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1、（山東濱州專用）2022中考數(shù)學(xué) 要題加練2
1．(xx·麗水中考)如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連接AD.已知∠CAD＝∠B.
(1)求證：AD是⊙O的切線；
(2)若BC＝8，tan B＝，求⊙O的半徑．
2．(xx·云南中考)如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB的延長線上，∠BCD＝∠BAC.
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若∠D＝30°，BD＝2，求圖中陰影部分的面積．
2、
3．(xx·呼和浩特中考)如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)D是MB與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)P是AD延長線與BC的交點(diǎn)，且＝.
(1)求證：PD是⊙O的切線；
(2)若AD＝12，AM＝MC，求的值．
4.如圖，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.
(1)求證：AC·AD＝AB·AE；
(2)如果BD是⊙O的切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，當(dāng)BC＝2時，求AC的長．
5．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙
3、O上一點(diǎn)，OF⊥BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，點(diǎn)D為OE延長線上一點(diǎn)，且∠ODB＝∠AEC.
(1)求證：BD是⊙O的切線；
(2)求證：CE2＝EH·EA；
(3)若⊙O的半徑為5，sin A＝，求BH的長．
參考答案
1．(1)證明：如圖，連接OD.
∵OB＝OD，∴∠3＝∠B.
∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3.
在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°，
∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，
∴OD⊥AD，∴AD是⊙O的切線．
(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r.
在Rt△ABC中，AC＝BC·tan B＝4，
根據(jù)勾股定理得AB＝＝4，
∴OA
4、＝4－r.
在Rt△ACD中，tan∠1＝tan B＝，
∴CD＝AC·tan∠1＝2.
根據(jù)勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，
即(4－r)2＝r2＋20，
解得r＝.
即⊙O的半徑為.
2．(1)證明：如圖，連接OC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.
∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA.
∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA＋∠OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切線．
(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r，則AB＝2r.
∵∠D＝30°，∠O
5、CD＝90°，
∴OD＝2r，∠COB＝60°，
∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，
∴BC＝2，∴由勾股定理可知AC＝2，
易求S△AOC＝×2×1＝，
S扇形OAC＝＝，
∴S陰影＝S扇形OAC－S△AOC＝－.
3．(1)證明：如圖，連接OD，OP.
∵＝，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3.
∵OD＝OM，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.
∵OP＝OP，OD＝OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP＝∠OCP.
∵BC⊥AC，
∴∠OCP＝90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O
6、的切線．
(2)解：如圖，連接CD.設(shè)⊙O的半徑為R，
由(1)可知PC＝PD.
∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R.
在Rt△AOD中，OD2＋AD2＝OA2，
∴R2＋122＝9R2，∴R＝3，
∴OD＝3，MC＝6.
∵＝＝，∴DP＝6.
∵點(diǎn)O是MC的中點(diǎn)，∴＝＝，
∴點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴BP＝CP＝DP＝6.
∵M(jìn)C是⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠CDM＝90°.
在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，
∴BM＝6.
∵△BCM∽△CDM，
∴＝，即＝，
∴MD＝2，∴＝＝.
4．(1)證明：如圖，連接DE.
∵AE是直徑，∴∠ADE＝9
7、0°，∴∠ADE＝∠ABC.
∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，
∴＝，∴AC·AD＝AB·AE.
(2)解：如圖，連接OD.
∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD.
在Rt△OBD中，OE＝BE＝OD，
∴OB＝2OD，∴∠OBD＝30°，
同理∠BAC＝30°.
在Rt△ABC中，AC＝2BC＝2×2＝4.
5．(1)證明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC.
∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB＋∠DBF＝90°，∴∠ABC＋∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切線．
(2)證明：如圖，連接AC.
∵OF⊥BC，∴＝，∴∠CAE＝∠ECB.
∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，
∴＝，∴CE2＝EH·EA.
(3)解：如圖，連接BE.
∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°.
∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB·sin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8.
∵＝，∴BE＝CE＝6.
∵CE2＝EH·EA，
∴EH＝＝.
在Rt△BEH中，BH＝＝＝.
（山東濱州專用）2022中考數(shù)學(xué) 要題加練2
