2022年高考數(shù)學 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預測卷 11

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1、2022年高考數(shù)學 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預測卷 11 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應的位置上． 1．已知集合，集合，若命題“”是命題“”的充分 不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是 ▲ ． 答案： 2．復數(shù)（是虛數(shù)單位），則= ▲ ． 答案： 3．為了解某校教師使用多媒體進行教學的情況，采用簡單隨機抽樣的方法，從該校200名授課教師中抽取20名教師，調(diào)查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示如下： 據(jù)此可估計該校上學期200名教師中，使用多媒體

2、 進行教學次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為 ▲ ． 答案：100 解析：所抽取的20人中在內(nèi)的人數(shù)10人， 故可得200名教師中使用多媒體進行教學次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為=100人。 4．如圖是一個算法的流程圖，則最后輸出的的值為 ▲ ． 答案：14 解析：本題考查算法流程圖。 所以輸出。 5．已知是等差數(shù)列{}的前項和，若≥4，≤16，則的最大值是 ▲ ． 答案：9 6．用半徑為cm，面積為cm2的扇形鐵皮制作一個無蓋的圓錐形容器（銜接部分忽略不計）， 則該容器盛滿水時的體積是 ▲ ． 答案： 7．若在區(qū)間和上分別各

3、取一個數(shù)，記為和，則方程表示焦點在 軸上的橢圓的概率為 ▲ ． 答案：2 解析：本題考查線性規(guī)劃和幾何概型。 由題意知畫可行域如圖陰影部分。 直線與，的交點分別為（2,2），（4,4） ∴陰影梯形的面積為， 而區(qū)間和構(gòu)成的區(qū)域面積為8，故所求的概率為。 8．設(shè)是實數(shù)．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間為 ▲ ． 答案： 9．已知三次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的最小 值為 ▲ ． 答案：3 解析:由題意≥0在R上恒成立，則，△≤0

4、． ∴≥ 令 ≥≥3． （當且僅當，即時取“=” 10．若函數(shù)，對任意實數(shù)，都有，且， 則實數(shù)的值等于 ▲ ． 答案：或。 解析：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)。 由可知是該函數(shù)的一條對稱軸， 故當時，或。又由可得或。 ▲ ． 11．已知A，B，P是雙曲線上不同的三點，且A，B連線經(jīng)過坐標原點，若直線 PA，PB的斜率乘積，則該雙曲線的離心率為 ▲ ． 答案： 解析：一定關(guān)于原點對稱，設(shè)，， 則，，． 12．已知等差數(shù)列的公差d不為0，等比數(shù)列的公比q為小于1的正有理數(shù)。若，且是正整數(shù)

5、，則q等于 ▲ ． 答案： 13．已知a > 0，b > 0，且，其中{a，b}表示數(shù)a，b中較小的數(shù)，則h的最大值為 ▲ ． 答案： 14．已知定義在上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝2，，則不等式解集 ▲ ． 答案：二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請把答案寫在答題卡相應的位置上．解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 15．(本題滿分14分) 如圖所示,已知的終邊所在直線上的一點的坐標為,的終邊在第一象限且與單位圓的交點的縱坐標為. ⑴求的值； ⑵若,,求. 解：⑴由三角函數(shù)的定義知 ∴.

6、 又由三角函數(shù)線知, ∵為第一象限角,∴,∴. ……7分 ⑵∵,,∴. 又,,∴. …8分 ∴. 由,,得,∴. ……14分 16．(本題滿分14分) 在三棱錐中,是邊長為的正三角形,平面平面, ,、分別為、的中點. ⑴證明：； ⑵(理)求二面角的正切值； ⑶求點到平面的距離. 解： 解法：⑴取中點,連結(jié)、. ∵,∴,, ∴平面,又平面,∴. ……4分 ⑵∵平面,平面,∴平面平面. 過作于,則平面, 過作于,連結(jié),則,為二面角的平面角. ∵平面平面,,∴平面.

7、 又平面,∴.∵, ∴,且. 在正中,由平幾知識可求得, 在中, ∴二面角的正切值為. ……8分 ⑶在中,,∴,. 設(shè)點到平面的距離為, ∵,平面,∴, ∴.即點到平面的距離為. ……14分 解法：⑴取中點,連結(jié)、.∵,, ∴,.∵平面平面, 平面平面,∴平面,∴. 如圖所示建立空間直角坐標系,則,, ,,∴,, ∵,∴. ……6分 ⑵∵,,又,∴,. 設(shè)為平面的一個法向量,則, 取,,,∴.又為平面的一個法向量, ∴,得 ∴.即二面角的正切值為. ……10分 ⑶由⑴⑵得,又為平面的一個法向量,, ∴點到平面的距離

8、.……14分 17．(本題滿分14分) 某公司為了加大產(chǎn)品的宣傳力度，準備立一塊廣告牌，在其背面制作一個形如△ABC的支架，要求∠ACB＝60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米．為節(jié)省材料，要求AC的長度越短越好，求AC的最短長度，且當AC最短時，BC的長度為多少米？ 解：設(shè)BC＝x米（x＞1），AC＝y(tǒng)米，則AB＝y(tǒng)－． 在△ABC中，由余弦定理，得(y－)2＝y(tǒng)2＋x2－2xycos60°． 所以y＝（x＞1）． 法一：y＝＝(x－1)＋＋2≥2＋． 當且僅當x－1＝，即x＝1＋時，y有最小值2＋． 法二： y′＝＝． 由y′＝0得x＝1＋．因為當1＜x＜1＋

9、時，y′＜0；當x＞1＋時，y′＞0， 所以當x＝1＋時，y有最小值2＋． 答：AC的最短長度為2＋米，此時BC的長度為（1＋）米．……………14分 18．(本題滿分16分) 已知曲線E：ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0），經(jīng)過點M（，0）的直線l與曲線E交 于點A、B，且＝－2． （1）若點B的坐標為（0，2），求曲線E的方程； （2）若a＝b＝1，求直線AB的方程． 解： （1） 設(shè)A(x0，y0)，因為B(0，2)，M(，0) 故＝(－，2)，＝(x0－，y0)． ……………………………………2分 因為＝－2，所以(－，2)＝－2(x0－，y0)．

10、所以x0＝，y0＝－1．即A(，－1)． ……………………………………4分 因為A，B都在曲線E上，所以解得a＝1，b＝． 所以曲線E的方程為x2＋＝1． ……………………………………6分 （2）（法一）當a＝b＝1時，曲線E為圓：x2＋y2＝1．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因為＝－2，所以(x2－，y2) ＝－2(x1－，y1)，即 設(shè)線段AB的中點為T，則點T的坐標為(，)，即(，－)． 所以＝(，－)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(－3x1，－3y1)． 因為OT⊥AB，所以×＝0，即3－4x1＋3x＋3y＝0． 因為x＋y＝1，所

11、以x1＝，y1＝±． 當點A的坐標為(，－)時，對應的點B的坐標為(0，1)，此時直線AB的斜率 k＝－，所求直線AB的方程為y＝－x＋1； 當點A的坐標為(，)時，對應的點B的坐標為(0，－1)，此時直線AB的斜率k＝， 所求直線AB的方程為y＝x－1． ……………………………………16分 （法二）當a＝b＝1時，曲線E為圓：x2＋y2＝1．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因為＝－2，所以(x2－，y2) ＝－2(x1－，y1)，即 因為點A，B在圓上，所以 由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3．所以2x1－x2＝，解得x1＝，x

12、2＝0． 由x1＝，得y1＝±．（以下同方法一） （法三）如圖，設(shè)AB中點為T． 則TM＝TA－MA＝AB，OM＝． 根據(jù)Rt△OTA和Rt△OTM，得 即解得AB＝，OT＝．所以在Rt△OTM中，tanDOMT＝＝． 所以kAB＝－或．所以直線AB的方程為y＝－x＋1或y＝x－1． 19．(本題滿分16分) 設(shè)f(x)＝x3，等差數(shù)列{an}中a3＝7，，記Sn＝，令bn＝anSn，數(shù)列的前n項和為Tn． （1）求{an}的通項公式和Sn； （2）求證：Tn＜； （3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn

13、成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由． 解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，． 解得,＝3,∴∵ ∴Sn＝＝．…4分 (2) ，∴ ∴。 ………………………8分 (3)由(2)知， ∴， ∵成等比數(shù)列． ∴ ，即………………………9分 當時，7，＝1，不合題意； 當時，，＝16，符合題意；………………………10分 當時，，無正整數(shù)解；當時，，無正整數(shù)解； 當時，，無正整數(shù)解； 當時，，無正整數(shù)解； ………………………12分 當時， ，則，而， 所以，此時不存在正整數(shù)m，n，且1

14、比數(shù)列． ………15分 綜上，存在正整數(shù)m＝2，n＝16，且1

15、含x3的項的系數(shù)，得，， 解得，． 所以． 分別比較①式中含x和x2的項的系數(shù)，得 ，………②，，③ ②× + ③×n得，即．…………10分 （2）方程化為：， 令,方程為，，即有絕對值不小于2的實根． 設(shè)， 當，即時，只需，此時，； 當，即時，只需，此時，； 當，即時，只需或，即或，此時． 的最小值為．…………………………………………………16分 （附加題） 21．【選做題】本題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題，每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． A．選修4－1：幾何證明選

16、講 如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，求證：∠PDE=∠POC． 證明：因AE=AC，AB為直徑， 故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC． 又∠EAC=∠PDE， 所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分 B．選修4－2：矩陣與變換 試求曲線在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式，其中M =，N = 解：MN = =…………………………………………………4分 即在矩陣MN變換下

17、…………………………………………6分 即曲線在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為……………10分 C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標方程：． （1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標方程化為直角坐標方程； （2）判斷直線和圓的位置關(guān)系． 解：消去參數(shù)，得直線的普通方程為…………………………………2分 即， 兩邊同乘以得， …………………………………6分 （2）圓心到直線的距離， 所以直線和⊙相交．

18、 …………………………………10分 D．選修4－5：不等式選講 已知x，y，z均為正數(shù)．求證：． 證明：因為x，y，z都是為正數(shù)，所以． …………………3分 同理可得． 將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得．………10分 22．【必做題】本題滿分10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 甲、乙、丙三個同學一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預錄取生（可在高考中加分錄取），兩次考試過程相互獨立．根據(jù)甲、乙、丙三個同學的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過

19、面試的概率分別是0.5，0.6，0.75． （1）求甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過筆試的概率； （2）設(shè)經(jīng)過兩次考試后，能被該高校預錄取的人數(shù)為，求隨機變量的期望． 解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件、、； 表示事件“恰有一人通過筆試” 則 ---------------------------------------------------------------------5分 （2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學經(jīng)過兩次考試后合格的概率均為， -----------------------------------------

20、----------------------------8分 所以，故．-------------10分 解法二：分別記甲、乙、丙三個同學經(jīng)過兩次考試后合格為事件， 則 所以， ，． 于是，． 23．【必做題】本題滿分10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 已知直線被拋物線截得的弦長為20，為坐標原點． （1）求實數(shù)的值； （2）問點位于拋物線弧上何處時，△面積最大？ 解：（1）將代入得，----------------------2分 由△可知， 另一方面，弦長AB，解得；-------------6分 （2）當時，直線為，要使得內(nèi)接△ABC面積最大， 則只須使得，-----------------------------------------------8分 即，即位于（4，4）點處．----------------------------------------10分