（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.3 全稱量詞與存在量詞學案 蘇教版選修1-1

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1、 1.3　全稱量詞與存在量詞 1.3.1　量詞 1.3.2　含有一個量詞的命題的否定 學習目標：1.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能準確地利用全稱量和存在量詞敘述數(shù)學內(nèi)容．(重點)　2.能判定全稱命題與存在性命題的真假．(難點)　3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．(重點、易混點) [自 主 預 習·探 新 知] 1．全稱量詞與全稱命題 (1)“所有”、“任意”、“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，通常用符號“?x”表示“對任意x”． (2)含有全稱量詞的命題稱為全稱命題，一般形式為：?x∈M，p(x)． 2．存在量詞和存在性命題 (1)“有一個”、“有些

2、”、“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，通常用符號“?x”表示“存在x”． (2)含有存在量詞的命題稱為存在性命題，一般形式為：?x∈M，p(x)． 3．全稱命題的否定 全稱命題p ﹁p 結(jié)論 ?x∈M，p(x) ?x∈M，﹁p(x) 全稱命題的否定是存在性命題 4.存在性命題的否定 存在性命題p ﹁p 結(jié)論 ?x∈M，p(x) ?x∈M，﹁p(x) 存在性命題的否定是全稱命題 [基礎(chǔ)自測] 1．判斷正誤： (1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞．(　　) (2)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”．(　　) (

3、3)全稱命題一定含有全稱量詞，存在性命題一定含有存在量詞．(　　) (4)?x∈M，p(x)與?x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　) 【解析】　(1)×.“有些”“某個”“有的”都表示部分，是存在量詞． (2)√.由全稱量詞與存在量詞的定義可知(2)正確． (3)×.有些全稱命題與存在性命題可能省略量詞． (4)√.命題p與其否定﹁p真假性相反． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________. 【導學號：95902036】 【解析】　原命題為全稱命題其否定為“?x0∈R，|x0|＋x<0”． 【答案】

4、　?x0∈R，|x0|＋x<0 [合 作 探 究·攻 重 難] 用量詞表示命題 　判斷下列命題是否為全稱命題或存在性命題，若是，用符號表示．并判斷其真假． (1)對任意實數(shù)α，有sin2α＋cos2α＝1； (2)存在一條直線，其斜率不存在； (3)對所有的實數(shù)a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (4)存在實數(shù)x0，使得＝2. [思路探究]　 → 【自主解答】　(1)是全稱命題，用符號表示為“?α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命題． (2)是存在性命題，用符號表示為“?直線l，l的斜率不存在”，是真命題． (3)是全稱命題，用符號表示為“?a，b∈R

5、，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命題． (4)是存在性命題，用符號表示為“?x0∈R，＝2”，是假命題． [規(guī)律方法]　 1．有些命題不是典型的全稱命題或存在性命題，卻表達了相應的意義，這時可適當引入量詞，用量詞表示命題，準確體會命題的含義． 2．用符號“?”“?”表示含有量詞的命題時，將存在量詞改為“?”，全稱量詞改為“?”，注意必要時需引入字母來表達命題的含義． [跟蹤訓練] 1．用符號“?”與“?”表示下列命題： (1)實數(shù)的絕對值大于等于0； (2)存在實數(shù)對，使兩數(shù)的平方和小于1； (3)任意的實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 【導學號

6、：95902037】 【解】　(1)?x∈R，|x|≥0. (2)?(x，y)∈R，x2＋y2＜1. (3)?a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 含有量詞的命題的真假判斷 　判斷下列命題的真假： (1)若a＞0且a≠1，則?x0∈R，ax0＞0； (2)?x∈R，都有x2－x＋1>； (3)?x0，y0∈N，使x0＋y0＝3. [思路探究]　結(jié)合全稱命題與存在性命題的含義及相關(guān)數(shù)學知識進行判斷． 【自主解答】　(1)∵a>0，∴當x＝1時，ax＝a>0，成立，∴(1)為真命題． (2)∵x2－x＋1＝＋≥>，∴x2－x＋1>恒成立，∴(2)是真命題．

7、 (3)當x0＝0，y0＝3時，x0＋y0＝3滿足題意，∴(3)是真命題． [規(guī)律方法]　全稱命題與存在性命題真假判斷的方法： (1)對于全稱命題“?x∈M，p(x)”： ①要證明它是真命題，需對集合M中每一個元素x，證明 p(x)成立； ②要判斷它是假命題，只要在集合M中找到一個元素x0，使 p(x0)不成立即可.(通常舉反例) (2)存在性命題的真假判斷要結(jié)合存在量詞來進行，在限定的集合內(nèi)，看能否找到相應的元素使命題成立，能找到，命題為真，否則為假. [跟蹤訓練] 2．判斷下列命題中的真假： (1) ?x∈R,2x－1>0 ；(2)?x∈N*，(x－1)2>0； (3)

8、?x0∈R，lg x0<1 ；(4)?x0∈R，tan x0＝2. 【解】　(1)命題“?x∈R,2x－1>0”是全稱命題，易知2x－1>0恒成立，故是真命題； (2)命題“?x∈N*，(x－1)2>0”是全稱命題，當x＝1時，(x－1)2＝0，故是假命題； (3)命題“?x0∈R，lg x0<1”是存在性命題，當x＝1時，lg x＝0，故是真命題； (4)命題“?x0∈R，tan x0＝2”是存在性命題，依據(jù)正切函數(shù)定義，可知是真命題. 含有一個量詞的命題的否定 　寫出下列命題的否定，并判斷真假： (1)p：?x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形；

9、(3)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一個實數(shù)x0，使x＋1＝0. 【導學號：95902038】 [思路探究]　首先弄清楚所給命題是全稱命題還是存在性命題，然后針對量詞和結(jié)論兩個方面進行否定． 【自主解答】　(1)﹁p：?x0∈R，x－x0＋ <0，假命題． ∵?x∈R，x2－x＋ ＝≥0恒成立，∴﹁p是假命題． (2)﹁q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題． (3)﹁r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題． ∵?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立， ∴﹁r是真命題． (4)﹁s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題． ∵x＝－1

10、時，x3＋1＝0，∴﹁s是假命題． [規(guī)律方法]　 1．寫一個命題的否定的步驟：首先判定該命題是“全稱命題”還是“存在性命題”，并確定相應的量詞，其次把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞同時否定結(jié)論． 2．對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定． [跟蹤訓練] 3．寫出下列命題的否定： (1)p：一切分數(shù)都是有理數(shù)； (2)q：有些三角形是銳角三角形； (3)r：?x0∈R，x＋x0＝x0＋2; (4)s：?x∈R,2x＋4≥0. 【解】　(1)﹁p：有些分數(shù)不是有理數(shù)； (2)﹁q：所有的三角形

11、都不是銳角三角形； (3)﹁r：?x∈R，x2＋x≠x＋2； (4)﹁s：?x0∈R,2x0＋4＜0. 全稱命題與存在性命題的綜合應用 [探究問題] 1．(1)“?x∈R ，a＝x2”的含義是什么？ (2)“?x∈[1,2] ，a＝x2”的含義是什么？ 若上述兩個命題是真命題，試分別求出a的取值范圍． 【提示】　(1)“?x∈R ，a＝x2”的含義是方程x2－a＝0有實數(shù)根，所以其判別式Δ＝4a≥0，解得a≥0； (2)“?x∈[1,2]，a＝x2”的含義是方程x2－a＝0在[1,2]內(nèi)有實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝x2，x∈[1,2]和函數(shù)y＝a的圖象有交點，因為x∈[1,

12、2]，所以x2∈[1,4]，所以a的取值范圍是1≤a≤4. 2．(1)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是什么？ (2)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是什么？若上述兩個命題是真命題，試分別求出a的取值范圍． 【提示】　(1)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是對于所有的，一切在[1,2]內(nèi)的x，不等式a＜x2都恒成立，所以a要小于x2的最小值．因為x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a＜1； (2)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是在[1,2]內(nèi)至少有一個x ，使不等式a＜x2成立，此時只要a不大于x2的最大值即可．因為x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a

13、≤4. 　(1)若命題“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________． (2)已知函數(shù)f(x)＝4|a|x－2a＋1，若命題：“?x0∈(0,1)使f(x0)＝0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________. 【導學號：95902039】 [思路探究]　(1)由于此全稱命題是真命題，所以可以推出a的值，求出在x∈[－1，＋∞)時，f(x)min≥a，利用一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系解題． (2)由于f(x)是單調(diào)函數(shù)，在(0,1)上存在零點，再由4|a|＞0應有解不等式組求出a范圍． 【自主解答】　(1)方法一：由

14、對任意x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可轉(zhuǎn)化為對任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立，即對任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝ 由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1] 方法二：由x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a所以全稱命題轉(zhuǎn)化為對任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立， 所以Δ≤0或 即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以a∈[－3,1]． (2)由：“?x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命題， 且由4|a|＞0得即解得a∈.

15、【答案】　(1)[－3,1]　(2) [規(guī)律方法]　應用全稱命題與存在性命題求參數(shù)范圍的常見題型 1．全稱命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱命題為真時，意味著命題對應的集合中的每一個元素都具有某種性質(zhì)，所以可以代入，也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學知識來解決． 2．存在性命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表達．解答這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后從肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若導致矛盾，則否定了假設(shè)． [跟蹤訓練] 4．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，則實數(shù)a的取值范圍是______

16、__. 【導學號：95902040】 【解析】　當a≤0時，顯然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0； 當a>0時，必需Δ＝4－4a2>0，解得－1

17、 2．下列全稱命題：①實數(shù)都有倒數(shù)；②自然數(shù)都是正整數(shù)；③小數(shù)都是有理數(shù)；④無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)． 其中真命題的是________． 【解析】　由于0沒有倒數(shù)，故①錯誤；由于0不是正整數(shù)，故②錯誤；由于無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故③錯誤，④正確． 【答案】?、? 3．已知命題p：?x∈R，cos x≤1，則﹁p是________． 【解析】　p為全稱命題，﹁p應為存在性命題． 【答案】　?x0∈R，cos x0＞1 4．若命題“?x≥1，x2≥a”的否定為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為__________. 【導學號：95902042】 【解析】　命題“?x≥1，x2≥a”的否定為“?x≥1，x2＜a”為真命題，所以a∈(1，＋∞)． 【答案】　(1，＋∞) 5．將下列命題用量詞符號“?”或“?”表示． (1)整數(shù)中1最??； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一個負根； (3)對于某些實數(shù)x，有2x＋1>0； (4)若l⊥α，則直線l垂直于平面α內(nèi)任一直線． 【解】　(1)?x∈Z，x≥1. (2)?x0<0，ax＋2x0＋1＝0(a<1)． (3)?x0∈R,2x0＋1>0. (4)若l⊥α，則?a?α，l⊥a. 7