(通用版)2019版高考數(shù)學一輪復習 第九章 解析幾何學案 理

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1、 第九章 解析幾何 第一節(jié)  直線與方程 本節(jié)主要包括3個知識點:  1.直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關系;  2.直線的方程; 3.直線的交點、距離與對稱問題. 突破點(一) 直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關系  1.直線的傾斜角 (1)定義:當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0. (2)范圍:直線l傾斜角的范圍是[0,π). 2.直線的斜率公式 (1)定義式:若直線l的傾斜角α≠,則斜率k=tan_α. (2)兩點式:P1(x1,y1),

2、P2(x2,y2)在直線l上,且x1≠x2,則l的斜率k=. 3.兩條直線平行與垂直的判定 兩條直 線平行 對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2. 當直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1∥l2 兩條直 線垂直 如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設為k1,k2,則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2=-1. 當其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2 1.判斷題 (1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.(  ) (2)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率.(  ) (3)直線的傾斜角越大

3、,其斜率就越大.(  ) (4)當直線l1和l2斜率都存在時,一定有k1=k2?l1∥l2.(  ) (5)如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于-1.(  ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2.填空題 (1)若過兩點A(-m,6),B(1,3m)的直線的斜率為12,則m=________. 答案:-2 (2)如圖中直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則k1,k2,k3的大小關系為________. 解析:設l1,l2,l3的傾斜角分別為α1,α2,α3.由題圖易知0<α3<α2<90°<α1<180°,∴tan α2>ta

4、n α3>0>tan α1,即k2>k3>k1. 答案:k2>k3>k1 (3)已知直線l1:x=-2,l2:y=,則直線l1與l2的位置關系是________. 答案:垂直 (4)已知直線l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:x-2y=0.若l1⊥l2,則實數(shù)a的值為________. 解析:由題意,得=-2,解得a=2. 答案:2 直線的傾斜角與斜率 1.直線都有傾斜角,但不一定都有斜率,二者的關系具體如下: 斜率k k=tan α>0 k=0 k=tan α<0 不存在 傾斜角α 銳角 0° 鈍角 90° 2.在分析直線的傾

5、斜角和斜率的關系時,要根據(jù)正切函數(shù)k=tan α的單調性,如圖所示: (1)當α取值在內,由0增大到時,k由0增大并趨向于正無窮大; (2)當α取值在內,由增大到π(α≠π)時,k由負無窮大增大并趨近于0. 解決此類問題,常采用數(shù)形結合思想. [例1] (1)直線xsin α+y+2=0的傾斜角的取值范圍是(  ) A.[0,π)       B.∪ C. D.∪ (2)已知線段PQ兩端點的坐標分別為P(-1,1)和Q(2,2),若直線l:x+my+m=0與線段PQ有交點,則實數(shù)m的取值范圍是________. [解析] (1)因為直線xsin α+y+2=0的斜率k=-sin

6、 α,又-1≤sin α≤1,所以-1≤k≤1.設直線xsin α+y+2=0的傾斜角為θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故傾斜角的取值范圍是∪. (2)如圖所示,直線l:x+my+m=0過定點A(0,-1),當m≠0時,kQA=,kPA=-2,kl=-. ∴-≤-2或-≥. 解得0

7、時,斜率k∈[0,+∞);當α=時,斜率不存在;當α∈時,斜率k∈(-∞,0).   兩直線的位置關系 兩直線位置關系的判斷方法 (1)已知兩直線的斜率存在 ①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標軸上的截距不相等; ②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為-1. (2)已知兩直線的斜率不存在 若兩直線的斜率不存在,當兩直線在x軸上的截距不相等時,兩直線平行;否則兩直線重合. [例2] (1)已知直線l1:3x+2ay-5=0,l2:(3a-1)x-ay-2=0,若l1∥l2,則a的值為(  ) A.-         B.6 C.0 D.0或- (2)已知經過點A(-2

8、,0)和點B(1,3a)的直線l1與經過點P(0,-1)和點Q(a,-2a)的直線l2互相垂直,則實數(shù)a的值為________. [解析] (1)由l1∥l2,得-3a-2a(3a-1)=0,即6a2+a=0,所以a=0或a=-,經檢驗都成立.故選D. (2)l1的斜率k1==a. 當a≠0時,l2的斜率k2==. 因為l1⊥l2, 所以k1k2=-1,即a·=-1,解得a=1. 當a=0時,P(0,-1),Q(0,0),這時直線l2為y軸,A(-2,0),B(1,0),直線l1為x軸,顯然l1⊥l2. 綜上可知,實數(shù)a的值為1或0. [答案] (1)D (2)1或0 [方法

9、技巧] 已知兩直線一般方程的兩直線位置關系的表示 直線方程 l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A+B≠0) l1與l2垂直 的充要條件 A1A2+B1B2=0 l1與l2平行 的充分條件 =≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交 的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1與l2重合 的充分條件 ==(A2B2C2≠0) [提醒] 當直線方程中存在字母參數(shù)時,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件. 1.設點P是曲線y=x3-x+上的任意一點

10、,P點處切線的傾斜角α的取值范圍是(  ) A.∪ B. C.∪ D. 解析:選C 因為y′=3x2-≥-,即切線斜率k≥-,所以切線傾斜角α的取值范圍是∪. 2.直線l過點A(1,2),且不經過第四象限,則直線l的斜率的取值范圍為(  ) A. B.[0,1] C.[0,2] D. 解析:選C 因為直線過點A(1,2),且不經過第四象限,作出圖象,如圖所示,當直線位于如圖所示的陰影區(qū)域內時滿足條件,由圖可知,當直線l過A且平行于x軸時,斜率取得最小值,kmin=0;當直線l過A(1,2),O(0,0)時,斜率取得最大值,kmax=2,所以直線l的斜率的取值范圍是[0,2].故選

11、C. 3.若直線l1:mx-y-2=0與直線l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,則實數(shù)m的值為(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:選C ∵直線l1:mx-y-2=0與直線l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,∴解得m=1.故選C. 4.直線mx+4y-2=0與直線2x-5y+n=0垂直,垂足為(1,p),則n的值為(  ) A.-12 B.-14 C.10 D.8 解析:選A 由直線mx+4y-2=0與直線2x-5y+n=0垂直,得2m-20=0,m=10,直線10x+4y-2=0過點(1,p),有10+4p-2=0,解得p=-2,點(1,-2)又在直線

12、2x-5y+n=0上,則2+10+n=0.解得n=-12.故選A. 5.(2018·溫州五校聯(lián)考)已知直線l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a-1)y+a2-1=0,若l1⊥l2,則a=________. 解析:因為直線l1:ax+2y+6=0與l2:x+(a-1)y+a2-1=0垂直,所以a·1+2·(a-1)=0,解得a=. 答案: 突破點(二) 直線的方程  直線方程的五種形式 形式 幾何條件 方程 適用范圍 點斜式 過一點(x0,y0),斜率k y-y0=k(x-x0) 與x軸不垂直的直線 斜截式 縱截距b,斜率k y=kx+b 與x

13、軸不垂直的直線 兩點式 過兩點(x1,y1),(x2,y2) = 與x軸、y軸均不垂直的直線 截距式 橫截距a,縱截距b +=1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 Ax+By+C=0,A2+B2≠0 平面直角坐標系內所有直線 1.判斷題 (1)經過定點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示.(  ) (2)經過任意兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  ) (3)不經過原點的直線都可以用+=1表示.(  ) 答案:(1)× (2)√ (3)×

14、 2.填空題 (1)直線l經過點(0,1)且傾斜角為60°,則直線l的方程為________________. 解析:∵k=tan 60°=,又直線l過點(0,1), ∴由點斜式方程得,y-1=(x-0). 即x-y+1=0. 答案:x-y+1=0 (2)經過點A(2,-3),傾斜角等于直線y=x的2倍的直線方程為________________. 解析:直線y=x的斜率k=1,故傾斜角為,所以所求的直線的傾斜角為,則所求的直線方程為x=2. 答案:x=2 (3)已知直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則實數(shù)a=____________. 解析:顯然a=0

15、不符合題意,當a≠0時,令x=0,則l在y軸的截距為2+a;令y=0,得直線l在x軸上的截距為1+.依題意2+a=1+,解得a=1或a=-2. 答案:1或-2 求直線方程 [例1] (1)求過點A(1,3),斜率是直線y=-4x的斜率的的直線方程; (2)求經過點A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程; (3)求過A(2,1),B(m,3)兩點的直線l的方程. [解] (1)設所求直線的斜率為k,依題意k=-4×=-. 又直線經過點A(1,3), 因此所求直線方程為y-3=-(x-1), 即4x+3y-13=0. (2)當直

16、線不過原點時,設所求直線方程為+=1, 將(-5,2)代入所設方程, 解得a=-, 所以直線方程為x+2y+1=0; 當直線過原點時,設直線方程為y=kx,則-5k=2, 解得k=-, 所以直線方程為y=-x,即2x+5y=0. 故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0. (3)①當m=2時,直線l的方程為x=2; ②當m≠2時,直線l的方程為=, 即2x-(m-2)y+m-6=0. 因為m=2時,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即為x=2, 所以直線l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0. [易錯提醒] (1)在求直線方程時,應選擇適當?shù)男问?/p>

17、,并注意各種形式的適用條件. (2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應先判斷截距是否為零).   與直線方程有關的最值問題 [例2] (1)已知直線x+2y=2分別與x軸、y軸相交于A,B兩點,若動點P(a,b)在線段AB上,則ab的最大值為________. (2)設m∈R,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y),則|PA|·|PB|的最大值是________. [解析] (1)由題得A(2,0),B(0,1), 由動點P(a,b)在線段AB上,可

18、知0≤b≤1, 且a+2b=2,從而a=2-2b, 故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-22+. 由于0≤b≤1,故當b=時,ab取得最大值. (2)易求定點A(0,0),B(1,3). 當P與A和B均不重合時, 因為P為直線x+my=0與mx-y-m+3=0的交點,且易知兩直線垂直,則PA⊥PB, 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, 所以|PA|·|PB|≤=5(當且僅當|PA|=|PB|=時,等號成立),當P與A或B重合時,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5. [答案] (1) (2)5  [方法技巧] 與直線方程有關的最值

19、問題的解題思路 (1)借助直線方程,用y表示x或用x表示y. (2)將問題轉化成關于x(或y)的函數(shù). (3)利用函數(shù)的單調性或基本不等式求最值.  1.直線3x-y=0繞原點逆時針旋轉90°,再向右平移1個單位長度,所得直線的方程為(  ) A.x+3y-3=0 B.x+3y-1=0 C.3x-y-3=0 D.x-3y+3=0 解析:選B 直線y=3x繞原點逆時針旋轉90°,得y=-x,再向右平移1個單位長度,得y=-(x-1),即x+3y-1=0. 2.已知點P(x,y)在直線x+y-4=0上,則x2+y2的最小值是(  ) A.8 B.2 C. D.16 解

20、析:選A ∵點P(x,y)在直線x+y-4=0上,∴y=4-x,∴x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8,當x=2時,x2+y2取得最小值8. 3.當k>0時,兩直線kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________. 解析:直線2x+ky-2=0與x軸交于點(1,0).由解得y=,所以兩直線kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形的面積為×1×=,又k+≥2=2,故三角形面積的最大值為. 答案: 4.(2018·蘇北四市模擬)已知a,b為正數(shù),且直線ax+by-6=0與直線2x+(b-3)y+5=0平行,則2a+3b的最小值為___

21、_____. 解析:由兩直線平行可得,a(b-3)-2b=0,即2b+3a=ab,+=1.又a,b為正數(shù),所以2a+3b=(2a+3b)·=13++≥13+2 =25,當且僅當a=b=5時取等號,故2a+3b的最小值為25. 答案:25 5.△ABC的三個頂點分別為A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC邊所在直線的方程; (2)BC邊上中線AD所在直線的方程; (3)BC邊的垂直平分線DE所在直線的方程. 解:(1)因為直線BC經過B(2,1)和C(-2,3)兩點, 由兩點式得BC的方程為=,即x+2y-4=0. (2)設BC邊的中點D的坐標為(x,y

22、), 則x==0,y==2. BC邊的中線AD過點A(-3,0),D(0,2)兩點, 由截距式得AD所在直線的方程為+=1, 即2x-3y+6=0. (3)由(1)知,直線BC的斜率k1=-,則BC的垂直平分線DE的斜率k2=2.由(2)知,點D的坐標為(0,2).由點斜式得直線DE的方程為y-2=2(x-0),即2x-y+2=0. 突破點(三) 直線的交點、距離與對稱問題  1.兩條直線的交點 2.三種距離 類型 條件 距離公式 兩點間的距離 點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離 |P1P2|= 點到直線的距離 點P0(

23、x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離 d= 兩平行直線間的距離 兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離 d= 1.判斷題 (1)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解,則兩直線相交.(  ) (2)點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為.(  ) (3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.(  ) (4)若點A,B關于直線l:y=kx+b(k≠0)對稱,則直線AB的斜率等于-,且線段AB的中點在直線l上.(  ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2.填空題 (1)兩條直線l1:2x+y-1=0和

24、l2:x-2y+4=0的交點為________. 解析:由可解得 所以兩直線交點坐標為. 答案: (2)原點到直線x+2y-5=0的距離是________. 解析:d==. 答案: (3)已知點(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a=________. 解析:由題意知=1,∴|a+1|=, 又a>0,∴a=-1. 答案:-1 (4)已知直線3x+4y-3=0與直線6x+my+14=0平行,則它們之間的距離是________. 解析:∵=≠,∴m=8,直線6x+my+14=0可化為3x+4y+7=0,兩平行線之間的距離d==2. 答案:2

25、 交點問題 [例1] (1)當00, 故直線l1:kx-y=k-1與直線l2:ky-x=2k的交點在第二象限. (2)解方程組可得 所以交點坐標為(-9,-8),代入y=ax-2,得-8=a·(-9)-2,所以a=. [答案] (1)B (2) [方法技巧] 1.兩直線交

26、點的求法 求兩直線的交點坐標,就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組,得到的方程組的解,即交點的坐標. 2.求過兩直線交點的直線方程的方法 求過兩直線交點的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點坐標,再結合其他條件寫出直線方程.也可借助直線系方程,利用待定系數(shù)法求出直線方程,這樣能簡化解題過程.  距離問題 [例2] (1)若P,Q分別為直線3x+4y-12=0與6x+8y+5=0上任意一點,則|PQ|的最小值為(  ) A. B. C. D. (2)已知直線l過點P(3,4)且與點A(-2,2),B(4,-2)等距離,則直線l的方程為__________________

27、___________. [解析] (1)因為=≠,所以兩直線平行, 將直線3x+4y-12=0化為6x+8y-24=0, 由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離, 即=,所以|PQ|的最小值為. (2)設所求直線的方程為y-4=k(x-3), 即kx-y-3k+4=0, 由已知及點到直線的距離公式可得=,解得k=2或k=-, 即所求直線的方程為2x+3y-18=0或2x-y-2=0. [答案] (1)C (2)2x+3y-18=0或2x-y-2=0 [易錯提醒] (1)點P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b

28、|; (2)利用兩平行線間的距離公式要先把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為對應相等.   對稱問題 1.中心對稱問題的兩種類型及求解方法 點關于 點對稱 若點M(x1,y1)及N(x,y)關于P(a,b)對稱,則由中點坐標公式得進而求解 直線關于 點對稱 ①在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標,再由兩點式求出直線方程; ②求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求直線方程 2.軸對稱問題的兩種類型及求解方法 點關于直線對稱 若兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關于直線l:Ax+By+C=0對稱,由方程組可得

29、到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2) 直線關于直線對稱 ①若直線與對稱軸平行,則在直線上取一點,求出該點關于軸的對稱點,然后用點斜式求解. ②若直線與對稱軸相交,則先求出交點,然后再取直線上一點,求該點關于軸的對稱點,最后由兩點式求解 [例3] 已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2).求: (1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標; (2)直線m:3x-2y-6=0關于直線l的對稱直線m′的方程; (3)直線l關于點A(-1,-2)對稱的直線l′的方程. [解] (1)設A′(x,y),由已知 解得 所以A′. (2)在直線m

30、上取一點M(2,0), 則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上. 設M′(a,b),則 解得M′. 設直線m與直線l的交點為N, 則由得N(4,3). 又因為m′經過點N(4,3), 所以由兩點式得直線m′的方程為9x-46y+102=0. (3)設P(x,y)為l′上任意一點, 則P(x,y)關于點A(-1,-2)的對稱點為P′(-2-x,-4-y),因為P′在直線l上, 所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0. [方法技巧] 解決兩類對稱問題的關鍵 解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式,而解決軸對稱問題,一般是轉

31、化為求對稱點的問題,在求對稱點時,關鍵要抓住兩點:一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直;二是兩對稱點的中心在對稱軸上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一個方程,由“平分”列出一個方程,聯(lián)立求解.   1.過點且與直線x-2y-2=0垂直的直線方程是(  ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 解析:選C 因為直線x-2y-2=0的斜率為,所以所求直線的斜率k=-2.所以所求直線的方程為y-=-2,即2x+y-2=0.故選C. 2.點P(2,5)關于直線x+y=0對稱的點的坐標是(  ) A.(5,2) B.(2,-5) C.

32、(-5,-2) D.(-2,-5) 解析:選C 設P(2,5)關于直線x+y=0的對稱點為P1,則PP1的中點應在x+y=0上,可排除A,B;而(-2,-5)與P(2,5)顯然關于原點對稱,而不關于直線x+y=0對稱.故選C. 3.若動點A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則AB的中點M到原點的距離的最小值為(  ) A.3 B. C.3 D.2 解析:選C 點M在直線x+y-6=0上,到原點的最小距離等價于原點O(0,0)到直線x+y-6=0的距離,即d===3.故選C. 4.已知A(-2,1),B(1,2),點C為直線y=x上的動點,則|AC|

33、+|BC|的最小值為(  ) A.2 B.2 C.2 D.2 解析:選C 設B關于直線y=x的對稱點為B′(x0,y0),則解得B′(2,-1).由平面幾何知識得|AC|+|BC|的最小值即是|B′A|==2.故選C. 5.已知點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數(shù)a的值為__________. 解析:由題意及點到直線的距離公式得=,解得a=-或-. 答案:-或- 6.經過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程為________________. 解析:法一:由方程組得

34、即P(0,2). ∵l⊥l3,直線l3的斜率為,∴直線l的斜率k1=-, ∴直線l的方程為y-2=-x,即4x+3y-6=0. 法二:設直線l的方程為x-2y+4+λ(x+y-2)=0,則其可化為(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0,因為直線l與直線l3:3x-4y+5=0垂直,所以3(1+λ)-4(λ-2)=0,解得λ=11.則直線l的方程為12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0. 答案:4x+3y-6=0 [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1.(2016·全國卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+

35、13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(  ) A.- B.- C. D.2 解析:選A 因為圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心坐標為(1,4),所以圓心到直線ax+y-1=0的距離d==1,解得a=-. 2.(2013·全國卷Ⅱ)已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是(  ) A.(0,1) B. C. D. 解析:選B 法一:(1)當直線y=ax+b與AB,BC相交時,如圖①所示.易求得:xM=-,yN=.由已知條件得:·=1,∴a=.∵點M在線段OA上,∴-1

36、<-<0,∴0. 又0

37、+1),則a=.∵a>0,∴>0,解得b<.考慮極限位置,即a=0,此時易得b=1-,故答案為B. [課時達標檢測] [小題對點練——點點落實] 對點練(一) 直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關系 1.直線x+y+1=0的傾斜角是(  ) A. B. C. D. 解析:選D 由直線的方程得直線的斜率為k=-,設傾斜角為α,則tan α=-,所以α=. 2.三條直線l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0構成一個三角形,則k的取值范圍是(  

38、) A.k∈R B.k∈R且k≠±1,k≠0 C.k∈R且k≠±5,k≠-10 D.k∈R且k≠±5,k≠1 解析:選C 由l1∥l3得k=5;由l2∥l3得k=-5;由x-y=0與x+y-2=0得x=1,y=1,若(1,1)在l3上,則k=-10.故若l1,l2,l3能構成一個三角形,則k≠±5且k≠-10.故選C. 3.(2018·山東省實驗中學月考)設a,b,c分別是△ABC中角A,B,C所對的邊,則直線sin A·x+ay-c=0與bx-sin B·y+sin C的位置關系是________. 解析:由題意可得直線sin A·x+ay-c=0的斜率k1=-,bx-sin

39、B·y+sin C=0的斜率k2=,故k1k2=-·=-1,則直線sin A·x+ay-c=0與直線bx-sin B·y+sin C=0垂直. 答案:垂直 4.若直線l經過點A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率的取值范圍是________________. 解析:設直線l的斜率為k,則直線方程為y-2=k(x-1), 在x軸上的截距為1-,令-3<1-<3, 解得k<-1或k>. 故其斜率的取值范圍為(-∞,-1)∪. 答案:(-∞,-1)∪ 對點練(二) 直線的方程 1.兩直線-=a與-=a(其中a是不為零的常數(shù))的圖象可能是(  ) 解析:

40、選B 直線方程-=a可化為y=x-na,直線-=a可化為y=x-ma,由此可知兩條直線的斜率同號,故選B. 2.過點(2,1),且傾斜角比直線y=-x-1的傾斜角小的直線方程是(  ) A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2 解析:選A ∵直線y=-x-1的斜率為-1,則傾斜角為π.依題意,所求直線的傾斜角為-=,∴其方程為x=2. 3.在等腰三角形AOB中,AO=AB,點O(0,0),A(1,3),點B在x軸的正半軸上,則直線AB的方程為(  ) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 解析:選D 設

41、點B的坐標為(a,0)(a>0), 由OA=AB,得12+32=(1-a)2+(3-0)2,則a=2. ∴點B(2,0).易知kAB=-3, 由兩點式,得AB的方程為y-3=-3(x-1). 4.(2018·北京西城區(qū)月考)已知l1,l2是分別經過A(1,1),B(0,-1)兩點的兩條平行直線,當l1,l2間的距離最大時,則直線l1的方程是________________. 解析:當直線AB與l1,l2垂直時,l1,l2間的距離最大.因為A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以兩平行直線的斜率為k=-,所以直線l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. 答案

42、:x+2y-3=0 5.已知直線l過點P(2,-1),在x軸和y軸上的截距分別為a,b,且滿足a=3b.則直線l的方程為__________________. 解析:①若a=3b=0,則直線過原點(0,0), 此時直線斜率k=-,直線方程為x+2y=0. ②若a=3b≠0,設直線方程為+=1,即+=1. 因為點P(2,-1)在直線上,所以b=-. 從而直線方程為-x-3y=1,即x+3y+1=0. 綜上所述,所求直線方程為x+2y=0或x+3y+1=0. 答案:x+2y=0或x+3y+1=0 對點練(三) 直線的交點、距離與對稱問題 1.若點P(a,b)與Q(b-1,a+1

43、)關于直線l對稱,則直線l的傾斜角α為(  ) A.135° B.45° C.30° D.60° 解析:選B 由題意知,PQ⊥l,∵kPQ==-1,∴kl=1,即tan α=1,∴α=45°.故選B. 2.已知點A(1,-2),B(m,2)且線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-2=0,則實數(shù)m的值是(  ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 解析:選C 因為線段AB的中點在直線x+2y-2=0上,代入解得m=3. 3.P點在直線3x+y-5=0上,且P到直線x-y-1=0的距離為,則P點坐標為(  ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D

44、.(2,1)或(-1,2) 解析:選C 設P(x,5-3x),則d==,解得x=1或x=2,故P(1,2)或(2,-1). 4.若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2恒過定點(  ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 解析:選B 直線l1:y=k(x-4)恒過定點(4,0),其關于點(2,1)對稱的點為(0,2).又由于直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,故直線l2恒過定點(0,2). 5.若兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為,則的值為________. 解析:由題意

45、得,=≠,∴a=-4,c≠-2. 則6x+ay+c=0可化為3x-2y+=0. ∴=,∴c+2=±4, ∴=±1. 答案:±1 6.如圖,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(xiàn)(1,0),一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點,經BC反射后,再經AC反射,落到線段AE上(不含端點),則直線FD的斜率的取值范圍為________. 解析:從特殊位置考慮.如圖, ∵點A(-2,0)關于直線BC:x+y=2的對稱點為A1(2,4), ∴kA1F=4.又點E(-1,0)關于直線AC:y=x+2的對稱點為E1(-2,1),點E1(-2,1)關于直線BC:x+y=2

46、的對稱點為E2(1,4),此時直線E2F的斜率不存在,∴kFD>kA1F,即kFD∈(4,+∞). 答案:(4,+∞) 7.過直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點,且到點P(0,4)距離為2的直線方程為_________________. 解析:由得∴l(xiāng)1與l2交點為(1,2), 設所求直線方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0, ∵P(0,4)到直線的距離為2, ∴2=,解得k=0或k=, ∴直線方程為y=2或4x-3y+2=0. 答案:y=2或4x-3y+2=0 [大題綜合練——遷移貫通] 1.已知直線l1:x+a2y+1=0和

47、直線l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R). (1)若l1∥l2,求b的取值范圍; (2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值. 解:(1)因為l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0, 即b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-2+,因為a2≥0,所以b≤0. 又因為a2+1≠3,所以b≠-6. 故b的取值范圍是(-∞,-6)∪(-6,0]. (2)因為l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0, 顯然a≠0,所以ab=a+,|ab|=≥2,當且僅當a=±1時等號成立,因此|ab|的最小值為2. 2.已知直線l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及點P(3,4)

48、. (1)證明直線l過某定點,并求該定點的坐標; (2)當點P到直線l的距離最大時,求直線l的方程. 解:(1)證明:直線l的方程可化為a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,由得 所以直線l恒過定點(-2,3). (2)由(1)知直線l恒過定點A(-2,3), 當直線l垂直于直線PA時,點P到直線l的距離最大. 又直線PA的斜率kPA==, 所以直線l的斜率kl=-5. 故直線l的方程為y-3=-5(x+2), 即5x+y+7=0. 3.過點P(4,1)作直線l分別交x,y軸正半軸于A,B兩點. (1)當△AOB面積最小時,求直線l的方程; (2)當|OA|+|O

49、B|取最小值時,求直線l的方程. 解:設直線l:+=1(a>0,b>0), 因為直線l經過點P(4,1),所以+=1. (1)因為+=1≥2=, 所以ab≥16,當且僅當a=8,b=2時等號成立, 所以當a=8,b=2時,S△AOB=ab最小, 此時直線l的方程為+=1,即x+4y-8=0. (2)因為+=1,a>0,b>0, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·=5++≥5+2 =9, 當且僅當a=6,b=3時等號成立, 所以當|OA|+|OB|取最小值時,直線l的方程為+=1,即x+2y-6=0. 第二節(jié) 圓的方程 本節(jié)主要包括2個知識點: 1.圓的方

50、程; 2.與圓的方程有關的綜合問題. 突破點(一) 圓的方程  1.圓的定義及方程 定義 平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 標準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圓心:(a,b) 半徑:r 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 圓心: 半徑:r= 2.點與圓的位置關系 點M(x0,y0),圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 理論依據(jù) 點到圓心的距離與半徑的大小關系 三種情況 (x0-a)2+(y0-b)2=r2?點在圓上 (x0-a)2+(y0-b)2>r2?點在圓外

51、 (x0-a)2+(y0-b)20.(  ) 答案:(1)√ (2)× (3

52、)× (4)√ (5)√ 2.填空題 (1)圓x2+y2-4x+8y-5=0的圓心為________,半徑為________. 解析:圓心坐標為(2,-4), 半徑r==5. 答案:(2,-4) 5 (2)圓C的直徑的兩個端點分別是A(-1,2),B(1,4),則圓C的標準方程為________________. 解析:設圓心C的坐標為(a,b), 則a==0,b==3,故圓心C(0,3). 半徑r=|AB|==. ∴圓C的標準方程為x2+(y-3)2=2. 答案:x2+(y-3)2=2 (3)若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內部,則實數(shù)a的取值范圍是

53、________. 解析:因為點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內部,所以(1-a)2+(1+a)2<4.即a2<1,故-1<a<1. 答案:(-1,1) 求圓的方程 1.求圓的方程的兩種方法 直接法 根據(jù)圓的幾何性質,直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程 待定 系數(shù)法 (1)若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關,則設圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; (2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇設圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關于D,E,F(xiàn)的方程組,進而求出D,E,F(xiàn)的值 2.確定圓心

54、位置的三種方法 (1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上. (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上. (3)兩圓相切時,切點與兩圓圓心共線. [例1] (1)已知圓C經過A(5,1),B(1,3)兩點,圓心在x軸上,則圓C的方程為________________. (2)已知圓心在直線y=-4x上,且圓與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2),則該圓的方程是________________. (3)若不同的四點A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圓,則a的值為________. [解析] (1)依題意,設圓心坐標為C(a,0),則|CA|=|CB|,

55、即=,則a=2. 故圓心為(2,0),半徑為, 所以圓C的方程為(x-2)2+y2=10. (2)過切點且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3,與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為(1,-4). 所以半徑r==2, 故所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. (3)法一:設過A,B,C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 分別代入A,B,C三點坐標,得 解得 所以A,B,C三點確定的圓的方程為x2+y2-4x-y-5=0. 因為D(a,3)也在此圓上,所以a2+9-4a-25-5=0. 所以a=7或a=-3(舍去).即a的值為7. 法二:由題易知AB∥C

56、D,所以圓的一條對稱軸既是AB的垂直平分線又是CD的垂直平分線,而AB的垂直平分線方程為x=2,故=2,解得a=7. [答案] (1)(x-2)2+y2=10 (2)(x-1)2+(y+4)2=8 (3)7 [方法技巧] 1.確定圓的方程必須有三個獨立條件 不論是圓的標準方程還是一般方程,都有三個字母(a,b,r或D,E,F(xiàn))的值需要確定,因此需要三個獨立的條件.利用待定系數(shù)法得到關于a,b,r(或D,E,F(xiàn))的三個方程組成的方程組,解之得到待定字母系數(shù)的值,從而確定圓的方程. 2.幾何法在圓中的應用 在一些問題中借助平面幾何中關于圓的知識可以簡化計算,如已知一個圓經過兩點時,其圓

57、心一定在這兩點連線的垂直平分線上,解題時要注意平面幾何知識的應用.   與圓有關的對稱問題 1.圓的軸對稱性 圓關于直徑所在的直線對稱. 2.圓關于點對稱 (1)求已知圓關于某點對稱的圓,只需確定所求圓的圓心位置. (2)兩圓關于某點對稱,則此點為兩圓圓心連線的中點. 3.圓關于直線對稱 (1)求已知圓關于某條直線對稱的圓,只需確定所求圓的圓心位置. (2)兩圓關于某條直線對稱,則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線. [例2] (2018·河南六市模擬)圓(x-2)2+y2=4關于直線y=x對稱的圓的方程是(  ) A.(x-)2+(y-1)2=4 B.(x-

58、)2+(y-)2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4 [解析] 設圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)關于直線y=x對稱的點的坐標為(a,b), 則解得 ∴圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)關于直線y=x對稱的點的坐標為(1,), 從而所求圓的方程為(x-1)2+(y-)2=4. [答案] D 1.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是(  ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 解析:選D 圓的半徑r==,

59、圓心坐標為(1,1),所以圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=2. 2.(2018·福建廈門質檢)圓C與x軸相切于T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B,且|AB|=2,則圓C的標準方程為(  ) A.(x-1)2+(y-)2=2 B.(x-1)2+(y-2)2=2 C.(x+1)2+(y+)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4 解析:選A 由題意得,圓C的半徑為=,圓心坐標為(1,),∴圓C的標準方程為(x-1)2+(y-)2=2,故選A. 3.已知圓x2+y2+2x-4y+1=0關于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對稱,則ab的取值范圍是(  ) A. B.

60、 C. D. 解析:選A 將圓的方程化成標準形式得(x+1)2+(y-2)2=4,若圓關于已知直線對稱,則圓心(-1,2)在直線上,代入整理得a+b=1,故ab=a(1-a)=-2+≤,故選A. 4.圓C與圓(x-1)2+y2=1關于直線y=-x對稱,則圓C的方程為________________. 解析:圓心(1,0)關于直線y=-x對稱的點為(0,-1),所以圓C的方程為x2+(y+1)2=1. 答案:x2+(y+1)2=1 5.若圓(x+1)2+(y-3)2=9上的相異兩點P,Q關于直線kx+2y-4=0對稱,則k的值為________. 解析:圓是軸對稱圖形,過圓心的直

61、線都是它的對稱軸.已知圓的圓心為(-1,3),由題設知,直線kx+2y-4=0過圓心,則k×(-1)+2×3-4=0,解得k=2. 答案:2 6.(2018·湖北襄陽四中模擬)已知點C(-1,0),以C為圓心的圓與直線x-y-3=0相切. (1)求圓C的方程; (2)如果圓C上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱,求m的值. 解:(1)因為圓與直線相切, 所以圓心到直線的距離即為半徑長. 由題意,得圓心到直線的距離d==2, 故所求圓的方程為(x+1)2+y2=4. (2)因為圓C上存在兩點關于直線對稱,所以直線過圓心C,所以-m+1=0,解得m=1. 突破點(二) 與

62、圓的方程有關的綜合問題 (對應學生用書P148) 圓的方程是高中數(shù)學的一個重要知識點,高考中,除了圓的方程的求法外,圓的方程與其他知識的綜合問題也是高考考查的熱點,常涉及軌跡問題和最值問題.解決此類問題的關鍵是數(shù)形結合思想的運用. 與圓有關的軌跡問題 [例1] 已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點. (1)求線段AP中點的軌跡方程; (2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程. [解] (1)設AP的中點為M(x,y),由中點坐標公式可知,P點坐標為(2x-2,2y). 因為P點在圓x2+y2=4上,所

63、以(2x-2)2+(2y)2=4. 故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1. (2)設PQ的中點為N(x,y). 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|. 設O為坐標原點,連接ON,則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0. [方法技巧] 求與圓有關的軌跡問題的四種方法 與圓有關的最值問題   [例2] 已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1)的最大值和最小值; (2)y-x的最大值和最小值;

64、 (3)x2+y2的最大值和最小值. [解] 原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,為半徑的圓. (1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率, 所以設=k,即y=kx. 當直線y=kx與圓相切時,斜率k取最大值或最小值,此時= ,解得k=±. 所以的最大值為,最小值為-. (2)y-x可看成是直線y=x+b在y軸上的截距. 當直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時=, 解得b=-2±. 所以y-x的最大值為-2+,最小值為-2-. (3)x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方. 由平面幾何知識知,x2+y2在原點和圓心的連線與

65、圓的兩個交點處分別取得最小值,最大值. 因為圓心到原點的距離為=2, 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4, 最小值是(2-)2=7-4. [方法技巧]  與圓有關最值問題的求解策略 處理與圓有關的最值問題時,應充分考慮圓的幾何性質,并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結合思想求解.與圓有關的最值問題,常見類型及解題思路如下: 常見類型 解題思路 μ=型 轉化為動直線斜率的最值問題 t=ax+by型 轉化為動直線截距的最值問題,或用三角代換求解 m=(x-a)2+(y-b)2型 轉化為動點與定點的距離的平方的最值問題 1.已知點P(x,y)在圓x2+(

66、y-1)2=1上運動,則的最大值與最小值分別為________. 解析:設=k,則k表示點P(x,y)與點A(2,1)連線的斜率.當直線PA與圓相切時,k取得最大值與最小值.設過(2,1)的直線方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由=1,解得k=±. 答案:,- 2.設點P是函數(shù)y=-圖象上的任意一點,點Q坐標為(2a,a-3)(a∈R),則|PQ|的最小值為________. 解析:函數(shù)y=-的圖象表示圓(x-1)2+y2=4的下半圓.令點Q的坐標為(x,y),則得y=-3,即x-2y-6=0,作出圖象如圖所示. 由于圓心(1,0)到直線x-2y-6=0的距離d==>2,所以直線x-2y-6=0與圓(x-1)2+y2=4相離,因此|PQ|的最小值是-2. 答案:-2 3.已知P是直線3x+4y-10=0上的動點,PA,PB是圓x2+y2-2x+4y+4=0的兩條切線,A,B是切點,C是圓心,那么四邊形PACB面積的最小值為________. 解析:圓的標準方程為(x-1)2+(y+2)2=1,其圓心為C(1,-2),半徑為1,且直線與圓相離,如圖所示

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