(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學總復習 優(yōu)編增分練:8+6分項練4 平面向量與數(shù)學文化 文

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1、(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學總復習 優(yōu)編增分練:8+6分項練4 平面向量與數(shù)學文化 文 1.(2018·貴陽模擬)如圖,在△ABC中,BE是邊AC的中線,O是BE邊的中點,若=a,=b,則等于(  ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案 B 解析 ∵在△ABC中,BE是AC邊上的中線, ∴=, ∵O是BE邊的中點, ∴=(+), ∴=+, ∵=a,=b, ∴=a+b. 2.(2018·上饒模擬)設(shè)D,E為正三角形ABC中BC邊上的兩個三等分點,且BC=2,則·等于(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 如圖, ||=

2、||=2,〈,〉=60°, ∵D,E是邊BC的兩個三等分點, ∴·=·=· =||2+·+||2 =×4+×2×2×+×4=. 3.(2018·昆明模擬)程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏.次第每人多十七,要將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依次弟,孝和休惹外人傳.”意為:996斤棉花,分別贈送給8個子女做旅費,從第一個開始,以后每人依次多17斤,直到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明,使孝順子女的美德外傳,則第八個孩子分得斤數(shù)為(  ) A.65 B.176 C.183 D.184 答案 D 解析 根據(jù)題意可得每個孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}

3、,其中d=17,n=8,S8=996. 由等差數(shù)列前n項和公式可得8a1+×17=996, 解得a1=65. 由等差數(shù)列通項公式得a8=65+(8-1)×17=184. 4.八卦是中國文化的基本哲學概念,如圖1是八卦模型圖,其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH,其中OA=1,則給出下列結(jié)論: ①·=0;②·=-; ③+=- ;④|-|=. 其中正確結(jié)論的個數(shù)為(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 B 解析 正八邊形ABCDEFGH中,HD⊥BF, ∴·=0,故①正確; ·=1×1×cos=-,故②正確; += =- ,故③正確; |-|

4、=||=|-|, 則||2=1+1-2×1×1×cos=2+, ∴||=,故④錯誤. 綜上,正確的結(jié)論為①②③,故選B. 5.(2018·聊城模擬)在△ABC中,BC邊上的中線AD的長為2,點P是△ABC所在平面上的任意一點,則·+·的最小值為(  ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 答案 C 解析 建立如圖所示的平面直角坐標系,使得點D在原點處,點A在y軸上,則A(0,2). 設(shè)點P的坐標為(x,y), 則=,=(-x,-y), 故·+·=·=2·=2 =2-2≥-2,當且僅當x=0,y=1時等號成立. 所以·+·的最小值為-2. 6.(2018·石家

5、莊模擬)三國時期吳國的數(shù)學家創(chuàng)造了一副“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細證明,如圖所示“勾股圓方圖”中由四個全等的直角三角形(直角邊長之比為1∶)圍成的一個大正方形,中間部分是一個小正方形,如果在大正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自中間的小正方形部分的概率是(  ) A. B. C.1- D.1- 答案 C 解析 由題意可知,設(shè)直角三角形的直角邊長分別為k,k(k>0), 則大正方形的邊長為2k,小正方形的邊長為(-1)k, 所以大正方形的面積為4k2,小正方形的面積為(-1)2k2, 故所求概率為=1-. 7.(2018·南平質(zhì)檢)我國古代著名的數(shù)學

6、著作有《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算機》等10部算書,被稱為“算經(jīng)十書”.某校數(shù)學興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學對古代著名的數(shù)學著作產(chǎn)生濃厚的興趣.一天,他們根據(jù)最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些話,甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“我比丁多”;?。骸氨纫叶唷?,有趣的是,他們說的這些話中,只有一個人說的是真實的,而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù)最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同).甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由少到多的排列是(  ) A.乙甲丙丁 B.甲丁乙丙

7、 C.丙甲丁乙 D.甲丙乙丁 答案 D 解析 由題意可列表格如下: 甲 乙 丙 丁 甲說 丁>乙 乙說 甲>丙 丙說 丙>丁 丁說 丙>乙 對于選項A,甲,丁說的都對,不符合只有一個人對;對于選項B,丙,丁說的都對,也不符合只有一個人對;對于選項C,乙說的對,但乙不是最少的,不符合;對于選項D,甲說的對,也正好是最少的,符合,選D. 8.(2018·河北省衡水中學模擬)已知==2,點C在線段AB上,且的最小值為1,則(t∈R)的最小值為(  ) A. B. C.2 D. 答案 B 解析 ∵

8、==2, ∴點O在線段AB的垂直平分線上. ∵點C在線段AB上,且的最小值為1, ∴當C是AB的中點時最小,此時=1, ∴此時與的夾角為60°, ∴,的夾角為120°. 又2=2+t22-2t· =4+4t2-2t·2·2·cos 120° =4t2+4t+4 =42+3≥3, 當且僅當t=-時等號成立. ∴2的最小值為3, ∴的最小值為. 9.已知向量a=(2,4),|b|=2,|a-2b|=8,則a在a+b方向上的投影為________. 答案  解析 由a=(2,4),|b|=2,|a-2b|=8, 可知|a|==2, (a-2b)2=a2+4b2-4a

9、·b=64, 則a·b=-7, 所以a在a+b方向上的投影為 = ==. 10.(2018·煙臺模擬)如果=2,=3,a·b=4,則的值是________. 答案 2 解析 由=2,=3,a·b=4, 得== ==2. 11.(2018·石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是,|a|=1,|b|=,則向量a-2b與a的夾角為________. 答案  解析 a·b=cos =, a·(a-2b)=a2-2a·b=, |a-2b|= ===1. 設(shè)向量a-2b與a的夾角為θ,cos θ==, 又因為θ∈[0,π], 所以θ=. 12.(2018·寧德質(zhì)檢)我國南

10、北朝時期的數(shù)學家張丘建是世界數(shù)學史上解決不定方程的第一人,他在《張丘建算經(jīng)》中給出一個解不定方程的百雞問題,問題如下:雞翁一,值錢五,雞母一,值錢三,雞雛三,值錢一.百錢買百雞,問雞翁母雛各幾何?用代數(shù)方法表述為:設(shè)雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為x,y,z,則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組的解.其解題過程可用程序框圖表示,如圖所示,則程序框圖中正整數(shù)m的值為________. 答案 4 解析 由 得y=25-x,故x必為4的倍數(shù), 當x=4t時,y=25-7t, 由y=25-7t>0得,t的最大值為3, 故判斷框應(yīng)填入的是t<4?, 即m=4. 13.若非零向量a,b滿足|

11、b|=|a|,若(a+2b)⊥(3a-tb),a與b的夾角等于,則實數(shù)t的值為________. 答案  解析 由a與b的夾角等于可得 cos==,故a·b=|a|2. 由(a+2b)⊥(3a-tb)可得 3a2-ta·b+6a·b-2tb2=0, 即3|a|2+(6-t)|a|2-4t|a|2=0, 又a為非零向量, 所以|a|2≠0,則有3+6-t-4t=0,解得t=. 14.(2018·咸陽模擬)已知圓的半徑為1,A,B,C,D為該圓上四個點,且+=,則△ABC面積的最大值為________. 答案 1 解析 如圖所示,由+=知,四邊形ABDC為平行四邊形, 又A,B,C,D 四點共圓, ∴四邊形ABDC 為矩形,即BC 為圓的直徑, △ABC的面積S=AB·AC≤·=AD2, ∴當AD是圓的直徑時,△ABC的面積最大. ∴當AB=AC 時, △ABC的面積取得最大值×4=1.

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