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1、2022年高考數(shù)學(xué) 6年高考母題精解精析 專題12 概率01 理
1.【xx高考真題遼寧理10】在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形,領(lǐng)邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng),則該矩形面積小于32cm2的概率為
(A) (B) (C) (D)
2.【xx高考真題湖北理8】如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓. 在扇形OAB
內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是
A. B.
C. D.
3.【xx高考真題廣
2、東理7】從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)種任取一個(gè),其個(gè)位數(shù)為0的概率是
A. B. C. D.
4.【xx高考真題福建理6】如圖所示,在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】根據(jù)定積分的幾何意義可知陰影部分的面積,而正方形的面積為1,所以點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為.故選C.
5.【xx高考真題北京理2】設(shè)不等式組,表示平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是
(A) (B) (C) (D)
6.
3、【xx高考真題上海理11】三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽,若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目,則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是 (結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)。
7.【xx高考真題新課標(biāo)理15】某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位:小時(shí))均服從正態(tài)分布,且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為
【答案】
【解析】三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布得:三個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為
超過1000小時(shí)時(shí)元件1或元件
4、2正常工作的概率
那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為.
8.【xx高考江蘇6】(5分)現(xiàn)有10個(gè)數(shù),它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),則它小于8的概率是 ▲ .
9.【xx高考真題四川理17】(本小題滿分12分)
某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))和,系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。
(Ⅰ)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為,求的值;
(Ⅱ)設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量,求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。
【答案】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、
5、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模能力,數(shù)據(jù)的分析處理能力和基本運(yùn)算能力.
【解析】
10.【xx高考真題湖北理】(本小題滿分12分)
根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表:
降水量X
工期延誤天數(shù)
0
2
6
10
歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9. 求:
(Ⅰ)工期延誤天數(shù)的均值與方差;
(Ⅱ)在降水量X至少是的條件下,工期延誤不超過6天的概率.
【答案】(Ⅰ)由已知條件和概率的加法公式有:
,
.
.
所以的分布
6、列為:
0
2
6
10
0.3
0.4
0.2
0.1
于是,;
.
故工期延誤天數(shù)的均值為3,方差為.
11.【xx高考江蘇25】(10分)設(shè)為隨機(jī)變量,從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱相交時(shí),;當(dāng)兩條棱平行時(shí),的值為兩條棱之間的距離;當(dāng)兩條棱異面時(shí),.
(1)求概率;
(2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望.
7、 (2)若兩條棱平行,則它們的距離為1或,其中距離為的共有6對(duì),
∴ ,。
∴隨機(jī)變量的分布列是:
0
1
∴其數(shù)學(xué)期望。
12.【xx高考真題廣東理17】(本小題滿分13分)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].
(1)求圖中x的值;
(2)從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,該2人中成績(jī)?cè)?0分以上(含
8、90分)的人數(shù)記為,求得數(shù)學(xué)期望.
【答案】本題是在概率與統(tǒng)計(jì)的交匯處命題,考查了用樣本估計(jì)總體等統(tǒng)計(jì)知識(shí)以及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望,考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,難度中等。
【解析】
14.【xx高考真題浙江理19】(本小題滿分14分)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球,且規(guī)定:取出一個(gè)白球的2分,取出一個(gè)黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球,記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).
15.【xx高考真題重慶理17】(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問8分.)
甲、乙
9、兩人輪流投籃,每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響.
(Ⅰ) 求甲獲勝的概率;
(Ⅱ)求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)的分布列與期望
【答案】
16.【xx高考真題江西理29】(本題滿分12分)
如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn),將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”,記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),此時(shí)“立體”的
10、體積V=0)。
(1)求V=0的概率;
(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望。
【答案】
17.【xx高考真題湖南理17】本小題滿分12分)
某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.
一次購(gòu)物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
30
25
10
結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.
(Ⅰ)確定x,y的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(
11、Ⅱ)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.
(注:將頻率視為概率)
(Ⅱ)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”,為該顧客前面第位顧客的結(jié)算時(shí)間,則
.
18.【xx高考真題安徽理17】(本小題滿分12分)
某單位招聘面試,每次從試題庫(kù)隨機(jī)調(diào)用一道試題,若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫(kù),并增補(bǔ)一道類試題和一道類型試題入庫(kù),此次調(diào)題工作結(jié)束;若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫(kù),此次調(diào)題工作結(jié)束。試題庫(kù)中現(xiàn)共有道試題,其中有道類型試題和道類型試題,以表示兩次調(diào)題工作完成后,試題庫(kù)中類
12、試題的數(shù)量。
(Ⅰ)求的概率;
(Ⅱ)設(shè),求的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)。
19.【xx高考真題新課標(biāo)理18】(本小題滿分12分)
某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝元的價(jià)格出售,
如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量
(單位:枝,)的函數(shù)解析式.
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(i)若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花,表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求的分布列,
數(shù)學(xué)期望及方差;
(ii)若
13、花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?
請(qǐng)說明理由.
22.【xx高考真題北京理17】(本小題共13分)
近年來,某市為了促進(jìn)生活垃圾的風(fēng)分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位:噸):
“廚余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
廚余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(Ⅰ)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率;
(Ⅱ)試估
14、計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤額概率;
(Ⅲ)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為其中a>0,=600。當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最大時(shí),寫出的值(結(jié)論不要求證明),并求此時(shí)的值。
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
24.【xx高考真題天津理16】(本小題滿分13分)
現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(Ⅰ)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率;
(Ⅱ)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
用X,Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】