（貴陽專用）2022中考數(shù)學總復習 第二部分 熱點專題解讀 專題五 幾何圖形探究問題針對訓練

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1、（貴陽專用）2022中考數(shù)學總復習 第二部分 熱點專題解讀 專題五 幾何圖形探究問題針對訓練 1．在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動． 圖1　　　　　圖2　　　　　　圖3 (1)如圖1，當點E在邊DC上自D向C移動，同時點F在邊CB上自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由； (2)如圖2，當E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，(1)中的結論還成立嗎？(請你直接回答“是”或“否”，不需證明)；連接AC，請你直接寫出△ACE為等腰三角形時CE∶CD的值；

2、 (3)如圖3，當E，F(xiàn)分別在直線DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖．若AD＝2，試求出線段CP的最大值． 解：(1)AE＝DF，AE⊥DF. 理由：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°. ∵動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動， ∴DE＝CF. 在△ADE和△DCF中， ∴△ADE≌△DCF(SAS)， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC． ∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠CDF＝90°， ∴∠ADP＋∠DAE＝90°， ∴∠

3、APD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DF. (2)是，CE∶CD＝或2. 【解法提示】有兩種情況： ①如答圖1，當AC＝CE時，設正方形ABCD的邊長為a.由勾股定理得，AC＝CE＝＝a， 則CE∶CD＝a∶a＝ ； ②如答圖2，當AE＝AC時，設正方形ABCD的邊長為a， 由勾股定理得，AC＝AE＝＝a. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE， ∴DE＝CD＝a，∴CE∶CD＝2a∶a＝2. 即CE∶CD＝或2. 　　 圖1　 　　　圖2　　　　　　圖3 (3)∵點P在運動中保持∠APD＝90°， ∴點P的路徑是以AD為直徑的圓上

4、的一段?。? 如答圖3，設AD的中點為Q，連接CQ并延長交圓弧于點P，此時CP的長度最大． ∵在Rt△QDC中，QC＝＝＝ ， ∴CP＝QC＋QP＝ ＋1， 即線段CP的最大值是＋1. 2．問題探究 (1)如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，點M和N分別是邊BC，CD上兩點，且BM＝CN，連接AM和BN，交于點P.猜想AM與BN的位置關系，并證明你的結論． (2)如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，點M和N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CD方向向終點C和D運動．連接AM和BN，交于點P，求△APB周長的最大值； 問題解決 (3)如圖3，AC是邊長為2的菱形

5、ABCD的對角線，∠ABC＝60°.點M和N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動．連接AM和BN，交于點P.求△APB周長的最大值． 圖1　 　　　　圖2　　　　　圖3 解：(1)AM⊥BN. 證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°. ∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM＝∠CBN. ∵∠CBN＋∠ABN＝90°， ∴∠ABN＋∠BAM＝90°， ∴∠APB＝90°，∴AM⊥BN. (2)如答圖1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥PA于F，作EG⊥PB交PB延長

6、線于G，連接EP. 答圖1 ∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°， ∴四邊形EFPG是矩形， ∴∠FEG＝∠AEB＝90°， ∴∠AEF＝∠BEG. ∵EA＝EB，∠EFA＝∠G＝90°， ∴△AEF≌△BEG， ∴EF＝EG，AF＝BG， ∴四邊形EFPG是正方形， ∴PA＋PB＝PF＋AF＋PG－BG＝2PF＝2EF. ∵EF≤AE，∴EF的最大值為AE＝2 ， ∴△APB周長的最大值為4＋4 . (3)如答圖2，延長DA到K，使得AK＝AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH＝PB，連接BH. 答圖2 ∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM

7、＝CN， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠APN＝∠BAM＋∠ABP＝∠CBN＋∠ABN＝60°， ∴∠APB＝120°. ∵∠AKB＝60°， ∴∠AKB＋∠APB＝180°， ∴A，K，B，P四點共圓， ∴∠BPH＝∠KAB＝60°. ∵PH＝PB，∴△PBH是等邊三角形， ∴∠KBA＝∠HBP，BH＝BP， ∴∠KBH＝∠ABP. ∵BK＝BA，∴△KBH≌△ABP， ∴HK＝AP， ∴PA＋PB＝KH＋PH＝PK， ∴當PK的值最大時，△APB的周長最大， ∴當PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4， ∴△PAB的周

8、長最大值為2 ＋4. 3．(xx·貴陽)(1)閱讀理解： 如圖1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍． 解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE(或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD)，把AB，AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷． 中線AD的取值范圍是__2EF. (3)問題拓展： 如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝1

9、80°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系，并加以證明． 圖1　　　　　　　圖2　 　 　　　　圖3 (1)解：2

10、 答圖1 同(1)得，△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF. ∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF. 在△BME中，由三角形的三邊關系得BE＋BM>EM， ∴BE＋CF>EF. (3)解：BE＋DF＝EF.理由如下： 如答圖2，延長AB至點N， 答圖2 使BN＝DF，連接CN. ∵∠ABC＋∠D＝180°， ∠NBC＋∠ABC＝180°， ∴∠NBC＝∠D． 在△NBC和△FDC中， ∴△NBC≌△FDC(SAS)， ∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD． ∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°， ∴∠BCE＋∠FCD＝70°， ∴∠ECN＝70

11、°＝∠ECF. 在△NCE和△FCE中， ∴△NCE≌△FCE(SAS)，∴EN＝EF. ∵BE＋BN＝EN，∴BE＋DF＝EF. 4．(xx·湖北)問題：如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(不與點B，C重合)，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關系式為__BC＝DC＋EC__； 探索：如圖2，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論； 應用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝

12、∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的長． 圖1　　　　　圖2　　　　　圖3 解：(1)BC＝DC＋EC． 【解法提示】∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD， 即BC＝DC＋EC． (2)BD2＋CD2＝2AD2. 證明：如答圖1，連接CE. 由(1)得△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90°， ∴CE2＋CD2＝ED2. 在Rt△ADE中，∵AD

13、＝AE，∠DAE＝90°， ∴DE2＝2AD2. ∴BD2＋CD2＝2AD2. 　　　　 答圖1　　　　　　　　答圖2 (3)如答圖2，作AE⊥AD，使AE＝AD，連接CE，DE. ∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴CE＝BD＝9. ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°， ∴DE＝＝6 . ∵∠DAE＝90°， ∴AD＝AE＝DE＝6. 5．(1)問題發(fā)現(xiàn)： 如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF，

14、則EF＝BE＋DF，試說明理由； (2)類比引申： 如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系__∠B＋∠D＝180°__時，仍有EF＝BE＋DF； (3)聯(lián)想拓展： 如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，猜想BD，DE，EC滿足的等量關系，并寫出推理過程． 圖1　　　　　　圖2　　　　　圖3 解：(1)如答圖1.∵AB＝AD， ∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，使AB與AD重合． ∵∠ADC＝

15、∠B＝90°， ∴∠FDG＝180°，即點F，D，G共線， 則∠DAG＝∠BAE，AE＝AG， ∠FAG＝∠FAD＋∠GAD＝∠FAD＋∠BAE＝90°－45°＝45°＝∠EAF， 即∠EAF＝∠FAG. 在△EAF和△GAF中， ∴△EAF≌△GAF(SAS)， ∴EF＝FG＝BE＋DF. 　　　　 圖1　　　 　　圖2 (2)∠B＋∠D＝180°. 【解法提示】∵AB＝AD， ∴如答圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，使AB與AD重合， ∴∠BAE＝∠DAG. ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE＋∠DAF＝45

16、°， ∴∠DAG＋∠DAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG. ∵∠ADC＋∠B＝180°， ∴∠FDG＝180°，即點F，D，G共線． 在△AFE和△AFG中， ∴△AFE≌△AFG(SAS)， ∴EF＝FG， 即EF＝BE＋DF. 故∠B＋∠ADC＝180°. 答圖3 (3)BD2＋CE2＝DE2. 推理過程：如答圖，把△ACE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置，連接DF， 則∠FAB＝∠CAE. ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠BAD＋∠CAE＝45°. ∵∠FAB＝∠CAE，∴∠FAD＝∠DAE＝45°. 在△ADF和△ADE中，

17、∴△ADF≌△ADE(SAS)， ∴DF＝DE.∵∠C＝∠ABF＝45°， ∴∠DBF＝90°， ∴△BDF是直角三角形， ∴BD2＋BF2＝DF2， ∴BD2＋CE2＝DE2. 6．(xx·衡陽)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm，動點P從點C出發(fā)以1 cm/s的速度沿CA勻速運動，同時動點Q從點A出發(fā)以 cm/s的速度沿AB勻速運動，當點P到達點A時，點P，Q同時停止運動，設運動時間為t(s)． (1)當t為何值時，點B在線段PQ的垂直平分線上？ (2)是否存在某一時刻t，使△APQ是以PQ為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請

18、說明理由； (3)以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN，設四邊形QNCP的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式． 解：(1)如答圖1，連接BP. 　答圖1 在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝4，∠C＝90°， ∴AB＝4. ∵點B在線段PQ的垂直平分線上，∴BP＝BQ. ∵AQ＝ t，CP＝t， ∴BQ＝4－t，PB2＝42＋t2 ， ∴(4－t)2＝16＋t2， 解得t＝8－4或8＋4(舍去)， ∴當t＝(8－4)s時，點B在線段PQ的垂直平分線上． (2)存在．①如答圖2，當PQ＝QA時，易知△APQ是等腰直角三角形，∠AQP＝90°， 則有PA＝AQ， ∴4

19、－t＝·t，解得t＝； ②存在．如答圖3，當AP＝PQ時，易知△APQ是等腰直角三角形，∠APQ＝90°，則有AQ＝AP， ∴t＝(4－t)，解得t＝2. 綜上所述，當t＝ s或2 s時，△APQ是以PQ為腰的等腰三角形． 圖2　　 　　圖3 (3)如答圖4，連接QC，作QE⊥AC于E，作QF⊥BC于F.則QE＝AE，QF＝EC，可得QE＋QF＝AE＋EC＝AC＝4， 答圖4 ∴S＝S△QNC＋S△PCQ＝CN·QF＋PC·QE＝t(QE＋QF)＝2t(0