（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.1 平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.1 平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解平面的基本性質(zhì)與推論，能運(yùn)用平面的基本性質(zhì)及推論去解決有關(guān)問題.2.會(huì)用集合語言來描述點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì).3.理解異面直線的概念． 知識(shí)點(diǎn)一　平面的基本性質(zhì)與推論 思考1　直線l與平面α有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.直線l是否在平面α內(nèi)？有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？ 答案　前者不在，后者在． 思考2　觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論？ 答案　不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面． 思考3　觀察正方體ABCD—A1B1C1D1(如圖所示)，平面

2、ABCD與平面BCC1B1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)B，C嗎？ 答案　不是，平面ABCD與平面BCC1B1相交于直線BC. 梳理　(1)平面的基本性質(zhì) 平面 內(nèi)容 作用 圖形 基本性質(zhì)1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線) 判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù) 基本性質(zhì)2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面) 確定平面及兩個(gè)平面重合的依據(jù) 基本性質(zhì)3 如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個(gè)點(diǎn)的公共直線 判斷兩平面相交，線共點(diǎn)，點(diǎn)共線的依據(jù)

3、 (2)平面基本性質(zhì)的推論 推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面． 知識(shí)點(diǎn)二　點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系及表示 思考　直線和平面都是由點(diǎn)組成的，聯(lián)系集合的觀點(diǎn)，點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系，如何用符號(hào)來表示？直線和平面呢？ 答案　點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號(hào)“∈”或“?”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號(hào) “?”或“?”表示． 梳理　點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及表示 文字語言 符號(hào)語言 圖形語言 A在l上 A∈l A在l外 A?l

4、A在α內(nèi) A∈α A在α外 A?α l在α內(nèi) l?α l在α外 l?α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 知識(shí)點(diǎn)三　共面與異面直線 思考　如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，點(diǎn)A在α外，那么直線l與直線AB能不能在同一個(gè)平面內(nèi)？為什么？直線l與直線AB的位置關(guān)系是怎樣的？ 答案　不可能在同一個(gè)平面內(nèi)，因?yàn)槿绻谕粋€(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)A就在α內(nèi)，這與點(diǎn)A在α外矛盾．由圖知，直線l與直線AB沒有公共點(diǎn)，所以它們不相交，直線l與直線AB不可能平行，否則它們就會(huì)同在平面α內(nèi)，所以直線l與直線A

5、B既不相交也不平行． 梳理　共面與異面直線 (1)共面 ①概念：空間中的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線，都在同一平面內(nèi)． ②特征：共面的直線相交或者平行． (2)異面直線 ①概念：既不平行又不相交的直線． ②判斷方法：與一平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線是異面直線． 1．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線．(　×　) 2．兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．(　√　) 類型一　點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號(hào)表示 例1　如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系． 解　在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. 在(2)中，α

6、∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P. 反思與感悟　(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示． (2)根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別． 跟蹤訓(xùn)練1　根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC. 解　(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①. (2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，

7、且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②. (3)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖③. 類型二　平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用 命題角度1　點(diǎn)、線共面問題 例2　如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α. 解　因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β.所以直線a?β，點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α.又因?yàn)閍?α，所以α與β重合，所以PQ?α. 引申探究 將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)． 解　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求證：a，b

8、，c和l共面． 證明：如圖，∵a∥b， ∴a與b確定一個(gè)平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α. ∵b∥c，∴b與c確定一個(gè)平面β， 同理l?β. ∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B， 由推論2知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面， ∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面． 反思與感悟　證明多線共面的兩種方法 (1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi)． (2)重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線也在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合． 跟蹤訓(xùn)練2　已知：如圖所示，l1∩l2

9、＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 證明　方法一　(納入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α. ∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 方法二　(輔助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β. ∵A∈l2，l2?α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2?β，∴A∈β. 同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面

10、α內(nèi)，又在平面β內(nèi)． ∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 命題角度2　點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問題 例3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)． 證明　如圖，連接EF，D1C，A1B. ∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)， ∴EF綊A1B. 又∵A1B綊D1C， ∴EF綊D1C， ∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面， ∴D1F與CE相交，設(shè)交點(diǎn)為P. 又D1F?平面A1D1DA， CE?平面ABCD， ∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)． 又平面A1D1DA∩平面A

11、BCD＝DA， 根據(jù)基本性質(zhì)3，可得P∈DA， 即CE，D1F，DA相交于一點(diǎn)． 反思與感悟　(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用基本性質(zhì)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上． (2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)． 跟蹤訓(xùn)練3　已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，

12、AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線． 證明　方法一　∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本性質(zhì)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上， 同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上． ∴P，Q，R三點(diǎn)共線． 方法二　∵AP∩AR＝A， ∴直線AP與直線AR確定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC?平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三點(diǎn)共線． 類型三　異面直線的判定

13、例4　如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么NC，DE，AF，BM這四條線段所在的直線是異面直線的有多少對(duì)？試以其中一對(duì)為例進(jìn)行證明． 解　將展開圖還原為正方體(如圖)． NC與DE，NC與AF，NC與BM，DE與AF，DE與BM，AF與BM，都是異面直線，共有6對(duì)． 以NC與AF是異面直線為例證明如下： 方法一　連接BE，若NC∥AF， 則由NC∥BE，可知AF∥BE， 這與AF與BE相交矛盾． 故NC與AF不平行． 若NC與AF相交，則平面ABFE與平面CDNM有公共點(diǎn)，這與正方體的性質(zhì)矛盾．故NC與AF不相交． 所以NC與AF異面． 方法二　連接

14、BE，如圖，因?yàn)橹本€NC?平面BCNE， 直線AF∩平面BCNE＝O. O?直線NC，所以NC與AF異面． 反思與感悟　判定兩條直線是異面直線的方法 (1)證明兩條直線既不平行又不相交． (2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)． 跟蹤訓(xùn)練4　分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 答案　D 解析　如圖(1)所示，直線a與b互相平行；如圖(2)所示，直線a與b相交；如圖(

15、3)所示，直線a與b異面． 1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直線AB，則(　　) A．C∈α B．C?α C．AB?α D．AB∩α＝C 答案　A 解析　因?yàn)锳∈平面α，B∈平面α，所以AB?α.又因?yàn)镃∈直線AB，所以C∈α. 2．平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　如圖，用列舉法知符合要求的棱為：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故選C. 3.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，與AA1異面的是(　　) A．AB

16、B．BB1 C．DD1 D．B1C1 答案　D 解析　由異面直線的定義知，與AA1異面的直線應(yīng)為B1C1. 4．線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系是________． 答案　直線AB?α 解析　由基本性質(zhì)1知直線AB在平面α內(nèi)． 5.如圖，已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P，則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是________． 答案　P∈直線DE 解析　因?yàn)镻∈AB，AB?平面ABC， 所以P∈平面ABC. 又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE， 所以P∈直線DE. 1．解決立體幾何問題首

17、先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言．文字語言和符號(hào)語言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號(hào)語言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛． 2．在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用，突出先部分再整體的思想． 3．異面直線是既不平行也不相交的直線． 一、選擇題 1．下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是(　　) 答案　D 解析　畫兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的部分用虛線表示，并畫出兩平面的交線． 2．空間中，可以確定一個(gè)

18、平面的條件是(　　) A．三個(gè)點(diǎn) B．四個(gè)點(diǎn) C．三角形 D．四邊形 答案　C 解析　由平面的基本性質(zhì)及推論得：在A中，不共線的三個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面，共線的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；在B中，不共線的四個(gè)點(diǎn)最多能確定四個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；在C中，由于三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，因此三角形能確定一個(gè)平面，故C正確；在D中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤．故選C. 3．如果A點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在α內(nèi)，可以表示為(　　) A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈α C．A?a，a∈α，B?α D．A∈

19、a，a∈α，B∈α 答案　B 解析　A點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在α內(nèi)，表示為：A∈a，a?α，B∈α，故選B. 4．空間四點(diǎn)A，B，C，D共面而不共線，那么這四點(diǎn)中(　　) A．必有三點(diǎn)共線 B．必有三點(diǎn)不共線 C．至少有三點(diǎn)共線 D．不可能有三點(diǎn)共線 答案　B 解析　A，B，C，D共面而不共線，這四點(diǎn)可能有三點(diǎn)共線，也可能任意三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；如果四點(diǎn)中沒有三點(diǎn)不共線，則四點(diǎn)共線，矛盾，故B正確；當(dāng)任意三點(diǎn)不共線時(shí)，也滿足條件，故C錯(cuò)誤；當(dāng)其中三點(diǎn)共線，第四個(gè)點(diǎn)不共線時(shí)，也滿足條件，故D錯(cuò)誤，故選B. 5．有下列說法： ①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)

20、； ②三條平行直線必共面； ③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合． 其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因?yàn)樘菪蔚纳舷碌谆ハ嗥叫校蕴菪问瞧矫鎴D形，故①正確；三條平行直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故②錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面的三個(gè)公共點(diǎn)不共線，則兩平面重合，若三個(gè)公共點(diǎn)共線，兩平面有可能相交，故③錯(cuò)誤，故選B. 6．三條兩兩相交的直線最多可確定的平面的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．無數(shù) 答案　C 解析　在空間中，兩兩相交的三條直線最多可以確定3個(gè)平面，如圖所示． PA，PB，PC相交于一點(diǎn)P，則PA，PB，PC不共

21、面，則PA、PB確定一個(gè)平面PAB，PB，PC確定一個(gè)平面PBC，PA，PC確定一個(gè)平面PAC.故選C. 7.如圖所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　) A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M 答案　D 解析　∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根據(jù)基本性質(zhì)3可知，M在γ與β的交線上． 同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上． 8．長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線與長(zhǎng)方體的棱所組成的異面直線有(　　) A．2對(duì) B．3對(duì) C．6對(duì) D

22、．12對(duì) 答案　C 解析　如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，與對(duì)角線AC1成異面直線位置關(guān)系的棱是：A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以組成6對(duì)異面直線． 二、填空題 9．如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是________．(填序號(hào)) 答案?、? 解析　根據(jù)異面直線的定義可得． 10．三條平行直線最多能確定的平面的個(gè)數(shù)為________． 答案　3 解析　當(dāng)三條平行直線在一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，可以確定1個(gè)平面；當(dāng)三條平行直線不在同一平面上時(shí)，可以確定3個(gè)平面．綜上，最多可確定3個(gè)平面． 11．設(shè)平

23、面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l. 答案　∈ 解析　因?yàn)閍∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l. 12．已知A∈α，B?α，若A∈l，B∈l，那么直線l與平面α有________個(gè)公共點(diǎn)． 答案　1 解析　若直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，則l?α，那么B∈α，這與B?α矛盾，∴l(xiāng)∩α＝A. 三、解答題 13.已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖所示．求證：直線AD，BD，CD共面． 證明　因?yàn)镈?l，所以l與D可以確定平面α，因?yàn)锳∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD?α.同理，BD?

24、α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面． 四、探究與拓展 14．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是(　　) A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 答案　C 解析　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝DD1，NB＝BB1. 如圖，延長(zhǎng)C1M交CD于點(diǎn)P，延長(zhǎng)C1N交CB于點(diǎn)Q，連接PQ交AD于點(diǎn)E，AB于點(diǎn)F，連接NF，ME，則正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是五邊形．故選C. 15．在棱

25、長(zhǎng)是a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AA1、D1C1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l. (1)畫出交線l； (2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長(zhǎng)； (3)求點(diǎn)D1到l的距離． 解　(1)如圖，延長(zhǎng)DM交D1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個(gè)公共點(diǎn)．連接QN，則直線QN就是兩平面的交線l. (2)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)， MA1∥DD1， ∴A1是QD1的中點(diǎn)． 又∵A1P∥D1N， ∴A1P＝D1N. ∵N是D1C1的中點(diǎn)， ∴A1P＝D1C1＝， ∴PB1＝A1B1－A1P＝a. (3)過點(diǎn)D1作D1H⊥PN于點(diǎn)H， 則D1H的長(zhǎng)就是點(diǎn)D1到l的距離． ∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝， ∴D1H＝＝ ＝a. 即點(diǎn)D1到l的距離是a.