6、但有時也會以集合知識為載體，與不等式、平面解析幾何、數(shù)列知識結(jié)合考查．例如2016江蘇高考第20題就是與數(shù)列知識綜合考查，題意新，理解難，涉及構(gòu)造思想，是個難題．
(2)常用邏輯用語近四年均沒有單獨考查，多為以其他知識為載體考查思想方法．如在立體幾何證明過程中考查充要關(guān)系．
———————主干整合·歸納拓展———————
(對應(yīng)學(xué)生用書第1頁)
[第1步▕ 核心知識再整合]
1.集合運算中的常用結(jié)論
交換律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A；
結(jié)合律：A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C，A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C；
分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C
7、)＝(A∪B)∩(A∪C)；
吸收律： A∪(A∩B)＝A，A∩(A∪B)＝A.
2．四種命題的關(guān)系
互為逆否的兩個命題是等價的．
原命題為真，它的逆命題不一定為真．
原命題為真，它的否命題不一定為真．
原命題為真，它的逆否命題一定為真．
3．充分條件、必要條件
p是q的充分條件，即p?q，相當(dāng)于分別滿足條件p和q的兩個集合P與Q之間有包含關(guān)系：P?Q，即PQ或P＝Q，必要條件正好相反．而充要條件p?q就相當(dāng)于P＝Q.
以下說法表達的意義是相同的：①命題“若p，則q”為真；②p?q；③p是q的充分條件；④q是p的必要條件．
4．含有一個量詞的命題的否定
一般地，對于含有一
8、個量詞的全稱命題的否定有如下結(jié)論：
全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定是﹁p：?x0∈M，﹁p(x0)．
全稱命題的否定是特稱命題．
一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定有如下結(jié)論：
特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定是﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
特稱命題的否定是全稱命題．
[第2步▕ 高頻考點細突破]
集合的運算
【例1】 (2017·江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}，則?UM＝________.
[解析] 集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
M＝{x|x2－6x＋
9、5≤0，x∈Z}＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1,2,3,4,5}，則?UM＝{6,7}．故答案為：{6,7}．
[答案] {6,7}
[規(guī)律方法] 求交集、并集、補集，要充分發(fā)揮數(shù)軸或Venn圖的作用； 含參數(shù)的問題，要有討論的意識，分類討論時要防止在空集上出問題；集合的化簡是實施運算的前提，等價轉(zhuǎn)化經(jīng)常是順利解題的關(guān)鍵．
[舉一反三]
1．已知全集為R, 集合M＝，N＝{x|(ln 2)1－x＜1}，則集合M∩(?RN)＝________.
[1,2) [∵M＝＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|(ln 2)1－x＜1}＝{x|x＜1}，
∴?RN＝{x|x≥1}，
∴M∩(
10、?RN)＝{x|1≤x＜2}．]
2．(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)設(shè)集合A＝{1,3}，B＝{a＋2,5}，A∩B＝{3}，則A∪B＝________.
{1,3,5} [集合A＝{1,3}，B＝{a＋2,5}，A∩B＝{3}，
可得a＋2＝3，解得a＝1，
即B＝{3,5}，
則A∪B＝{1,3,5}．
故答案為：{1,3,5}．]
四種命題的關(guān)系
【例2】 下列結(jié)論錯誤的是________．
①命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題是“若x≠4，則x2－3x－4≠0”；
②命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根” 的逆命題為真命題；
③“
11、x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件；
④命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0”.
【導(dǎo)學(xué)號：56394001】
[解析] 對于選項①，由逆否命題的定義知，命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題是“若x≠4，則x2－3x－4≠0”，即選項①為正確的；對于選項②，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0”，顯然方程x2＋x－m＝0有實根等價于判別式Δ＝1＋4m≥0即m≥－，并不是m＞0，所以其逆命題為假命題，所以選項②不正確；對于選項③，若“x＝4”，則滿足“x2－
12、3x－4＝0”，即表明“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件，所以選項③是正確的；對于選項④，由命題的否命題的定義知，命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0”，所以選項④為正確的．綜上所述，應(yīng)選②.
[答案]?、?
[規(guī)律方法] 四種命題的定義和區(qū)別，主要在于命題的結(jié)論和條件的變化上；由于互為逆否命題的兩個命題是等價的， 所以我們在證明一個命題的真假時，可以通過其逆否命題的證明來達到目的．適合這種處理方法的題型有：①原命題含有否定詞“不”“不能”“不是”等；②原命題含有“所有的”“任意的”“至少 ”“至多”等；③原命題分類復(fù)雜，而逆否命
13、題分類簡單；④原命題化簡復(fù)雜，而逆否命題化簡簡單．
[舉一反三]
(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知命題p：?x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
(－∞，1] [由題設(shè)方程x2＋2x＋a＝0有解，故4－4a≥0，即a≤1，故應(yīng)填答案(－∞，1]．]
充分條件與必要條件
【例3】 (泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)設(shè){an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0” 是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0”的________條件. (填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)
[解析] 因為a2
14、n－1＋a2n＝a2n－1(1＋q)＝a1q2n－2(1＋q)，故當(dāng)q＜0時，a2n－1＋a2n未必小于0，所以“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0”的非充分條件；當(dāng)a2n－1＋a2n＜0，則a1q2n－2(1＋q)＜0，即q＜－1＜0，故“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n＜0”的必要條件．故應(yīng)填答案“必要不充分”．
[答案] 必要不充分
[規(guī)律方法] 充分條件、必要條件常用判斷法：
(1)定義法：判斷B是A的什么條件，實際上就是判斷B?A或A?B是否成立，只要把題目中所給條件按照邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖，再利用定義即可判斷．
①若p?q，則p是q的充分
15、條件．
②若q?p，則p是q的必要條件.
③若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件．
④若pq，且q?p，則p是q的必要不充分條件．
⑤若p?q，則p是q的充要條件．
⑥若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件．
(2)轉(zhuǎn)換法：當(dāng)所給命題的充要條件不易判斷時，可對命題進行等價轉(zhuǎn)換，例如改用其逆否命題進行判斷．
(3)集合法：在命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系判斷有困難時，有時可以從集合的角度來考慮，記條件p、q所對應(yīng)的集合分別為A、B，則：
①若A?B，則p是q的充分條件．
②若AB，則p是q的充分不必要條件．
③若A?B，則p是q的必要條件．
④若BA，則p是q的必要不
16、充分條件．
⑤若A＝B, 則p是q的充要條件．
⑥若AB，且A?B則p是q的既不充分也不必要條件．
[舉一反三]
(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)“x＞1”是“l(fā)og(x＋2)＜0”的一個________條件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選擇一個填寫)
充分不必要 [由“l(fā)og(x＋2)＜0”，解得x＞－1，故“x＞1”是“x＞－1”的充分不必要條件．]
全稱命題與特稱命題
【例4】 (泰州中學(xué)2016－2017年度第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測)命題“?x∈，sin x＜1”的否定是________命題．(填“真”或“假”)
[解
17、析] 命題“?x∈，sin x＜1”為真命題，所以其否定是假命題．
[答案] 假
[規(guī)律方法] 否定全稱命題和特稱命題時，一是要改寫量詞，全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；二是要否定結(jié)論．
[舉一反三]
1．(江蘇省蘇州市2017屆高三上學(xué)期期中)若命題p：?x∈R，使x2＋ax＋1＜0，則﹁p：________.
?x∈R，使x2＋ax＋1≥0 [因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題p：?x∈R，使x2＋ax＋1＜0，則﹁p：?x∈R，使x2＋ax＋1≥0.]
2．命題“?n∈N*，f (n)∈N*且f (n)≤n”的否定形式是________.
【導(dǎo)學(xué)號：5
18、6394002】
?n0∈N*，f (n0)?N*或f (n0)＞n0 [根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知否定形式是?n0∈N*，f (n0)?N*或f (n0)＞n0.]
[第3步▕ 高考易錯明辨析]
1．混淆集合中元素的屬性
設(shè)集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，則M∩N＝________.
[錯解] 由解得或∴M∩N＝{(0,1)，(1,2)}．
[錯解分析] 錯解中錯在沒有看清集合中的代表元素，錯把集合M、N看成點集，實際上集合M、N是數(shù)集．
[正解] 依題意，∵M＝{y|y≥1}，N＝{y|y∈R}，
∴M∩N＝{y|y≥1}．
19、
2．忽視空集
已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，且A∩B＝B，求實數(shù)m所構(gòu)成的集合M，并寫出M的所有子集．
[錯解] 由A∩B＝B，得B?A，依題意A＝{2,3}，B＝，∴＝2或＝3，即m＝或，故M＝，∴M的所有子集為?，，，.
[錯解分析] 由mx－1＝0，得x＝，忽視了m＝0，即B＝?的情形．
[正解] 由題意，A＝{2,3}，要A∩B＝B，則B?A，∴B＝?或B＝{2}或B＝{3}．
①當(dāng)B＝?時，方程mx－1＝0無解，∴m＝0.
②當(dāng)B＝{2}時，即2為方程mx－1＝0的解，∴m＝.
③當(dāng)B＝{3}時，即3為方程mx－1＝0的解，∴m＝
20、.
故M＝，∴M的所有子集為?，{0}，，，，，，.
———————專家預(yù)測·鞏固提升———————
(對應(yīng)學(xué)生用書第3頁)
1．(改編題)若a∈R，則a＝0是a(a－1)＝0的________條件．
充分不必要 [由a＝0可推出a(a－1)＝0，當(dāng)a(a－1)＝0時，可得a＝0或a＝1，所以a＝0是a(a－1)＝0的充分不必要條件．]
2．(原創(chuàng)題)已知集合A＝{x|－x2－3x＋4≤0}，B＝{y|y＝log2 017x(x＞1)}，則(?RA)∩B＝________.
(0,1) [因為A＝{x|－x2－3x＋4≤0}＝{x|x≤－4或x≥1}，所以?RA＝(－4,1)，又
21、因為B＝{y|y＞0}，所以(?RA)∩B＝(0,1)．]
3．(新穎題)對于函數(shù)f (x)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f (－x)＝－f (x)，則稱f (x)為“局部奇函數(shù)”．
p：f (x)＝m＋2x為定義在[－1,2)上的“局部奇函數(shù)”；
q：曲線g(x)＝x2＋(5m＋1)x＋1與x軸交于不同的兩點；
若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求m的取值范圍．
[解] 若p為真，則由于f (x)＝m＋2x為定義在[－1,2)上的“局部奇函數(shù)”，從而有f (x)＋f (－x)＝0，即2x＋2－x＋2m＝0，因為f (x)的定義域為[－1,2)，所以方程2x＋2－x＋2m＝0
22、在[－1,1]上有解. 2分
令t＝2x∈，則－2m＝t＋，
又g(t)＝t＋在上遞減，在[1,2]上遞增，從而g(t)∈，得－2m∈，
故有－≤m≤－1， 6分
若q為真，則有Δ＝(5m＋1)2－4＞0，得m＜－或m＞， 8分
又由“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p與q一真一假，
若p真q假，則得無交集， 10分
若p假q真，則
得m＜－或－1＜m＜－或m＞，
綜上知m的取值范圍為∪∪. 12分
4．(新穎題)在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次．設(shè)命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為________.
【導(dǎo)學(xué)號：56394003】
(﹁p)∨(﹁q) [命題p是“甲降落在指定范圍”，則﹁p是“甲沒降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則﹁q是“乙沒降落在指定范圍”，
命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”包括
“甲降落在指定范圍 ，乙沒降落在指定范圍”
或“甲沒降落在指定范圍，乙降落在指定范圍”
或“甲沒降落在指定范圍，乙沒降落在指定范圍”三種情況．所以命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為(﹁p)∨(﹁q)．]
8
（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識專題突破 專題1 集合與常用邏輯用語學(xué)案
