2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點熱身訓(xùn)練 第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（單元總結(jié)與測試）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點熱身訓(xùn)練 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（單元總結(jié)與測試） 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1.已知平面向量a、b共線，則下列結(jié)論中不正確的個數(shù)為( ) ①a、b方向相同 ②a、b兩向量中至少有一個為0 ③λ∈R，使b=λa ④λ1,λ2∈R，且λ12+λ22≠0,λ1a+λ2b=0 ()1 　　(B)2　　　　(C)3　　　　　(D)4 2.（xx·寧德模擬）已知i是虛數(shù)單位， =( ) 3.(xx·汕頭模擬)已知，B，C為平面上不共

2、線的三點，若向量=(1,1), n=(1,-1),且=2，則等于( ) ()-2　　　　　　(B)2　　　　　　　(C)0　　　　　　　(D)2或-2 4.已知向量m、n滿足m=(2,0)，n=().在△BC中，D為BC邊的中點，則||等于( ) ()2　　　　　　(B)4　　　　　　(C)6　　　　　　　(D)8 5.已知復(fù)數(shù)z+i(a∈R)，若z∈R，則a=( ) ()3　　　　　(B)-3　　　　　(C)1　　　　　(D)-1 6.（易錯題）已知為互相垂直的單位向量，且的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是（ ） 7.已知平面內(nèi)不共線的四點O，，B，

3、C滿足=( ) ()1∶3　　　　(B)3∶1　　　　　(C)1∶2　　　　　(D)2∶1 8.若△BC的三個內(nèi)角，B，C度數(shù)成等差數(shù)列，且=0，則△BC一定是( ) ()等腰直角三角形 (B)非等腰直角三角形 (C)等邊三角形 (D)鈍角三角形 9.（xx·莆田模擬）是單位向量且則的最小值 為( ) 10.（預(yù)測題）如圖，△BC中，D=DB，E=EC，CD與BE交于F，設(shè)則(x,y)為( ) 二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分.請把正確答案填在題中橫線上) 11.（xx·泉州模擬）非零向量不共線，若共線，則k2-1=__

4、___. 12.若非零向量滿足且，則=_______. 13.(xx·廈門模擬)已知復(fù)數(shù)是z的共軛復(fù)數(shù)，則的模等于_______. 14.已知平面上有三點(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線，則實數(shù)a=_______. 15.O是平面α上一點，點、B、C是平面α上不共線的三點，平面α內(nèi)的動點P滿足的值為_______. 三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16.(13分)已知D是△BC的高，若(1,0),B(0,1),C(-1,-1)，試求向量的坐標(biāo). 17.(13分)設(shè)存在復(fù)數(shù)z同時滿足下列條件： (1)復(fù)數(shù)z在

5、復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第二象限; (2)z·+2iz=8+ai(a∈R). 試求a的取值范圍. 18.(13分)已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4)，是否能以a，b作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？若能，試將向量c用這一組基底表示出來；若不能，請說明理由. 19.(13分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(,cos2θ)在角α的終邊上，點Q(sin2θ，-1)在角β 的終邊上，且 (1)求cos2θ的值 (2)求sin(α+β)的值. 20.（14分）（xx·龍巖模擬）設(shè)向量a=(sinx, cosx), b=(cosx,cosx)(0

6、tanx的值； （2）求函數(shù)f(x)=的最小正周期和函數(shù)最大值及相應(yīng)x的值. 21.(14分)已知雙曲線x2-y2=2的右焦點為F，過點F的動直線與雙曲線相交于，B兩點，點C的坐標(biāo)是(1,0). (1)證明：為常數(shù); (2)若動點M滿足 (其中O為坐標(biāo)原點)，求點M的軌跡方程. 答案解析 1.【解析】選C.若a、b均為非零向量，則由a∥b知a、b方向相同或相反，故①②不正確；若a=0，b≠0，則不存在實數(shù)λ使b=λa，故③不正確；若a、b均為零向量，則④正確，若a≠0，則由兩向量共線知，存在λ≠0，使b=λa即λa-b=0，則④正確，綜上，只有④正確，故選C. 2.【

7、解析】選B. 3.【解析】選B.因為 又 所以 4.【解題指南】由D為BC邊的中點可得即可. 【解析】選.∵D為BC邊的中點,∴ ∴| |=2. 5.【解析】選B.∵ 6.【解題指南】設(shè)a、b的夾角為θ，由θ為銳角可得0＜cosθ=＜1，進(jìn)而可求出λ的取值范圍. 【解析】選.∵ 同理可求 設(shè)a、b的夾角為θ，則0°＜θ＜90°, cosθ= 由0＜cosθ＜1得λ＜-2或-2＜λ＜. 【誤區(qū)警示】θ為銳角?0＜cosθ＜1，易忽略cosθ＜1而誤選D. 7.【解題指南】把目標(biāo)向量用已知向量表示是解題的關(guān)鍵. 【解析】選D.因為 又 所以故選D

8、. 8.【解析】選C.∵=0， 又、B、C度數(shù)成等差數(shù)列，∴B=60°,從而C=60°， =60°, ∴△BC為等邊三角形. 9.【解析】選D. 當(dāng)且僅當(dāng)與c同向時取得最小值. 10.【解題指南】利用B、F、E三點共線，D、F、C三點共線是解答本題的關(guān)鍵，而用兩種形式表示向量是求x,y的橋梁. 【解析】選C.因為B，F(xiàn)，E三點共線，令因為D，F(xiàn)，C三點共線，令則根據(jù)平面向量基本定理得解得即(x,y)為(,)，故選C. 11.【解析】由共線知存在λ∈R， 使 答案：0 12.【解析】∵ 答案：0 13.【解析】∵ ∴=i,∴||=1. 答案：1 14.

9、【解析】∵=(1,a2+a), =(1,a3-a2), 又∵、B、C三點共線，∴∥, ∴1×(a3-a2)-(a2+a)×1=0，即a3-2a2-a=0, ∴a=0或a=1±. 答案：0或1± 15.【解析】由已知得 即 當(dāng) 答案：0 16.【解析】設(shè) 又=(-1,-2),則=(-λ,-2λ), ∴=(-1,1)+(-λ,-2λ) =(-1-λ,1-2λ), 由=0, 即(1+λ)+2(2λ-1)=0，解得λ=, ∴ 17.【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，由(1)得x＜0,y＞0. 由(2)得x2+y2+2i(x+yi)=8+ai, 即x2+y2-

10、2y+2xi=8+ai. 由復(fù)數(shù)相等，得 由①得x2=-(y-1)2+9, 又y＞0,∴x2≤9,又x＜0, ∴-3≤x＜0,∴-6≤a＜0. 即a的取值范圍為［-6,0). 18.【解析】∵a=(3,-2),b=(-2,1), 3×1-(-2)× (-2)=-1≠0, ∴a與b不共線，故一定能以a, b作為平面內(nèi)所有向量的一組基底. 設(shè)c=λa +μb，即(7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2μ,μ)=(3λ-2μ，-2λ+μ), ∴ ∴ 19.【解析】(1)∵ 同理sinβ= 又∵sin2θ=1-cos2θ=, ∴ ∴sin(α+β)=sinαcosβ+

11、cosαsinβ = 20.【解析】（1）∵,∴sinxcosx-cos2x=0, ∵0

12、x1-1)(x2-1)+y1y2 =(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1 = =(-4k2-2)+4k2+1=-1. 綜上所述，為常數(shù)-1. (2)設(shè)M(x,y)，則 由得 于是線段B的中點坐標(biāo)為(). 當(dāng)B不與x軸垂直時， 即 又因為,B兩點在雙曲線上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，兩式相減，得 (x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2), 即(x1-x2)(x+2)=(y1-y2)y. 將y1-y2=(x1-x2)代入上式， 化簡得x2-y2=

13、4. 當(dāng)B與x軸垂直時，x1=x2=2，求得M(2,0)，也滿足上述方程. 所以點M的軌跡方程是x2-y2=4. 【方法技巧】求動點軌跡方程的技巧和方法 (1)直接法：若動點的運動規(guī)律是簡單的等量關(guān)系，可根據(jù)已知(或可求)的等量關(guān)系直接列出方程. (2)待定系數(shù)法：如果由已知條件可知曲線的種類及方程的具體形式，一般可用待定系數(shù)法. (3)代入法(或稱相關(guān)點法)：有時動點P所滿足的幾何條件不易求出，但它隨另一動點P′的運動而運動，稱之為相關(guān)點，若相關(guān)點P′滿足的條件簡單、明確(或P′的軌跡方程已知)，就可以用動點P的坐標(biāo)表示出相關(guān)點P′的坐標(biāo)，再用條件把相關(guān)點滿足的軌跡方程表示出來(或?qū)⑾嚓P(guān)點坐標(biāo)代入已知軌跡方程)就可得所求動點的軌跡方程的方法. (4)幾何法：利用平面幾何的有關(guān)知識找出所求動點滿足的幾何條件，并寫出其方程. (5)參數(shù)法：有時很難直接找出動點的橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系，可選擇一個(有時已給出)與所求動點的坐標(biāo)x,y都相關(guān)的參數(shù)，并用這個參數(shù)把x,y表示出來，然后再消去參數(shù)的方法.