2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練4 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題規(guī)范練4 文 (教師備選) 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為2，且a1，S2，S4成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)由a1，S2，S4成等比數(shù)列得S＝a1S4. 化簡(jiǎn)得(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)， 又d＝2，解得a1＝1， 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)得bn＝＝－， ∴Tn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos－2sin xcos x. (1)求f

2、(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)在△ABC中，若AB＝4，f＝，求△ABC的外接圓的面積． [解]　(1)f(x)＝cos－sin 2x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin， 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z ， 單調(diào)遞減區(qū)間為， k∈Z. (2)sin＝，C＋＝ ，C＝ ， 外接圓直徑2r＝＝8，r＝4，外接圓面積S＝16π. 2．如圖65，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝3，AB＝4，AC＝CC1＝5，M，N分別是A1B，B1C1的中點(diǎn)． 圖65 (1)求證：MN∥平面ACC1A1； (2)求點(diǎn)N到平面MBC的距離．

3、 [解]　(1)證明：連接AC1，AB1(圖略)， 因?yàn)樵撊庵侵比庵?，∴AA1⊥A1B1，則四邊形ABB1A1為矩形， 由矩形性質(zhì)得AB1過(guò)A1B的中點(diǎn)M， 在△AB1C1中，由中位線性質(zhì)得MN∥AC1， 又MN?平面ACC1A1，AC1?平面ACC1A1， ∴MN∥平面ACC1A1. (2)∵BC＝3，AB＝4，AC＝CC1＝5，∴AB⊥BC， ∴S△NBC＝×BC×BB1＝×3×5＝， ∴S△MBC＝×BC×BM＝×3×＝， 又點(diǎn)M到平面BCN的距離為h′＝AB＝2，設(shè)點(diǎn)N與平面MBC的距離為h， 由V三棱錐M-NBC＝V三棱錐N-MBC可得S△NBC·h′＝S

4、△MBC·h， 即××2＝××h， 解得h＝，即點(diǎn)N到平面MBC的距離為. (教師備選) 隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入，互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來(lái)”，遍布了一二線城市的大街小巷．為了解共享單車在A市的使用情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到下表(單位：人)： 經(jīng)常使用 偶爾或不用 合計(jì) 30歲及以下 70 30 100 30歲以上 60 40 100 合計(jì) 130 70 200 (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為A市使用共享單車情況與年齡有關(guān)？ (2)現(xiàn)從所抽取的3

5、0歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人． ① 分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù)； ② 從這5人中，再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送一件禮品，求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率． 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 [解]　(1)由列聯(lián)表可知， K2＝≈2.198. ∵2.198＞2.072， ∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為A市使用共享單車情況與年齡有關(guān)． (2)①

6、 依題意可知，所抽取的5名30歲以上的網(wǎng)友中， 經(jīng)常使用共享單車的有5×＝3(人)， 偶爾或不用共享單車的有5×＝2(人)． ②設(shè)這5人中，經(jīng)常使用共享單車的3人分別為a，b，c；偶爾或不用共享單車的2人分別為d，e，則從5人中選出2人的所有可能結(jié)果為 (a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種． 其中沒(méi)有1人經(jīng)常使用共享單車的可能結(jié)果為(d，e)，共1種． 故選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率P＝1－＝. 3．某基地蔬菜大棚采用無(wú)土栽培方式種植各類蔬菜．過(guò)去50周的資料顯示，該地周

7、光照量X(單位：小時(shí))都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的有5周，不低于50小時(shí)且不超過(guò)70小時(shí)的有35周，超過(guò)70小時(shí)的有10周．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y(千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量x(千克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖66所示的折線圖． 圖66 (1)依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(若|r|＞0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合) (2)蔬菜大棚對(duì)光照要求較高，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系： 周光照量X/小時(shí) 30＜X＜50

8、 50≤X≤70 x＞70 光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù) 3 2 1 對(duì)商家來(lái)說(shuō)，若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀產(chǎn)生的周利潤(rùn)為3 000元；若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損1 000元．若商家安裝了3臺(tái)光照控制儀，求商家在過(guò)去50周的周總利潤(rùn)的平均值． 相關(guān)系數(shù)公式： 參考數(shù)據(jù)：≈0.55，≈0.95. [解]　(1)由已知數(shù)據(jù)可得＝＝5，＝＝4. 因?yàn)?(xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6， 所以相關(guān)系數(shù)＝≈0.95. 因?yàn)閨r|＞0.75，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系． (2)由條件可得在過(guò)去50周里， 當(dāng)X＞

9、70時(shí)，共有10周，此時(shí)只有1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行， 每周的周總利潤(rùn)為1×3 000－2×1 000＝1 000(元)． 當(dāng)50≤X≤70時(shí)，共有35周，此時(shí)有2臺(tái)光照控制儀運(yùn)行， 每周的周總利潤(rùn)為2×3 000－1×1 000＝5 000(元)． 當(dāng)30＜X＜50時(shí)，共有5周，此時(shí)3臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行， 每周的周總利潤(rùn)為3×3 000＝9 000(元)． 所以過(guò)去50周的周總利潤(rùn)的平均值為＝4 600(元)． 所以商家在過(guò)去50周的周總利潤(rùn)的平均值為4 600元． 4．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α＜π)．以坐標(biāo)

10、原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρcos2θ＝4sin θ. (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若|AB|＝8，求α的值． [解]　(1)直線l普通方程為x·sin α－y·cos α＋cos α＝0，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝4sin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，則ρ2cos2θ＝4ρsin θ， ∴x2＝4y即為曲線C的普通方程． (2)將(t為參數(shù)，0≤α＜π)代入曲線C：x2＝4y， ∴t2·cos2α－4t·sin α－4＝0，∴t1＋t2＝，t1·t2＝， |AB|＝|t1－t2|＝＝＝8， ∴cos α＝±，∴α＝或. [選修4－5：不等式選講] 已知a＞0，b＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|2x－b|的最小值為1. (1)證明：2a＋b＝2； (2)若a＋2b≥tab恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值． [解]　(1)證明：∵－a＜， ∴f(x)＝，顯然f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f＝a＋＝1，即2a＋b＝2. (2)因?yàn)閍＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立， ≥＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，取得最小值， 所以t≤，即實(shí)數(shù)t的最大值為.