（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語學(xué)案 文

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1、 第一章 集合與常用邏輯用語 第一節(jié)集合的概念與運算 1．集合的相關(guān)概念 (1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性． (2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為；不屬于，記為. (3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法． (4)五個特定的集合： 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N*或N＋ 2．集合間的基本關(guān)系 　　表示 關(guān)系　　 文字語言 符號語言 記法 基本關(guān)系 子集 集合A的任意一個元素都是集合B的元素 x∈A? x∈B A?B或B?A 真子集 集合A是集合B的子集，并且

2、集合A與集合B不相等 A?B， 且A≠B AB或 BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A?B， B?A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集 ?x，x??，??A，?B ? 3．集合的基本運算 　 表示 運算 　 文字語言 符號語言 圖形語言 記法 交集 所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 補集 全集U中不屬于集合A的所

3、有元素構(gòu)成的集合 {x|x∈U，且x?A} ?UA 4.集合的運算性質(zhì) (1)并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?BA. (2)交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. (3)補集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝；A∩(?UA)＝； ?U(?UA)＝；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)． [小題體驗] 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，則?U(M∪N)＝________. 答案：{1,6} 2．設(shè)集合A＝{x|(x＋1)(x－2

4、)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，則A∩B＝________. 答案：{x|0≤x<2} 3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，則A∩Z＝________. 答案：{－1,0,1} 4．設(shè)全集U＝N*，集合A＝{2,3,6,8,9}，集合B＝{x|x>3，x∈N*}，則圖中陰影部分所表示的集合是________． 答案：{2,3} 1．認(rèn)清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他形式)和化簡集合是正確求解集合問題的兩個先決條件． 2．解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系． 3．注意空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它

5、本身． 4．運用數(shù)軸圖示法注意端點是實心還是空心． 5．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤． [小題糾偏] 1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，則滿足A∪B＝{0,1,2}的集合B的個數(shù)為________． 解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．因為A∪B＝{0,1,2}，所以B可能為{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，?，共8個． 答案：8 2．已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，則集合P

6、的元素個數(shù)為________． 解析：因為a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.當(dāng)a＝1時，若b＝3，則x＝4；若b＝4，則x＝5；若b＝5，則x＝6.同理，當(dāng)a＝2時，若b＝3，則x＝5；若b＝4，則x＝6；若b＝5，則x＝7，由集合中元素的特性知P＝{4,5,6,7}，則P中的元素共有4個． 答案：4 3．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，則(?UA)∩B＝________. 解析：依題意得A＝，?UA＝； B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}， 因此(?UA)∩B＝. 答案： 4．設(shè)集合A＝{(x，y)|y＝x＋

7、1，x∈R}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，則滿足C?(A∩B)的集合C的個數(shù)為________． 解析：法一：解方程組得或所以A∩B＝{(0,1)，(－1,0)}，即A∩B中有2個元素．因為C?(A∩B)，所以集合C的個數(shù)是4. 法二：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y＝x＋1和圓x2＋y2＝1的圖象，可知，直線和圓有兩個交點，即A∩B中有2個元素．因為C?(A∩B)，所以集合C的個數(shù)是4. 答案：4 　 [題組練透] 1．(易錯題)已知集合A＝{1,2,4}，則集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)為________． 解析：集合B中元素有(1,1)，(1

8、,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9個． 答案：9 2．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 018＋b2 018＝________. 解析：由已知得a≠0，則＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2 018＋b2 018＝(－1)2 018＋02 018＝1. 答案：1 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝________. 解析：若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等

9、實根．當(dāng)a＝0時，x＝，符合題意． 當(dāng)a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝， 所以a的值為0或. 答案：0或 4．(易錯題)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． 解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 則m＝1或m＝－，當(dāng)m＝1時， m＋2＝3且2m2＋m＝3， 根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意； 當(dāng)m＝－時，m＋2＝， 而2m2＋m＝3， 故m＝－. 答案：－ [謹(jǐn)記通法] 與集合中元素有關(guān)問題的求解策略 (1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集．(如“題組練透”第1題) (2)看這些元素滿足什么限

10、制條件． (3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．(如“題組練透”第4題) 　對應(yīng)學(xué)生用書P2 [典例引領(lǐng)] 1．已知集合M＝{1,2,3,4}，則集合P＝{x|x∈M且2x?M}的子集有________個． 解析：由題意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4個． 答案：4 2．已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則集合A，B之間的關(guān)系為________． 解析：由題意知A＝{x|y＝，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}．所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以B

11、A. 答案：BA [由題悟法] 判斷集合間關(guān)系的3種方法 列舉法 根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系 結(jié)構(gòu)法 從元素的結(jié)構(gòu)特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷 數(shù)軸法 在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系 [即時應(yīng)用] 1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為________． 解析：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2， 所以A＝{1,2}． 由題意知B＝{1,

12、2,3,4}，所以滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故所求集合C的個數(shù)為4. 答案：4 2．已知集合A＝{x|－10時，因為A＝{x|－1

13、數(shù)x＋y的值； (2)是否存在實數(shù)x，使得B?A？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)由題可知所以故x＋y＝19. (2)假設(shè)存在實數(shù)x，使得B?A，則2－x＝3，或2－x＝. 若2－x＝3，則x＝－1，不合題意； 若2－x＝，則x＋－2＝0，解得x＝1，不合題意． 故不存在實數(shù)x，使得B?A. 　對應(yīng)學(xué)生用書P2 [鎖定考向] 集合運算多與解簡單的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系，考查對集合的理解及不等式的有關(guān)知識；有些集合題為抽象集合題或新定義型集合題，考查學(xué)生的靈活處理問題的能力． 常見的命題角度有： (1)集合的運算； (2)利用集合運算求

14、參數(shù)； (3)新定義集合問題．　　　 　 [題點全練] 角度一：集合的運算 1．(2017·北京高考改編)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，則?UA＝________. 解析：由已知可得，?UA＝[－2,2]． 答案：[－2,2] 2．(2017·天津高考改編)設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，則(A∪B)∩C＝________. 解析：由題意知A∪B＝{1,2,4,6}， 所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}． 答案：{1,2,4} 角度二：利用集合運算求參數(shù) 3．(2018·蘇州模擬)已知全集U＝{2,3，a2＋2a

15、－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，則實數(shù)a＝________. 解析：由題意知，a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.當(dāng)a＝－4時，|2a－1|＝9，而9?U，所以a＝－4不滿足題意，舍去；當(dāng)a＝2時，|2a－1|＝3,3∈U，滿足題意．故實數(shù)a的值為2. 答案：2 角度三：新定義集合問題 4.如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合AB為陰影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，則AB＝________. 解析：因為A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1

16、，結(jié)合Venn圖可知AB＝?A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}． 答案：{x|0≤x≤1或x>2} [通法在握] 解集合運算問題4個技巧 看元素構(gòu)成 集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵 對集合化簡 有些集合是可以化簡的，先化簡集合再研究其關(guān)系并進(jìn)行運算，可使問題簡單明了、易于解決 數(shù)形結(jié)合 常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖 新定義型 問題 以集合為依托，對集合的定義、運算、性質(zhì)加以深入的創(chuàng)新，但最終化為原來的集合知識和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識來解決 [演練沖關(guān)] 1．(2018·南京高三年級學(xué)情調(diào)研)若集合P＝

17、{－1,0,1,2}，Q＝{0,2,3}，則P∩Q＝________. 解析：由已知可得，P∩Q＝{0,2}． 答案：{0,2} 2．已知m∈R，集合M＝{m，－3}，N＝{x|2x2＋7x＋3<0，x∈Z}，如果M∩N≠?，那么m的值為________． 解析：N＝{x|2x2＋7x＋3<0，x∈Z}＝x－3

18、____. 解析：由已知得A＝{y|y＝x2，x∈R}＝[0，＋∞)．B＝{y|y＝3sin x，x∈R}＝[－3,3]，于是A－B＝(3，＋∞)，B－A＝[－3,0)，故AΔB＝[－3,0)∪(3，＋∞)． 答案：[－3,0)∪(3，＋∞) 4．(2018·泰州中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研)已知全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，B＝{2,3,6}，則(?IA)∩B＝________. 解析：因為全集I＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，所以?IA＝{2,4,6}，又因為B＝{2,3,6}，所以(?IA)∩B＝{2,6}． 答案：{2,6} 一

19、抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．(2017·全國卷Ⅱ改編)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則A∪B＝________. 解析：由題意得A∪B＝{1,2,3,4}． 答案：{1,2,3,4} 2．(2018·啟東一中測試)定義：滿足任意元素x∈A，則|4－x|∈A的集合稱為優(yōu)集，若集合A＝{1，a,7}是優(yōu)集，則實數(shù)a的值為________． 解析：依題意，當(dāng)x＝1時，|4－x|＝3∈A，當(dāng)x＝7時，|4－x|＝3∈A，所以a＝3符合條件． 答案：3 3．(2017·徐州、連云港、宿遷三檢)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|0

20、________. 解析：因為集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}為奇數(shù)集，B＝{x|0

21、3x＋2<0}，B＝{x|1

22、≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的Venn圖如圖所示，則陰影部分所表示的集合的元素共有________個． 解析：由題圖可知陰影部分表示集合M和N的交集，所以由M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}，得M∩N＝{1,3}，有2個． 答案：2 3．(2018·啟東中學(xué)高三測試)已知a≤1時，集合{x|a≤x≤2－a}中有且只有3個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因為a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中． 若區(qū)間端點均為整數(shù)，則a＝0，集合中有0,1,2三個整數(shù)，所以a＝0符合題意； 若區(qū)間端點不為整數(shù)，則區(qū)間

23、長度2<2－2a<4，解得－1

24、＋1)，B＝[0,5)，若A??UB，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因為?UB＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A??UB，所以a＋1≤0或a≥5，解得a≤－1或a≥5. 答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞) 6.已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，則圖中陰影部分表示的集合是________． 解析：由x2－5x－6<0，解得－1

25、6} 7．設(shè)集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，則A∩B＝________. 解析：依題意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}． 答案：{－1,0} 8．設(shè)全集為R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，則A∩(?RB)＝______________. 解析：由題意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}， 因為B＝{x|－1＜x≤5}，所以?RB＝{x|x≤－1或x＞5}． 所以A∩(?RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{

26、x|－3＜x≤－1}． 答案：{x|－3＜x≤－1} 9．設(shè)全集U＝{x∈N*|x≤9}，?U(A∪B)＝{1,3}，A∩(?UB)＝{2,4}，則B＝________. 解析：因為全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 由?U(A∪B)＝{1,3}， 得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}， 由A∩(?UB)＝{2,4}知，{2,4}?A，{2,4}??UB. 所以B＝{5,6,7,8,9}． 答案：{5,6,7,8,9} 10．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A?B，則實數(shù)a－b 的取值范圍是________． 解析：集合A＝{x|4≤

27、2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因為A?B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即實數(shù)a－b的取值范圍是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 11．(2018·啟東檢測)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}， (1)當(dāng)a＝0時，求A∪B，A∩?RB； (2)若A∩B＝A，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝0時，A＝{x|0≤x≤3}，又B＝{x|－3≤x≤2}， 所以?RB＝{x|x＜－3或x＞2}， 所以A∪B＝{x|－3≤x≤3}，A∩?RB＝{x|2＜x≤3}． (2)因為A∩B＝A，所以

28、A?B， 所以解得－3≤a≤－1， 所以實數(shù)a的取值范圍為[－3，－1]． 12．(2018·南京高三部分學(xué)校聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|2x－6≥0}，M＝A∩B. (1)求集合M； (2)已知集合C＝{x|a－1≤x≤7－a，a∈R}，若M∩C＝M，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)由x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，所以A＝[－1,5]． 由2x－6≥0，得x≥3，所以B＝[3，＋∞)． 所以M＝[3,5]． (2)因為M∩C＝M，所以M?C， 則解得a≤2. 故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]． 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．

29、已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|log2x

30、則用列舉法寫出集合AΔB＝________. 解析：由題意知，要使fA(x)·fB(x)＝－1，必有x∈{x|x∈A且x?B}∪{x|x∈B且x?A}＝{1,6,10,12}，所以AΔB＝{1,6,10,12}． 答案：{1,6,10,12} 3．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}． (1)當(dāng)m＝－1時，求A∪B； (2)若A?B，求實數(shù)m的取值范圍； (3)若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)當(dāng)m＝－1時，B＝{x|－2

31、． (3)由A∩B＝?，得 ①若2m≥1－m，即m≥時，B＝?，符合題意； ②若2m＜1－m，即m＜時，需或 得0≤m＜或?，即0≤m＜. 綜上知m≥0，即實數(shù)m的取值范圍為[0，＋∞)． 第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 1．命題 概念 使用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句 特點 (1)能判斷真假；(2)陳述句 分類 真命題、假命題 2.四種命題及其相互關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系： (2)四種命題中真假性的等價關(guān)系：原命題等價于逆否命題，原命題的否命題等價于逆命題．在四種形式的命題中真命題的個數(shù)只能是0,2,4. 3．充分

32、條件與必要條件 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為B p是q的充分不必要條件 p?q且q p A是B的真子集 集合與 充要條件 p是q的必要不充分條件 p q且q?p B是A的真子集 p是q的充要條件 p?q A＝B p是q的既不充分又不必要條件 p q且q p A，B互不包含 　　[小題體驗] 1．給出命題：“若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中真命題有________個． 答案：3 2．設(shè)A，B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的___

33、_____條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 答案：充要 3．命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是________． 答案：“若x≤y，則x2≤y2” 4．“x≥1”是“x＋≥2”的________條件． 解析：若x>0，則x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，顯然[1，＋∞) (0，＋∞)，所以x≥1是x＋≥2的充分不必要條件． 答案：充分不必要 1．易混淆否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論． 2．易忽視A是B的充分不必要條件(A?B且BA)與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)

34、兩者的不同． [小題糾偏] 1．設(shè)a，b均為非零向量，則“a∥b”是“a與b的方向相同”的________條件． 答案：必要不充分 2．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A，∠B都是銳角”的否命題為：________________. 解析：原命題的條件：在△ABC中，∠C＝90°， 結(jié)論：∠A，∠B都是銳角．否命題是否定條件和結(jié)論． 即“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角”． 答案：在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角 　 [題組練透] 1．已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q

35、是p的________命題． 解析：命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題． 答案：否 2．(2018·常州一中測試)命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是________________． 解析：命題的條件是p：α＝，結(jié)論是q：tan α＝1.由命題的四種形式，可知命題“若p，則q”的逆否命題是“若非q，則非p”，顯然非q：tan α≠1，非p：α≠，所以該命題的逆否命題是“若tan α≠1，則α≠”． 答案：若tan α≠1，則α≠ 3．給出以下四個命題： ①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； ②(易錯

36、題)“全等三角形的面積相等”的否命題； ③“若q≤－1，則x2＋x＋q＝0有實根”的逆否命題； ④若ab是正整數(shù)，則a，b都是正整數(shù)． 其中真命題是________．(寫出所有真命題的序號) 解析：①命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，顯然①為真命題；②不全等的三角形的面積也可能相等，故②為假命題；③原命題正確，所以它的逆否命題也正確，故③為真命題；④若ab是正整數(shù)，但a，b不一定都是正整數(shù)，例如a＝－1，b＝－3，故④為假命題． 答案：①③ [謹(jǐn)記通法] 1．判斷命題真假的2種方法 (1)直接判斷：判斷一個命題是真命題，需經(jīng)

37、過嚴(yán)格的推理證明；而要說明它是假命題，只需舉一反例即可． (2)間接判斷(等價轉(zhuǎn)化)：由于原命題與其逆否命題為等價命題，如果原命題的真假不易直接判斷，那么可以利用這種等價性間接地判斷命題的真假． 2．謹(jǐn)防3類失誤 (1)如果原命題是“若p，則q”，則否命題是“若綈p，則綈q”，而命題的否定是“若p，則綈q”，即否命題是對原命題的條件和結(jié)論同時否定，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)． (2)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫． (3)當(dāng)命題有大前提時，寫其他三種命題時需保留大前提． 　 [典例引領(lǐng)] 1．(2018·泰州中學(xué)高三學(xué)情調(diào)研)“a＝0”是“函數(shù)f

38、(x)＝x3＋ax2(x∈R)為奇函數(shù)”的________條件． 解析：當(dāng)a＝0時，f(x)＝x3，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2(x∈R)為奇函數(shù)時，f(－x)＝－x3＋ax2＝－f(x)＝－x3－ax2，所以2ax2＝0恒成立，所以a＝0.所以“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝x3＋ax2(x∈R)為奇函數(shù)”的充要條件． 答案：充要 2．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的____________條件． 解析：因為p：x＋y≠－2， q：x≠－1或y≠－1， 所以綈p：x＋y＝－2， 綈q：x＝－1且y＝－1， 因為綈q?綈p但綈

39、p 綈q， 所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件． 答案：充分不必要 [由題悟法] 充分、必要條件的3種判斷方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷； (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷； (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件． [即時應(yīng)用] 1．(2018·蘇州新區(qū)實驗中學(xué)測試)在△ABC中，“A≠60°”是“cos A≠”的_

40、_______條件． 解析：當(dāng)A＝60°時，可以推得cos A＝；當(dāng)cos A＝時，由于A∈(0，π)，也可以推得A＝60°，故“A＝60°”是“cos A＝”的充要條件. 即“A≠60°”是“cos A≠”的充要條件． 答案：充要 2．(2018·啟東中學(xué)檢測)設(shè)p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，則p是q的________條件． 解析：因為x2－x－20>0，所以x>5或x<－4，所以p：x>5或x<－4.因為log2(x－5)<2，所以05或x<－4}，所以p是q的必要不充分條件．

41、 答案：必要不充分 3．(2017·北京高考改編)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________________條件． 解析：因為m＝λn，所以m·n＝λn·n＝λ|n|2. 當(dāng)λ<0，n≠0時，m·n<0. 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈， 當(dāng)〈m，n〉∈時，m，n不共線． 故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要條件． 答案：充分不必要 　 [典例引領(lǐng)] 1．(2018·啟東中學(xué)高三檢測)已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若

42、“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意知A＝{x|x＜4}，且AB，所以a＞4. 答案：(4，＋∞) 2．設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________. 解析：由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，則n＝1,2,3,4.當(dāng)n＝1,2時，方程沒有整數(shù)根，當(dāng)n＝3時，方程有整數(shù)根1,3，當(dāng)n＝4時，方程有整數(shù)根2，綜上知n＝3或4. 答案：3或4 [由題悟法] 根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或范圍的關(guān)鍵點 (1)先合理轉(zhuǎn)化條件，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組

43、)求出參數(shù)的值或取值范圍． (2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象． [即時應(yīng)用] 1．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2. 答案：(2，＋∞) 2．已知“命題p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命題q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不

44、充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________________． 解析：命題p：x＞m＋3或x＜m， 命題q：－4＜x＜1. 因為p是q成立的必要不充分條件， 所以m＋3≤－4或m≥1， 故m≤－7或m≥1. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞) 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1. (2018·海門中學(xué)高三測試)已知命題p：“若|a|＝|b|，則a≠b”，命題q：“若a＝b，則|a|≠|(zhì)b|”，則p是q的________．(填“逆命題”“否命題”“逆否命題”) 答案：逆否命題 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”

45、“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：若(2x－1)x＝0，則x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，則一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 3．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，則“m＝”是“A∩B＝{4}”的________條件． 解析：若A∩B＝{4}，則m2＋1＝4，所以m＝±，故“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要條件． 答案：充分不必要 4．(2018·南京模擬)有下列命題： ①“若a＞b，則a2＞b2”的否命題； ②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； ③“若x2＜

46、4，則－2＜x＜2”的逆否命題． 其中真命題的序號是________． 解析：①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，假命題． ②原命題的逆命題為：“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，真命題． ③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”，真命題． 答案：②③ 5．若x>5是x>a的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為__________________________． 解析：由x>5是x>a的充分條件知，{x|x>5}?{x|x>a}，所以a≤5. 答案：(－∞，5] 6．(2018·蘇州中學(xué)檢測)已知集合A＝{x|x(x－3)<0}，B＝{x||x－1|<2

47、}，則“x∈A”是“x∈B”的________條件． 解析：因為集合A＝(0,3)，集合B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件． 答案：充分不必要 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是________________． 解析：依題意得，原命題的逆命題是“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”． 答案：“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” 2．(2018·南通中學(xué)高三測試)已知a，b都是實數(shù)，命題p：a＋b＝2；命題q：直線x＋y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，則p是q的________條件． 解析

48、：圓(x－a)2＋(y－b)2＝2的圓心為(a，b)，半徑r＝，直線x＋y＝0與圓相切，則圓心到直線的距離d＝＝，解得|a＋b|＝2.即a＋b＝±2，所以p是q的充分不必要條件． 答案：充分不必要 3．(2018·南通模擬)設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“3a>3b>3”是“l(fā)oga33b>3，所以a>b>1，此時loga33b>3，例如當(dāng)a＝，b＝時，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“l(fā)oga3

49、答案：充分不必要 4．有下列命題： ①“若x＋y>0，則x>0且y>0”的否命題； ②“矩形的對角線相等”的否命題； ③“若m≥1，則mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命題； ④“若a＋7是無理數(shù)，則a是無理數(shù)”的逆否命題． 其中正確的是________(填序號)． 解析：①的逆命題為“若x>0且y>0，則x＋y>0”為真，故否命題為真； ②的否命題為“不是矩形的圖形對角線不相等”，為假命題； ③的逆命題為，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R，則m≥1. 因為當(dāng)m＝0時，解集不是R， 所以應(yīng)有 即m>1.所以③是真命題； ④原命題為真，逆否命

50、題也為真． 答案：①③④ 5．(2018·南通一中高三測試)已知命題p：a≤x≤a＋1，命題q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________． 解析：令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

51、條件． 答案：必要不充分 7．在命題“若m＞－n，則m2＞n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個數(shù)是________． 解析：若m＝2，n＝3，則2>－3，但22<32，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，若m＝－3，n＝－2，則(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命題是假命題，則否命題也是假命題．故假命題的個數(shù)為3. 答案：3 8．(2018·常熟中學(xué)測試)給定下列命題： ①若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實數(shù)根； ②若x＋y≠8，則x≠2或y≠6； ③“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件； ④“若xy＝0，則x，y中

52、至少有一個為零”的否命題． 其中真命題的序號是________． 解析：①因為Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①是真命題；②其逆否命題為真；故②是真命題；③“a＝±1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件，故③是假命題；④否命題：“若xy≠0，則x，y都不為零”是真命題． 答案：①②④ 9．下列命題： ①“a>b”是“a2>b2”的必要條件； ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要條件； ③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要條件． 其中是真命題的是________(填序號)． 解析：①a>b a2>b2，且a2>b2 a>b，故①不正確；

53、 ②a2>b2?|a|>|b|，故②正確； ③a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故③正確． 答案：②③ 10．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，則“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________條件． 解析：因為等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，又S4＝2S2， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，所以a3＋a4＝a1＋a2， 所以q2＝1?|q|＝1，所以“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要條件． 答案：充要 11．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解：y＝x2－x＋

54、1＝2＋， 因為x∈，所以≤y≤2， 所以A＝. 由x＋m2≥1，得x≥1－m2， 所以B＝{x|x≥1－m2}． 因為“x∈A”是“x∈B”的充分條件， 所以A?B，所以1－m2≤， 解得m≥或m≤－， 故實數(shù)m的取值范圍是∪. 12．已知集合A＝，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|logx>1}，命題p：實數(shù)m為小于6的正整數(shù)，q：A是B成立的充分不必要條件，r：A是C成立的必要不充分條件．若命題p，q，r都是真命題，求實數(shù)m的值． 解：因為命題p是真命題， 所以0

55、≤4}， C＝{x|logx>1}＝. 因為命題q，r都是真命題，所以AB，CA， 所以② 由①②得m＝1. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的________條件． 解析：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}的首項a1<0，公比q>1時，如an＝－2n是遞減數(shù)列，所以充分性不成立； 反之，若等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列， 則或所以必要性不成立，即“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件． 答案：既不充分也不必要 2．(2018·蘇州木瀆中學(xué)測試)若命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實

56、數(shù)a的取值范圍為________． 解析：由題意知ax2－2ax－3≤0恒成立，當(dāng)a＝0時，－3≤0成立；當(dāng)a≠0時，由得－3≤a<0，綜上，實數(shù)a的取值范圍為[－3,0]． 答案：[－3,0] 3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}． (1)若x∈A是x∈B的充分條件，求a的取值范圍． (2)若A∩B＝?，求a的取值范圍． 解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20時，B＝{x|a

57、 當(dāng)a<0時，B＝{x|3a0時，B＝{x|a

58、 2.全稱量詞和存在量詞 量詞名稱 常見量詞 符號表示 全稱量詞 所有、一切、任意、全部、每一個等 存在量詞 存在一個、至少一個、有些、某些等 3．全稱命題和存在性命題 　　名稱 形式　　 全稱命題 存在性命題 結(jié)構(gòu) 對M中的任意一個x，有p(x)成立 存在M中的一個x，使p(x)成立 簡記 ?x∈M，p(x) ?x∈M，p(x) 否定 ?x∈M，綈p(x) ?x∈M，綈p(x) [小題體驗] 1．命題p：?x∈R，x2－x＋1≤0的否定是_____________________________________． 答案：?x∈

59、R，x2－x＋1>0 2．(教材習(xí)題改編)命題“任意兩個等邊三角形都相似”的否定為______________________________． 答案：存在兩個等邊三角形，它們不相似 3．已知命題p：對任意x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題： ①p∨q；②綈p∧綈q；③綈p∨q；④p∧綈q.其中為真命題的序號是________． 解析：由題設(shè)可知：p是真命題，q是假命題；所以綈p是假命題，綈q是真命題；所以p∨q是真命題，綈p∧綈q是假命題，綈p∨q是假命題，p∧綈q是真命題，故①④正確． 答案：①④ 1．注意命題所含的量詞，對于量詞

60、有隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)行否定． 2．注意“或”“且”的否定：“或”的否定為“且”，“且”的否定為“或”． [小題糾偏] 1．命題“若ab＝0，則a＝0或b＝0”，其否定為_______________________________． 答案：若ab＝0，則a≠0且b≠0 2．命題“全等三角形的面積一定都相等”的否定是________． 解析：命題是省略量詞的全稱命題，所以其否定是：存在兩個全等三角形的面積不相等． 答案：存在兩個全等三角形的面積不相等 　 [題組練透] 1．已知命題p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0，則命題p的否定是“____

61、____”． 答案：?x∈R，log2(3x＋1)>0 2．命題“?x≥2，x2≥4”的否定是“________________”． 答案：?x≥2，x2＜4 3．(2018·啟東高三測試)已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意知，f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因為f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－，所以f(x)在上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(1)＝5，又因為g(x)在[2,3]上的最小值為g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1. 答

62、案：(－∞，1] 4．(2018·南通中學(xué)調(diào)研)已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命題q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：若命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”為真命題，則a≥e；若命題q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”為真命題，則Δ＝16－4a≥0，即a≤4，所以若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是[e,4]． 答案：[e,4] [謹(jǐn)記通法] 1．全稱命題與存在性命題的否定 (1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進(jìn)行改寫． (2)否定結(jié)

63、論：對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定． [注意]　說明全稱命題為假命題，只需給出一個反例；說明存在性命題為真命題，只需找出一個正例． 2．由真假求參要轉(zhuǎn)化 含量詞的命題的真假求參數(shù)取值問題，關(guān)鍵是根據(jù)量詞等價轉(zhuǎn)化相應(yīng)的命題，一般要將其轉(zhuǎn)化為恒成立或有解問題，進(jìn)而根據(jù)相關(guān)知識確定對應(yīng)條件． 　 [典例引領(lǐng)] (2018·泰州模擬)已知命題p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)，則在命題①p1∨p2；②p1∧p2；③(綈p1)∨p2；④p1∧(綈p2)中，真命題的序號是________． 解析：因為y＝2x在R上為增函數(shù)， y＝2－x＝x在R上

64、為減函數(shù)， 所以y＝－2－x＝－x在R上為增函數(shù)， 所以y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，故p1是真命題． y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù)是錯誤的，故p2是假命題， 所以①p1∨p2是真命題；②p1∧p2是假命題； ③(綈p1)∧p2是假命題；④p1∧(綈p2)是真命題． 答案：①④ [由題悟法] 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的2個步驟 (1)先判斷簡單命題p，q的真假． (2)再根據(jù)真值表判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假． [即時應(yīng)用] 1．(2018·常州前黃中學(xué)測試)已知命題p：?x∈(－∞，0)，2x＜3x，命題q：?x∈，cos x＜1，則下列命題： ①p∧q；②p

65、∨(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)；⑤(綈p)∨(綈q)．其中真命題的序號是________． 解析：當(dāng)x＜0時，2x＞3x，所以不存在x∈(－∞，0)，使得2x＜3x成立，即p為假命題；顯然對?x∈，恒有cos x＜1，所以命題q為真．所以(綈p)∧q和(綈p)∨(綈q)是真命題． 答案：③⑤ 2．已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，是真命題的序號是________． 解析：由不等式的性質(zhì)可知，命題p是真命題，命題q為假命題，故①p∧q為假命題；②p∨q為真命題；③綈q為真命題，則p∧

66、(綈q)為真命題；④綈p為假命題，則(綈p)∨q為假命題． 答案：②③ 　 [典例引領(lǐng)] (2018·無錫天一中學(xué)月考)已知命題p：?m∈[－1，1]，使不等式a2－5a＋5≥m＋2成立；命題q：x2＋ax＋2＝0有兩個負(fù)數(shù)根，若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍． 解：因為p∨q為真，p∧q為假，所以p，q一真一假． 由題設(shè)知，對于命題p，因為m∈[－1,1]， 所以m＋2∈[1,3]， 所以不等式a2－5a＋5≥1成立， 所以a2－5a＋4≥0，解得a≤1或a≥4. 對于命題q，因為x2＋ax＋2＝0有兩個負(fù)數(shù)根， 所以所以a≥2. 若p真q假，則a≤1；若p假q真，則2≤a＜4， 所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，1]∪[2，4)． [由題悟法] 根據(jù)命題真假求參數(shù)范圍的步驟 (1)先根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)； (2)然后再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍； (3)最后根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍． [即時應(yīng)用] 1．已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0