y＝x2＋4x＋2， 令y＝0，則x2＋4x＋2＝0， 解得x1＝－2＋，x2＝－2－， 則函數(shù)圖象與x軸交點的坐標為(－2＋，0)，(－2－，0)． (2)∵y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2＝(x－m)2＋2m＋2， ∴A(m，2m＋2)． ∵拋物線與x軸有兩個交點，且開口向上， ∴點A在x軸下方， 由題意，得 解得－3＜m＜－1. (3)如解圖，由(2)知，拋物線對稱軸為直線x＝m，頂點為A(m，2m＋2)， ∵－3＜m＜－1，∴A在第三象限． ∵B為拋物線對稱軸與l的交點， ∴B(m，m－1)且點m在點A下方． ∴AB＝2m＋2－(m－1)＝m＋3. ∴S△ABO＝(－m)(m＋3)＝－(m＋)2＋. ∴當m＝－時，S△ABO最大＝. 綜上所述，△ABO的面積最大時m的值為－. 跟蹤訓練 1．解：(1)將點B(－1，0)代入y＝－x2＋2x＋m，得： －1－2＋m＝0，m＝3，即m的值為3. (2)由(1)知，拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3， 當y＝0時，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. 則A(3，0)，B(－1，0)． 設直線AC的解析式為y＝kx＋b，有： 解得 故直線AC：y＝－x＋3. (3)以AB為底，若S△ABD＝S△ABC，則點C，D到直線AB的距離相等． ∵D(x，y)，則y＝3，代入拋物線的表達式中，有： y＝3時，－x2＋2x＋3＝3， 解得x1＝0，x2＝2，∴D1(2，3)； y＝－3時，－x2＋2x＋3＝－3， 解得x3＝1＋，x4＝1－， ∴D2(1＋，－3)，D3(1－，－3)． 綜上所述，點D的坐標為(2，3)，(1＋，－3)，(1－，－3)． 2．解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋bx＋3過點 A(－1，0)，B (4，0)， 可得解得 則拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋3. (2)∵DF⊥BC^，DE⊥AB^，OC⊥AB， ∴OC∥DE，∴∠DGF＝∠OCB. ∴sin∠OCB＝sin∠DGF，∴＝. ∴DF＝DG. ∵OC＝3，OB＝4，∴BC＝5，∴DF＝DG. ∵直線BC經過點B(4，0)，C(0，3)， ∴yBC＝－x＋3. ∴點G坐標為(x，－x＋3)． ∵點D坐標為(x，－x2＋x＋3)， ∴DG＝－x2＋x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x， ∴DF＝h＝(－x2＋3x) ＝－x2＋x ＝－(x－2)2＋. ∴當x＝2時，h取最大值，h最大值＝. 3．解：(1)用交點式函數(shù)表達式得：y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3； 故二次函數(shù)表達式為：y＝x2－4x＋3； (2)①當AB為平行四邊形一條邊時，如解圖1， 解圖1 則AB＝PF＝2， 則點P坐標為(4，3)， 當點P在對稱軸左側時，即點C的位置，點A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形， 故：點P(4，3)或(0，3)； ②當AB是平行四邊形的對角線時，如圖2， 解圖2 AB中點坐標為(2，0)． 設點P的橫坐標為m，點F的橫坐標為2，其中點橫坐標為：， 即：＝2，解得：m＝2， 故點P(2，－1)； 故：點P(4，3)或(0，3)或(2，－1)； (3)直線BC的表達式為y＝－x＋3， 解圖3 設點E坐標為(x，x2－4x＋3)，則點D(x，－x＋3)， S四邊形AEBD＝AB(yD－yE)＝－x＋3－x2＋4x－3＝－x2＋3x， ∵－1＜0，故四邊形AEBD面積有最大值， ∴當x＝，其最大值為，此時點E(，－)． 4．解：(1)函數(shù)的表達式為：y＝－(x＋1)(x－5)＝－x2＋x＋； (2)拋物線的對稱軸為x＝2，則點C(2，2)， 設點P(2，m)，一次函數(shù)解析式為y＝sx＋t， 將點P、B的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝sx＋t可求解得 函數(shù)PB的表達式為：y＝－mx＋①， ∵CE⊥PE，∴直線CE表達式中的k值為， 將點C的坐標代入一次函數(shù)表達式， 同理可得直線CE的表達式為：y＝x＋(2－)②， 將y＝0代入②并解得：x＝2－， 故點F(2－，0)， S△PCF＝PCDF＝(2－m)(2－－2)＝5， 解得：m＝5或－3(舍去5)， 故點P(2，－3)； (3)由(2)確定點F的坐標得：(2－，0)， CP2＝(2－m)2，CF2＝()2＋4，PF2＝()2＋m2， ①當CP＝CF時，即：(2－m)2＝()2＋4，解得：m＝0或(0舍去)， ②當CP＝PF時，(2－m)2＝()2＋m2，解得：m＝或－9－， ③當CF＝PF時，同理可得：m＝2(舍去2)， 故點P(2，)或(2，)或(2，－2)或(2，)．