（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 第2講 分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想學(xué)案 理

《（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 第2講 分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 第2講 分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想學(xué)案 理（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想 高考定位　分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想近幾年高考每年必考，一般體現(xiàn)在解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及數(shù)列解答題中，難度較大. 1.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類(lèi)討論的因素 (1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類(lèi)討論：如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等. (2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類(lèi)討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等. (3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類(lèi)討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不

2、等式等. (4)由圖形的不確定性而引起的分類(lèi)討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等. (5)由參數(shù)的變化而引起的分類(lèi)討論：如某些含有參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對(duì)不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等. 2.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的方法 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略，同時(shí)也是獲取成功的思維方式.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有： (1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題. (2)換元法：運(yùn)用“換元”

3、把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題. (3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑. (4)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到化歸的目的. (5)特殊化方法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問(wèn)題、結(jié)論適合原問(wèn)題. (6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題. (7)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑. (8)類(lèi)比法：運(yùn)用類(lèi)比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于確定. (9)參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)

4、，使原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進(jìn)行解決. (10)補(bǔ)集法：如果正面解決原問(wèn)題有困難，可把原問(wèn)題的結(jié)果看作集合A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類(lèi)比為全集U，通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集?UA獲得原問(wèn)題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則. 熱點(diǎn)一　分類(lèi)討論思想的應(yīng)用 [應(yīng)用1]　由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類(lèi) 【例1－1】 (1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2Sn＝3n＋3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝________. (2)已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為_(kāi)_______. 解析　(1)由2Sn＝3n＋3得：當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝31＋3＝2a1，

5、解得a1＝3； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝[(3n＋3)－(3n－1＋3)]＝3n－1，由于n＝1時(shí)，a1＝3不適合上式.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ (2)當(dāng)a>0時(shí)，1－a<1，1＋a>1，這時(shí)f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不合題意，舍去； 當(dāng)a<0時(shí)，1－a>1，1＋a<1， 這時(shí)f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.綜上可知，a的

6、值為－. 答案　(1)　(2)－ 探究提高　由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類(lèi)整合法往往是因?yàn)橛械臄?shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類(lèi)給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致的情況下使用，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等. [應(yīng)用2]　由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類(lèi) 【例1－2】 (1)不等式|x|＋|2x＋3|≥2的解集是________. (2)已知m∈R，則函數(shù)f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在區(qū)間[0，1]上的最大值為_(kāi)_______. 解析　(1)原不等式可轉(zhuǎn)化為 或或解得x≤－或－1≤x≤0或x＞0， 故原不等式的解集為∪[－1，＋∞). (2)①當(dāng)4－3m＝0，即m＝時(shí)，函

7、數(shù)f(x)＝－2x＋， 它在[0，1]上是減函數(shù)，所以f(x)max＝f(0)＝. ②當(dāng)4－3m≠0, 即m≠時(shí)，f(x)是二次函數(shù). 當(dāng)4－3m＞0，即m＜時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程x＝＞0，它在[0，1]上的最大值只能在區(qū)間端點(diǎn)取得(由于此處不涉及最小值，故不需討論區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系).f(0)＝m，f(1)＝2－2m， 當(dāng)m≥2－2m，又m＜，即≤m＜時(shí)，f(x)max＝m. 當(dāng)m＜2－2m，又m＜，即m＜時(shí)，f(x)max＝2(1－m). 當(dāng)4－3m＜0，即m＞時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向下，又它的對(duì)稱軸方程x＝＜0，所以函數(shù)f(x)在[0，1]上是

8、減函數(shù)，于是f(x)max＝f(0)＝m. 由①，②可知，這個(gè)函數(shù)的最大值為f(x)max＝ 答案　(1)∪[－1，＋∞)　(2)f(x)max＝ 探究提高　由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類(lèi)整合法，常見(jiàn)的類(lèi)型有除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)問(wèn)題，含有絕對(duì)值的不等式求解，三角函數(shù)的定義域等，根據(jù)相應(yīng)問(wèn)題中的條件對(duì)相應(yīng)的參數(shù)、關(guān)系式等加以分類(lèi)分析，進(jìn)而分類(lèi)求解與綜合. [應(yīng)用3]　由參數(shù)變化引起的分類(lèi) 【例1－3】 已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x). (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)f(x)

9、有最大值，且最大值大于2a－2時(shí)，求a的取值范圍. 解　(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a. 若a≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 若a＞0，則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＜0， 所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 綜上，知當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上無(wú)最大值； 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在x＝處取得最大值，最大值為f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1. 因此f＞2a－2等價(jià)于ln a＋a

10、－1＜0. 令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(1)＝0. 于是，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g(a)＜0；當(dāng)a＞1時(shí)，g(a)＞0. 因此，a的取值范圍是(0，1). 探究提高　由參數(shù)的變化引起的分類(lèi)整合法經(jīng)常用于某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法. 熱點(diǎn)二　轉(zhuǎn)化與化歸思想 [應(yīng)用1]　換元法 【例2－1】 已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，則a的最大值是________. 解析　令b＝x，c＝y(tǒng)，則x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.此

11、時(shí)直線x＋y＝－a與圓x2＋y2＝1－a2有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離d＝≤，解得a2≤，所以a的最大值為. 答案　 探究提高　換元法是一種變量代換，也是一種特殊的轉(zhuǎn)化與化歸方法，是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，是將生疏(或復(fù)雜)的式子(或數(shù))，用熟悉(或簡(jiǎn)單)的式子(或字母)進(jìn)行替換；化生疏為熟悉、復(fù)雜為簡(jiǎn)單、抽象為具體，使運(yùn)算或推理可以順利進(jìn)行. [應(yīng)用2]　特殊與一般的轉(zhuǎn)化 【例2－2】 已知f(x)＝，則f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________. 解析　f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＝1， ∴f(0)＋f(

12、1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，…， ∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝2 016. 答案　2 016 探究提高　一般問(wèn)題特殊化，使問(wèn)題處理變得直接、簡(jiǎn)單.特殊問(wèn)題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問(wèn)題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問(wèn)題的效果. [應(yīng)用3]　常量與變量的轉(zhuǎn)化 【例2－3】 對(duì)任意的|m|≤2，函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1－m恒為負(fù)，則x的取值范圍為_(kāi)_______. 解析　對(duì)任意的|m|≤2，有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，即|m|≤2時(shí)，(x2－1)m－2x＋1＜0恒成立.設(shè)g(m)＝

13、(x2－1)m－2x＋1，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(m)＜0恒成立(m∈[－2，2]).所以即解得＜x＜， 即實(shí)數(shù)x的取值范圍為. 答案　 探究提高　在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看作是“主元”，而把其他變?cè)醋魇浅Ａ?，從而達(dá)到減少變?cè)?、?jiǎn)化運(yùn)算的目的. [應(yīng)用4]　正與反的相互轉(zhuǎn)化 【例2－4】 若對(duì)于任意t∈[1，2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2－2x在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)，則①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤

14、0在(t，3)上恒成立. 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t，3)上恒成立， ∴m＋4≥－3t恒成立，則m＋4≥－1， 即m≥－5；由②得m＋4≤－3x在x∈(t，3)上恒成立， 則m＋4≤－9，即m≤－. ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為－＜m＜－5. 答案　 探究提高　否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補(bǔ)集即可，一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，且不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中. 1.分類(lèi)討論思想的本質(zhì)是“化整

15、為零，積零為整”.用分類(lèi)討論的思維策略解數(shù)學(xué)問(wèn)題的操作過(guò)程：明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)→確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)→逐類(lèi)進(jìn)行討論→歸納綜合結(jié)論→檢驗(yàn)分類(lèi)是否完備(即分類(lèi)對(duì)象彼此交集為空集，并集為全集).做到“確定對(duì)象的全體，明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，分類(lèi)不重復(fù)、不遺漏”的分析討論. 常見(jiàn)的分類(lèi)討論問(wèn)題有： (1)集合：注意集合中空集討論. (2)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a＞1和0＜a＜1的討論；函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有時(shí)候分a＝0和a≠0的討論；對(duì)稱軸位置的討論；判別式的討論. (3)數(shù)列：由Sn求an分n＝1和n＞1的討論；等比數(shù)列中分公比q＝1和q≠1的討論. (4)三角函數(shù)：角的象

16、限及函數(shù)值范圍的討論. (5)不等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論. (6)立體幾何：點(diǎn)、線、面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論. (7)平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b＝0和b≠0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類(lèi)型及形狀的討論. (8)去絕對(duì)值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等. 2.轉(zhuǎn)化與化歸思想遵循的原則： (1)熟悉已知化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，以便于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決. (2)簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或

17、獲得某種解題的啟示和依據(jù). (3)和諧統(tǒng)一原則：轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律. (4)正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探討，使問(wèn)題獲得解決. 一、填空題 1.等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值是________. 解析　當(dāng)公比q＝1時(shí)，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.當(dāng)q≠1時(shí)，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).綜上可知，q＝1或－. 答案　1或－ 2.過(guò)

18、雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上任意一點(diǎn)P，引與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線于R，Q兩點(diǎn)，則·的值為_(kāi)_______. 解析　特殊位置法，當(dāng)直線PQ與x軸重合時(shí)，||＝||＝a. 答案　a2 3.方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，則k的取值范圍是________. 解析　轉(zhuǎn)化為求k＝－sin2x－cos x的值域.k＝cos2x－cos x－1＝－. 當(dāng)cos x＝時(shí)，kmin＝－，當(dāng)cos x＝－1時(shí)，kmax＝1，∴－≤k≤1. 答案　 4.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－1，則它的通項(xiàng)公式an＝________. 解析　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－

19、(3n－1－1)＝2×3n－1；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，也滿足式子an＝2×3n－1，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2×3n－1. 答案　2×3n－1 5.已知a為正常數(shù)，若不等式≥1＋－對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)x恒成立，則a的最大值為_(kāi)_______. 解析　原不等式即≥1＋－(x≥0)，(*) 令＝t，t≥1，則x＝t2－1， 所以(*)式可化為≥1＋－t＝＝對(duì)t≥1恒成立，所以≥1對(duì)t≥1恒成立，又a為正常數(shù)，所以a≤[(t＋1)2]min＝4， 故a的最大值是4. 答案　4 6.已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)k使得＋＝k成立，則k等于________. 解析　

20、∵＋＋＝0，∴M為已知△ABC的重心，取AB的中點(diǎn)D， ∴＋＝2＝2×＝3，∵＋＝k，∴k＝3. 答案　3 7.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn).已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且PF1＞PF2，則的值為_(kāi)_______. 解析　若∠PF2F1＝90°，則PF＝PF＋F1F，∵PF1＋PF2＝6，F(xiàn)1F2＝2， 解得PF1＝，PF2＝，∴＝.若∠F2PF1＝90°， 則F1F＝PF＋PF＝PF＋(6－PF1)2，解得PF1＝4，PF2＝2， ∴＝2.綜上所述，＝2或. 答案　2或 8.已知函數(shù)f(x)＝ln x－x＋－1，g(x)＝－x2＋2b

21、x－4，若對(duì)任意的x1∈(0，2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________. 解析　依題意，問(wèn)題等價(jià)于f(x1)min≥g(x2)max，f(x)＝ln x－x＋－1(x＞0)， 所以f′(x)＝－－＝. 由f′(x)＞0，解得1＜x＜3，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(1，3)，同理得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)和(3，＋∞)，故在區(qū)間(0，2)上，x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值點(diǎn)是唯一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－. 函數(shù)g(x2)＝－x＋2bx2－4，x2∈[1，2]. 當(dāng)b＜1時(shí)，g(x2)ma

22、x＝g(1)＝2b－5；當(dāng)1≤b≤2時(shí)，g(x2)max＝g(b)＝b2－4； 當(dāng)b＞2時(shí)，g(x2)max＝g(2)＝4b－8. 故問(wèn)題等價(jià)于或或 解第一個(gè)不等式組得b＜1，解第二個(gè)不等式組得1≤b≤， 第三個(gè)不等式組無(wú)解.綜上所述，b的取值范圍是. 答案　 二、解答題 9.數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn. 解　(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an＋1－an}為常數(shù)列， 所以{an}是以

23、a1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d， 所以d＝＝－2，所以an＝10－2n. (2)因?yàn)閍n＝10－2n，令an＝0，得n＝5. 當(dāng)n＞5時(shí)，an＜0；當(dāng)n＝5時(shí)，an＝0；當(dāng)n＜5時(shí)，an＞0. 記Tn＝a1＋a2＋…＋an，則Tn＝＝9n－n2. 所以當(dāng)n＞5時(shí)，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an) ＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40， 當(dāng)n≤5時(shí)，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2. 所以Sn＝ 10.已知函數(shù)g(x)＝(a∈

24、R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x). (1)若函數(shù)g(x)過(guò)點(diǎn)(1，1)，求函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程； (2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 解　(1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)過(guò)點(diǎn)(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，則f′(0)＝3，所以所求的切線的斜率為3.又f(0)＝0，所以切點(diǎn)為(0，0)，故所求的切線方程為y＝3x. (2)因?yàn)閒(x)＝ln(x＋1)＋(x＞－1)， 所以f′(x)＝＋＝. ①當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閤＞－1，所以f′(x)＞0，故f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a＜0時(shí)，由得－1＜x＜－1－a

25、， 故f(x)在(－1，－1－a)上單調(diào)遞減；由得x＞－1－a， 故f(x)在(－1－a，＋∞)上單調(diào)遞增. 綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－1，－1－a)上單調(diào)遞減，在(－1－a，＋∞)上單調(diào)遞增. 11.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)F構(gòu)成正三角形. (1)求橢圓的方程； (2)若過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)E(m，0)，使·恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)，并求出這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解　(1)由

26、題意，知拋物線的焦點(diǎn)為F(，0)，所以c＝＝. 因?yàn)闄E圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形，所以b＝×＝1. 可求得a＝2，故橢圓的方程為＋y2＝1. (2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)設(shè)其斜率為k， 則l的方程為y＝k(x－1).由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 解上述方程后易得：x1＋x2＝，x1x2＝. 則＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)， 所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2 ＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2 ＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1) ＝m2－＋＋k2 ＝ ＝ ＝(4m2－8m＋1)＋. 要使·為定值，令2m－＝0，即m＝，此時(shí)·＝. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨取P，Q， 由E，可得＝，＝，所以·＝－＝. 綜上，存在點(diǎn)E，使·為定值. 11