（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十七 坐標系與參數(shù)方程講義 理（重點生含解析）（選修4-4）

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1、（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十七 坐標系與參數(shù)方程講義 理（重點生，含解析）（選修4-4） 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 極坐標與直角坐標的互化、曲線方程的求解 參數(shù)方程與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程的應用 參數(shù)方程與普通方程的互化、參數(shù)方程的應用 2017 參數(shù)方程與普通方程的互化、點到直線的距離 直角坐標與極坐標的互化、動點軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題 直線的參數(shù)方程與極坐標方程、動點軌跡方程的求法 2016 參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用 極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用、直線與圓的位置關系

2、 參數(shù)方程、極坐標方程及點到直線的距離、三角函數(shù)的最值 縱向把握趨勢 考題主要考查極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、曲線方程的求解及點到直線距離的應用．預計2019年會以直線與圓為載體考查直線與圓參數(shù)方程和極坐標方程的應用 考題主要涉及直角坐標方程與參數(shù)方程和極坐標方程的互化、軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題、直線與圓位置關系的應用，難度適中．預計2019年會以極坐標或參數(shù)方程為載體，考查直線與圓的方程及性質(zhì) 橫向把握重點 1.坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應用．

3、 2.全國卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應注意轉化思想的應用 極坐標方程及應用 (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 　(2019屆高三·廣州七校第一次聯(lián)考)已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C的極坐標方程； (2)設l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2與曲線C相交于異于原點的兩點A，B，求△AOB的面積． [解]　(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， ∴曲線C的普通方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 將代入并化簡得ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴曲

4、線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在極坐標系中，曲線C：ρ＝4cos θ＋2sin θ， 由得|OA|＝2＋1. 同理可得|OB|＝2＋. 又∠AOB＝， ∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝. ∴△AOB的面積為. [類題通法] 1．極坐標方程與普通方程的互化技巧 (1)巧用極坐標方程兩邊同乘以ρ或同時平方技巧，將極坐標方程構造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程． (2)巧借兩角和差公式，轉化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的結構形式，進而利用互化公式得到普通方程． (3)將直角坐標

5、方程中的x轉化為ρcos θ，將y換成ρsin θ，即可得到其極坐標方程． 2．求解與極坐標有關的問題的主要方法 (1)直接利用極坐標系求解，可與數(shù)形結合思想結合使用． (2)轉化為直角坐標系，用直角坐標求解．若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標． [應用通關] 1．(2019屆高三·南寧模擬)已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin，直線l的直角坐標方程為y＝x. (1)求曲線C1和直線l的極坐標方程； (2)已知直線l分別與曲線C1、曲線C2相交于異于極點的A，B兩點，若A，B的

6、極徑分別為ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值． 解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 得曲線C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝1， 則C1的極坐標方程為ρ＝2sin θ. 易知直線l過原點，且傾斜角為， 故直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝2sin θ， 直線l的極坐標方程為θ＝， 將θ＝代入C1的極坐標方程得ρ1＝1， 將θ＝代入C2的極坐標方程得ρ2＝4， ∴|ρ2－ρ1|＝3. 2．(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐

7、標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，點A到l

8、1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 參數(shù)方程及應用 [由題知法] 常見的幾種曲線的普通方程和參數(shù)方程 點的 軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 (x－x0)2＋(y－y0)2

9、＝r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) 拋物線 y2＝2px (t為參數(shù)) 　　　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)若直線l與圓C的相交弦長不小于，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若點A的坐標為(2,0)，動點P在圓C上，試求線段PA的中點Q的軌跡方程． [解]　(1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，得直線l的普通方程為y＝mx， 由圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 得圓C的普通方程為x2＋(y－1)2＝1. 則圓心(0,1)到直線l的距離d＝， 故相交弦長為2 ， 所以2 ≥， 解得m≤－1或m

10、≥1. 所以實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)設P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)， 則x＝(cos α＋2)，y＝(1＋sin α)， 消去α，整理可得線段PA的中點Q的軌跡方程為 (x－1)2＋2＝. [類題通法] 1．參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法 (1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法． (2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等式法． (3)常見消參數(shù)的關系式： ①t·＝1； ②2－2＝4； ③2＋2＝1. 2．

11、與參數(shù)方程有關問題的求解方法 (1)過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，|t|等于直線上的點P到點P0(x0，y0)的距離．若直線上任意兩點P1，P2對應的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點對應的參數(shù)為(t1＋t2)． (2)解決與直線、圓錐曲線的參數(shù)方程有關的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化，主要是通過互化解決與圓錐曲線上動點有關的問題，如最值、范圍等． [應用通關] 1．(2018·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C

12、和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率． 解：(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1.當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan α·x＋2－tan α， 當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)， 所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cos α＋sin α＝0， 于是直線l的斜率k＝tan α＝

13、－2. 2．(2018·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρcos＝－. (1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程； (2)設直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P是圓C上任意一點，求A，B兩點的極坐標和△PAB面積的最小值． 解：(1)由消去參數(shù)t， 得(x＋5)2＋(y－3)2＝2， 所以圓C的普通方程為(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋2＝0. (2)直線l與x軸，y

14、軸的交點分別為A(－2,0)，B(0,2)， 化為極坐標為A(2，π)，B， 設點P的坐標為(－5＋cos t,3＋sin t)， 則點P到直線l的距離為 d＝ ＝. 所以dmin＝＝2，又|AB|＝2. 所以△PAB面積的最小值是S＝×2×2＝4. 極坐標方程與參數(shù)方程的綜合問題 [由題知法] 　　　(2018·鄭州第一次質(zhì)量預測)在平面直角坐標系xOy中，直線l過點(1,0)，傾斜角為α，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ＝. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若α＝，設直線l與曲線C交于

15、A，B兩點，求△AOB的面積． [解]　(1)由題意可得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． ∵曲線C的極坐標方程為ρ＝， ∴ρsin2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ， 即曲線C的直角坐標方程為y2＝8x. (2)法一：當α＝時，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))， 代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0， 設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝8，t1t2＝－16， ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝8. 又點O到直線AB的距離d＝1×sin＝， ∴S△AOB＝×|AB|×d＝×8×＝2. 法二：當α＝時，直線l的方程為y＝x－1，

16、 設M(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2－8y－8＝0， 則y1＋y2＝8，y1y2＝－8， ∴S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2. [類題通法]　解極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的策略 (1)對于參數(shù)方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰． (2)對于一些運算比較復雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷． (3)利用極坐標方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件． [應用通關] 1．(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參

17、數(shù))，在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ－2cos θ＝0. (1)求曲線C2的直角坐標方程； (2)若曲線C1上有一動點M，曲線C2上有一動點N，求|MN|的最小值． 解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，∴x2＋y2－2x＝0， 即曲線C2的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1,0)，半徑為1. 設曲線C1上的動點M(3cos θ，2sin θ)， 由動點N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. ∵|MC2|＝ ＝，

18、 ∴當cos θ＝時，|MC2|min＝， ∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1. 2．(2018·陜西質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t＞0，α為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin＝3. (1)當t＝1時，求曲線C上的點到直線l的距離的最大值； (2)若曲線C上的所有點都在直線l的下方，求實數(shù)t的取值范圍． 解：(1)由ρsin＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3， 把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得直線l的直角坐標方程為x＋y－3＝0， 當t＝1時，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))

19、， 消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2＋y2＝1， ∴曲線C為圓，且圓心為O，半徑r＝1， 則點O到直線l的距離d＝＝， ∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1＋. (2)∵曲線C上的所有點均在直線l的下方， ∴對任意的α∈R，tcos α＋sin α－3＜0恒成立， 即cos(α－φ)＜3恒成立， ∴ ＜3， 又t＞0，∴0＜t＜2. ∴實數(shù)t的取值范圍為(0,2)． [專題跟蹤檢測](對應配套卷P207) 1．(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍

20、； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程． 解：(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－. l與⊙O交于兩點需滿足<1， 解得k<－1或k>1， 即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，<α<）.設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 （α為參數(shù)，<α<）. 2．(2018·開封模擬

21、)在直角坐標系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程和交點A的坐標(非坐標原點)； (2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為B(非坐標原點)，求△OAB的最大面積． 解：(1)由(t為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為y＝xtan α，故曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)．將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ.故交點A的坐標為(4cos α，α)(也可寫出直角坐標)． (2)由

22、題意知，點B的極坐標為. ∴S△OAB＝＝ ， 當sin＝－1時，(S△OAB)max＝2＋2， 故△OAB的最大面積是2＋2. 3．(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，θ∈. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)在曲線C上求一點D，使它到直線l：(t為參數(shù))的距離最短，寫出D點的直角坐標． 解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0. (2)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去t得l的

23、普通方程為x＋y－5＝0， 由(1)得曲線C的圓心為(0,1)，半徑為1， 又點(0,1)到直線l的距離為＝2＞1， 所以曲線C與l相離． 因為點D在曲線C上， 所以可設D(cos α，1＋sin α)，則點D到直線l的距離d＝＝， 當sin＝1時，點D到直線l的距離d最短，此時α＝，故點D的直角坐標為. 4．(2019屆高三·昆明調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點A(2,1)．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點． (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；

24、 (2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直線l的斜率k. 解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0， 由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos2α＞， 則t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3， 由參數(shù)的幾何意義知， |AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|， |PQ|＝|t1－t2|， 由題意知，(t1－t2)2＝t1·t2， 則(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cos α)2＝5×3， 解得cos2α＝，滿足cos2α＞，

25、 所以sin2α＝，tan2α＝， 所以直線l的斜率k＝tan α＝±. 5．已知曲線C：(α為參數(shù))和定點A(0，)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點，以坐標原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求直線AF2的極坐標方程； (2)經(jīng)過點F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M，N兩點，求||MF1|－|NF1||的值． 解：(1)曲線C：可化為＋＝1， 故曲線C為橢圓，則焦點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 所以經(jīng)過點A(0，)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x＋＝1，即x＋y－＝0， 所以直線AF2的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝. (

26、2)由(1)知，直線AF2的斜率為－，因為l⊥AF2，所以直線l的斜率為，即傾斜角為30°， 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入橢圓C的方程中，得13t2－12t－36＝0. 則t1＋t2＝. 因為點M，N在點F1的兩側， 所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝. 6．(2018·濰坊模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)． (1)寫出曲線C1的極坐標方程，并求C1與C2交點的極坐標； (2)射線θ＝β與曲線C1，

27、C2分別交于點A，B(A，B異于原點)，求的取值范圍． 解：(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ， 聯(lián)立得4sin θcos2θ＝sin θ，此時0≤θ＜π， ①當sin θ＝0時，θ＝0，ρ＝0，得交點的極坐標為(0,0)； ②當sin θ≠0時，cos2θ＝，得cos θ＝±， 當cos θ＝時，θ＝，ρ＝2，得交點的極坐標為， 當cos θ＝－時，θ＝，ρ＝2，得交點的極坐標為， ∴C1與C2交點的極坐標為(0,0)，，. (2)將θ＝β代入C1的極坐標方程中，得

28、ρ1＝4sin β， 代入C2的極坐標方程中，得ρ2＝， ∴＝＝4cos2β. ∵≤β≤，∴1≤4cos2β≤3， ∴的取值范圍為[1,3]． 7．(2018·福州模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C：(α為參數(shù)，t＞0)．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l：ρcos ＝. (1)若l與曲線C沒有公共點，求t的取值范圍； (2)若曲線C上存在點到l的距離的最大值為＋，求t的值． 解：(1)因為直線l的極坐標方程為ρcos＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 所以直線l的直角坐標方程為x＋y＝2. 因為曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，t＞0)，

29、 所以曲線C的普通方程為＋y2＝1(t＞0)， 由消去x，得(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0， 所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)＜0， 又t＞0，所以0＜t＜， 故t的取值范圍為(0，)． (2)由(1)知直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0， 故曲線C上的點(tcos α，sin α)到l的距離 d＝， 故d的最大值為， 由題設得＝＋， 解得t＝±. 又t＞0，所以t＝. 8．(2019屆高三·成都診斷)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，過極點O的

30、射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標為(2，θ)，其中θ∈. (1)求θ的值； (2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值． 解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的極坐標方程為(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4， 即ρ＝4sin θ. 由ρ＝2，得sin θ＝， ∵θ∈，∴θ＝. (2)易知直線l的普通方程為x＋y－4＝0， ∴直線l的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ－4＝0. 又射線OA的極坐標方程為θ＝(ρ≥0)， 聯(lián)立解得ρ＝4. ∴點B的極坐標為， ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.