2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時規(guī)范練36 數(shù)學(xué)歸納法 理 北師大版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時規(guī)范練36 數(shù)學(xué)歸納法 理 北師大版 1.如果命題p(n)對n=k(k∈N+)成立,則它對n=k+2也成立.若p(n)對n=2也成立,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.p(n)對所有正整數(shù)n都成立 B.p(n)對所有正偶數(shù)n都成立 C.p(n)對所有正奇數(shù)n都成立 D.p(n)對所有自然數(shù)n都成立 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,在第二步時,正確的證法是 (　　) A.假設(shè)n=k(k∈N+),證明n=k+1時命題成立 B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1時命題成立 C.假設(shè)n=2k+1(k∈N+),證

2、明n=k+1時命題成立 D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2時命題成立 3.(2018安徽蚌埠期末,5)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“+…+(n>2)”的過程中,歸納遞推由n=k到n=k+1時,不等式的左邊(　　) A.增加了一項 B.增加了兩項 C.增加了兩項,又減少了一項 D.增加了一項,又減少了一項 4.(2018遼寧遼陽期末,6)證明等式12+22+32+…+n2=(n∈N+)時,某學(xué)生的證明過程如下: (1)當(dāng)n=1時,12=,等式成立; (2)假設(shè)n=k(k∈N+)時,等式成立, 即12+22+32+…+k2=,則當(dāng)n=k+1時, 12+22+32+…+k2

3、+(k+1)2 =+(k+1)2 = = =, 所以當(dāng)n=k+1時,等式也成立,故原等式成立. 那么上述證明(　　) A.全過程都正確 B.當(dāng)n=1時驗證不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 5.(2018遼寧撫順期中,14)用數(shù)學(xué)歸納法證明:“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分,則f(n)=1+.”證明第二步歸納遞推時,用到f(k+1)=f(k)+　　　　　.? 6.試證:當(dāng)n∈N+時,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除. 7.(2018山東師范大學(xué)附屬中學(xué)期中,18)證明

4、:對任意的n∈N+,不等式·…·成立. 8.(2018廣東中山一中三模,21)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=-2nan+2(n∈N+). (1)求a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式(不需證明); (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥6時,有Sn<2n成立. 綜合提升組 9.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當(dāng)f(k)≥k2成立時,總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.則下列命題總成立的是(　　) A.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1

5、時,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,則當(dāng)k≤5時,均有f(k)≤k2成立 C.若f(7)<49成立,則當(dāng)k≥8時,均有f(k)4時,f(n)=　　　　　(用n表示).? 11.(2018遼寧六校協(xié)作體期中,17)是否存在常數(shù)a,b使得等式12+22+…+n2=n(2n+1)(an+b)對一切正整數(shù)n都成立?若存在,求出a,b值,并用數(shù)學(xué)

6、歸納法證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由. 創(chuàng)新應(yīng)用組 12.(2018河南洛陽模擬,18)將正整數(shù)作如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),….分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下, S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, (1)求S7的值; (2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S

7、1+S3+S5+S7的值,試猜測S1+S3+…+S2n-1的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 13.已知函數(shù)f0(x)=(x>0),設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)數(shù),n∈N+. (1)求2f1+f2的值; (2)證明:對任意的n∈N+,等式nfn-1+fn=都成立. 參考答案 課時規(guī)范練36　數(shù)學(xué)歸納法 1.B　n=k時成立,當(dāng)n=2時,n=k+2成立,n為2,4,6,…,故n為所有正偶數(shù). 2.D　相鄰兩個正奇數(shù)相差2,故D選項正確. 3.C　當(dāng)n=k時,左邊=++…+, ①

8、 當(dāng)n=k+1時,左邊=++…++,② 所以增加了兩項+,又減少了一項,故答案為C. 4.A　考查所給的證明過程:當(dāng)n=1時驗證是正確的,歸納假設(shè)是正確的,從n=k到n=k+1的推理也是正確的,即證明過程中不存在任何的問題.故選A. 5.k+1　當(dāng)n=k(k≥2)時,有f(k)=1+,當(dāng)n=k+1時,f(k+1)=1+, ∴從k到k+1左端需增加的代數(shù)式1+-1-=(k+2-k)=k+1, ∴在證明第二步歸納推理的過程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1). 6.證明 (1)當(dāng)n=1時,f(1)=64,命題顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時,f(k)=32k

9、+2-8k-9能被64整除,則當(dāng)n=k+1時,f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1), 即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此當(dāng)n=k+1時命題也成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對于任意n∈N+,命題都成立. 7.證明 ①當(dāng)n=1時,左邊=,右邊=,因為>,所以不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立,即···…·>成立.則當(dāng)n=k+1時, 左邊···…·· >·= = = >, 所以當(dāng)n=k+1時,不等式也成立. 由①②可得不等式恒成立. 8

10、.解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1. (2)Sn==n2+2n,下證:n≥6(n∈N+)時都有2n>n2+2n. 當(dāng)n=6時,26>62+2×6,即64>48成立; 假設(shè)n=k(k≥6,k∈N+)時,2k>k2+2k成立, 那么當(dāng)n=k+1時,2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1時,不等式成立. 故對于所有的n≥6(n∈N+),都有2n>n2+2n成立. 9.D　對A,當(dāng)k=1或2時,不一定有f(k)≥k2成立; 對B,只能得出:對于任意的k≥5,均有f(k)≥k2成

11、立,不能得出:對任意的k≤5,均有f(k)≤k2成立; 對C,若f(7)<49成立不能推出任何結(jié)論; 對D,∵f(4)=25≥16,∴對于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.故選D. 10.5　 (n+1)(n-2)　f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5, f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1) =2+3+4+…+(n-1) =(n+1)(n-2). 11.解 分別令n=1,2,可得解得 故猜想等式12+22+…+n2=對一切正整數(shù)n都成立. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時,由上面的探求可知等式成立. ②假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時猜想成立,即

12、12+22+…+k2=. 當(dāng)n=k+1時, 12+22+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2 = = =. 所以當(dāng)n=k+1時,等式也成立. 由①②知猜想成立,即存在a=,b=使命題成立. 12.解 (1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175. (2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256; 猜測S1+S3+S5+…+S2n-1=n4. 證明如下:記Mn=S1+S3+S5+…+S2n-1, ①當(dāng)n=1時,猜想成立. ②設(shè)當(dāng)n=k時,命題成立,即Mk=S1+S3+S5+…+S2k-1=k4. 下面證明當(dāng)n

13、=k+1時,猜想也成立. 事實上,由題設(shè)可知 Sn是由1+2+3+…+(n-1)+1=+1開始的n個連續(xù)自然數(shù)的和. 所以Sn=+1++2+…++n=, 所以S2k+1==(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1, 從而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4, 所以猜想在n=k+1時也成立. 綜合(1)(2)可知猜想對任何n∈N+都成立. 13.(1)解 由已知,得f1(x)=f'0(x)='=-,于是 f2(x)=f'1(x)='-' =--+, 所以f1=-,f2=-+, 故2f1+f2=-1. (2)證明 由已

14、知,得xf0(x)=sin x,等式兩邊分別對x求導(dǎo),得f0(x)+xf'0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sinx+,類似可得,2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sinx+,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+對所有的x∈N+都成立. ①當(dāng)n=1時,由上可知等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sinx+.因為[kfk-1(x)+xfk(x)]'=kf'k-1(x)+fk(x)+xf'k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x), sinx+'=cosx+·x+'=sinx+,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sinx+. 因此當(dāng)n=k+1時,等式也成立. 綜合①②可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+對所有的n∈N+都成立. 令x=,可得nfn-1+fn=sin +(n∈N+), 所以nfn-1+fn=(n∈N+).