（全國通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四單元 圖形的初步認(rèn)識與三角形 第18講 相似三角形練習(xí)

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1、（全國通用版）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四單元 圖形的初步認(rèn)識與三角形 第18講 相似三角形練習(xí) 重難點 相似三角形的性質(zhì)與判定 　(xx·包頭)如圖，在?ABCD中，AC是一條對角線，EF∥BC，且EF與AB相交于點E，與AC相交于點F，3AE＝2EB，連接DF.若S△AEF＝1，則S△ADF的值為． 【思路點撥】　要求S△ADF，由已知條件EF∥BC，3AE＝2BE，可得到AF與AC的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)換到S△ADF與S△ADC的數(shù)量關(guān)系，而由平行四邊形的性質(zhì)知，S△ADC ＝ S△ABC，由EF∥BC，3AE＝2BE，S△AEF＝1，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，得S△ABC，則S△

2、ADF即可求出． 求三角形面積常用方法 　 如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，連接BE，AF⊥BE于點F，連接DF. (1)求證：DE2＝ BE·EF； (2)求∠EFD的度數(shù)． 【思路點撥】　(1)要證DE2＝EF·BE，而由已知條件知DE＝AE，∴AE2＝EF·BE，即＝，觀察發(fā)現(xiàn)，這四條邊恰好在△ABE和△FAE中，故只需證明△ABE∽△FAE，由相似三角形的性質(zhì)即可使問題得證；(2)要求∠EFD的度數(shù)，而已知條件中并未告訴已知角，故要在正方形中構(gòu)造已知角并將∠EFD進(jìn)行轉(zhuǎn)換．由(1)知＝，而∠DEF＝∠BED，故連接BD，可證△DEF∽△BED，由相似三角形的

3、性質(zhì)即可求出∠EFD的度數(shù)． 【自主解答】　解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°. ∵AF⊥BE，∴∠AFE＝90°.∴∠BAE＝∠AFE. 又∠AEF＝∠AEB，∴△AEF∽△BEA. ∴＝，即AE2＝BE·EF. ∵E為AD的中點，∴AE＝DE. ∴DE2＝BE·EF. (2)連接BD，則∠EDB＝45°. 由(1)得，＝. 又∠DEF＝∠BED， ∴△DEF∽△BED. ∴∠EFD＝∠EDB＝45°. 1．判定三角形相似的思路 2．證明等積時，先由比例的基本性質(zhì)，化等積式為比例式，然后把比例式，左側(cè)(或分子)，右側(cè)(或分母)放入兩

4、個三角形中，證明兩個三角形相似即可，如不能放入兩個三角形中，可找到相等邊代換或?qū)ふ抑虚g比． 3．求某個三角的邊長或角度時，可借助條件，確定未知三角形(即包含所求邊又有某個已知條件)與已知三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求解． 考點1　比例線段 1．(xx·白銀)已知＝(a≠0，b≠0)，下列變形錯誤的是(B) A.＝ B．2a＝3b C.＝ D．3a＝2b 2．(xx·成都)已知＝＝，且a＋b－2c＝6，則a的值為12. 考點2　黃金分割 3．如圖，點C把線段AB分

5、成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，AC與AB的比叫做黃金比，其比值是(A) A. B. C. D. 考點3　平行線分線段成比例 4．(xx·哈爾濱)如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交GD于點F，則下列結(jié)論一定正確的是(D) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 5．(xx·嘉興)如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1，l2，l3于

6、點A，B，C；直線DF交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn).已知＝，則＝2． 考點4　相似三角形的性質(zhì) 6．(xx·重慶A卷)要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5 cm，6 cm和9 cm，另一個三角形的最短邊長為2.5 cm，則它的最長邊為(C) A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 7．(xx·連云港)如圖，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，則下列等式一定成立的是(D) A.＝

7、 B.＝ C.＝ D.＝ 8．(xx·荊門)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)為CD邊的兩個三等分點，連接AF，BE相交于點G.則S△EFG∶S△ABG＝(C) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1 9．(xx·重慶B卷)制作一塊3 m×2 m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍，那么擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是(C) A．360元 B．720元 C．1 080元 D．2 160元 10．(xx

8、·資陽)如圖，△ABC的面積為12，點D，E分別是AB，AC的中點，則四邊形BCED的面積為9． 考點5　相似三角形的判定 11．(xx·永州)如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長為(B) A．2 B．4 C．6 D．8 12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC∶AC是(B) A．3∶2 B．2∶3 C．3∶ D．2∶ 13．(xx·邵陽)如圖，點E是平行四

9、邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，連接BF.寫出圖中任意一對相似三角形：答案不唯一，如△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB． 14．(xx·北京)如圖，在矩形ABCD中，點E是AB邊的中點，連接DE交對角線AC于點F.若AB＝4，AD＝3，則CF的長為． 15．(xx·巴中)如圖，⊙O的兩弦AB，CD相交于點P，連接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，則AC∶BD＝4∶3． 16．(xx·杭州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，OE⊥AB于點E. (1)求證：△BDE∽△CAD； (2)若AB＝

10、13，BC＝10.求線段DE的長． 解：(1)證明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 又∵AD為BC邊上的中線， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝∠CDA＝90°. ∴△BDE∽△CAD. (2)∵BC＝10，∴BD＝5. 根據(jù)勾股定理，得AD＝＝12. ∵△BDE∽△CAD， ∴＝，∴＝. ∴DE＝. 考點6　相似三角形的實際應(yīng)用 17．(xx·義烏)學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD.垂足分別為B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為(C)

11、 A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m 18．(xx·陜西)周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點D，豎起標(biāo)桿DE，使得點E與點C，A共線． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB. 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠

12、EDA＝90°. ∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE. ∴＝. ∴＝. ∴AB＝17，即河寬為17 m. 19．(xx·瀘州)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G.若AE＝3ED，DF＝CF，則的值是(C) A. B. C. D. 20．(xx·揚(yáng)州)如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE，AE分別交于點P，M.對于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·C

13、M.其中正確的是(A) A．①②③ B．① C．①② D．②③ 　　　 21．(xx·鹽城)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分別為邊BC，AB上的兩個動點．若要使△APQ是等腰三角形，且△BPQ是直角三角形，則AQ＝或． 22．(xx·咸寧)定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似(不全等)，我們把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”． 理解：(1) 如圖1，已知Rt△ABC在正方形網(wǎng)格中，請你只用無刻

14、度的直尺在網(wǎng)格中找到一點D.使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形；(保留畫圖痕跡，找出3個即可) 圖1 　　　 圖2　　　　　　　　　　　圖3 (2)如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，對角線BD平分∠ABC.求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”； 運(yùn)用： (3)如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，∠EFH＝∠HFG＝30°，連接EG.若△EFG的面積為2，求FH的長． 解：(1)如圖所示． (2)證明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°.∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠A

15、DC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°. ∴∠A＝∠BDC. ∴△ABD∽△DBC. ∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”． (3)∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”， ∴△EFH∽△HFG. ∴＝. ∴FH2＝FE·FG. 過點E作EQ⊥FG，垂足為Q. ∵∠EFH＝∠HFG＝30°， ∴∠EFQ＝60°. 則EQ＝FE·sin60°＝FE. ∵FG·EQ＝2，∴FG×FE＝2. ∴FG·FE＝8. ∴FH2＝FE·FG＝8. ∴FH＝2. 23．(xx·泰安)《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？” 用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步A的處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點D在直線AC上)？請你計算KC的長為步．