（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.2 第2課時(shí) 直線與平面平行學(xué)案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.2 第2課時(shí) 直線與平面平行學(xué)案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握直線與平面的三種位置關(guān)系，會(huì)判斷直線與平面的位置關(guān)系.2.學(xué)會(huì)用圖形語言、符號(hào)語言表示三種位置關(guān)系.3.掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用兩個(gè)定理解決空間中的平行關(guān)系問題． 知識(shí)點(diǎn)一　直線與平面的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系 定義 圖形語言 符號(hào)語言 直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) a?α 直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) a∩α＝A 直線與平面平行 沒有公共點(diǎn) a∥α 知識(shí)點(diǎn)二　直線與

2、平面平行的判定 思考1　如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi)，把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，AB的對(duì)邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系？ 答案　平行． 思考2　如圖，平面α外的直線a平行于平面α內(nèi)的直線b.這兩條直線共面嗎？直線a與平面α相交嗎？ 答案　由于直線a∥b，所以兩條直線共面，直線a與平面α不相交． 梳理　直線與平面平行的判定定理 文字語言 符號(hào)表示 圖形表示 如果不在一個(gè)平面內(nèi)一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行 ?l∥α 知識(shí)點(diǎn)三　直線與平面平行的性質(zhì) 思考1　如圖，直線l∥平面α，直線a?平面α，直

3、線l與直線a一定平行嗎？為什么？ 答案　不一定，因?yàn)檫€可能是異面直線． 思考2　如圖，直線l∥平面α，直線l?平面β，平面α∩平面β＝直線m，滿足以上條件的平面β有多少個(gè)？直線l，m有什么位置關(guān)系？ 答案　無數(shù)個(gè)，l∥m. 梳理　直線與平面平行的性質(zhì)定理 文字語言 符號(hào)表示 圖形表示 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行 ?l∥m 1．若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥平面α.(　×　) 2．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行．(　×　) 3．兩條平行線中的一條直線

4、與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行．(　×　) 類型一　直線與平面平行的判定 例1　已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ(如圖)．求證：PQ∥平面CBE. 證明　方法一　作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖， 則PM∥QN，＝，＝. ∵EA＝BD，AP＝DQ， ∴EP＝BQ. ∴＝， 又AB＝CD，∴PM＝QN， ∴四邊形PMNQ是平行四邊形， ∴PQ∥MN. 又PQ?平面CBE， MN?平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 方法二　如圖所示

5、，連接AQ并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于K，連接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ， ∴＝， 又AD∥BK， ∴＝，∴＝， ∴PQ∥EK， 又PQ?平面BCE，EK?平面BCE，∴PQ∥平面BCE. 反思與感悟　證明直線與平面平行的兩種方法 (1)定義法：證明直線與平面沒有公共點(diǎn)，一般直接證明較為困難，往往借助于反證法來證明． (2)定理法：平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G. 證明　連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中

6、點(diǎn)知，EF∥BC1. 又AB綊A1B1綊D1C1， 所以四邊形ABC1D1是平行四邊形， 所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1. 又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G， 所以EF∥平面AD1G. 類型二　線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用 例2　如圖，用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形． 證明　因?yàn)锳B∥平面MNPQ， 平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC， 所以由線面平行的性質(zhì)定理知，AB∥MN. 同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四邊形． 引申探究

7、 1．若本例條件不變，求證：＝. 證明　由例1知：PQ∥AB，∴＝. 又QM∥DC，∴＝， ∴＝. 2．若本例中添加條件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四邊形MNPQ的面積． 解　由例1知，四邊形MNPQ是平行四邊形， ∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四邊形MNPQ是矩形． 又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4， ∴四邊形MNPQ的面積為5×4＝20. 反思與感悟　(1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟 (2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，正

8、方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段FE的長(zhǎng)度等于________． 答案　 解析　∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中點(diǎn)， ∴EF＝AC＝×2＝. 類型三　線面平行的綜合應(yīng)用 例3　如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)求證：l∥BC； (2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論． (1)證明　因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BC∥平

9、面PAD. 又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，且BC?平面PBC，所以BC∥l. (2)解　平行．證明如下： 如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE， 可以證得NE∥AM且NE＝AM， 所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MN∥AE. 又AE?平面PAD，MN?平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 反思與感悟　判定定理與性質(zhì)定理常常交替使用，即先通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行，復(fù)雜的題目還可以繼續(xù)推下去，我們可稱它為平行鏈，如下： 線線平行線面平行線線平行． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，

10、在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH. 求證：GH∥平面PAD. 證明　如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是AC的中點(diǎn)， 又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥MO， 而AP?平面BDM，OM?平面BDM， ∴PA∥平面BMD， 又∵PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH. 又PA?平面PAD，GH?平面PAD， ∴GH∥平面PAD. 1．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有(　　)

11、 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案　D 解析　由直線與平面平行的判定定理知．EF與平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故與EF平行的平面有4個(gè)． 2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是(　　) A．平行 B．平行或異面 C．平行或相交 D．異面或相交 答案　B 解析　∵?CD∥α， ∴直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是平行或異面． 3．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則A1C1與平面ACE的位置關(guān)系為________． 考點(diǎn)　直線與

12、平面平行的判定 題點(diǎn)　直線與平面平行的判定 答案　平行 解析　∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACE，AC?平面ACE，∴A1C1∥平面ACE. 4.如圖所示，直線a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α兩側(cè)，點(diǎn)B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，則EF＝______. 答案　 解析　由于點(diǎn)A不在直線a上，則直線a和點(diǎn)A確定一個(gè)平面β，所以α∩β＝EF. 因?yàn)閍∥平面α，a?平面β，所以EF∥a. 所以＝. 所以EF＝＝＝. 5.如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)． 求證：AF∥平面PCE

13、. 證明　如圖，取PC的中點(diǎn)M，連接ME，MF，則FM∥CD且FM＝CD. 又∵AE∥CD且AE＝CD， ∴FM綊AE，即四邊形AFME是平行四邊形， ∴AF∥ME. 又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE， ∴AF∥平面PCE. 1．求證兩直線平行有兩種常用的方法：一是應(yīng)用基本性質(zhì)4，證明時(shí)要充分應(yīng)用好平面幾何知識(shí)，如平行線分線段成比例定理、三角形的中位線定理等．二是證明在同一平面內(nèi)，這兩條直線無公共點(diǎn)． 2．求證角相等也有兩種常用的方法：一是應(yīng)用等角定理，在證明的過程中常用到基本性質(zhì)4，注意兩角對(duì)應(yīng)邊方向的討論．二是應(yīng)用三角形全等或相似． 3．利用直線與平面平

14、行的判定定理來證明線面平行，關(guān)鍵是尋找面內(nèi)與已知直線平行的直線，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行公理等． 4．利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟： (1)確定(或?qū)ふ?一條直線平行于一個(gè)平面． (2)確定(或?qū)ふ?過這條直線且與這個(gè)平面相交的平面． (3)確定交線，由性質(zhì)定理得出結(jié)論. 一、選擇題 1．若直線a，b是異面直線，a?β，則b與平面β的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．b?β D．平行或相交 答案　D 解析　∵a，b異面，且a?β，∴b?β，∴b與β平行或相交． 2.如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G，H分別為SB，BD上的點(diǎn)，若G

15、H∥平面SCD，則(　　) A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 答案　B 解析　因?yàn)镚H∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，顯然GH與SA，SC均不平行，故選B. 3.P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出五個(gè)結(jié)論： ①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC. 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由題意知，OM∥PD，則OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA. 4

16、．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于l的直線(　　) A．只有一條，不在平面α內(nèi) B．只有一條，在平面α內(nèi) C．有兩條，不一定都在平面α內(nèi) D．有無數(shù)條，不一定都在平面α內(nèi) 答案　B 解析　如圖所示，∵l∥平面α，P∈α， ∴直線l與點(diǎn)P確定一個(gè)平面β，α∩β＝m， ∴P∈m，∴l(xiāng)∥m且m是唯一的． 5．一條直線l上有相異三個(gè)點(diǎn)A、B、C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α 答案　D 解析　l∥α?xí)r，直線l上任意點(diǎn)到α的距離都相等．l?α?xí)r，直線l上所有的點(diǎn)到

17、α的距離都是0；l⊥α?xí)r，直線l上有兩個(gè)點(diǎn)到α的距離相等；l與α斜交時(shí)，也只能有兩點(diǎn)到α的距離相等． 6.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中點(diǎn)，D是AA1上的動(dòng)點(diǎn)，且＝m，若AE∥平面DB1C，則m的值為(　　) A. B．1 C. D．2 答案　B 解析　如圖，取CB1的中點(diǎn)G，連接GE，DG，當(dāng)m＝1時(shí)，AD＝GE＝BB1且AD∥GE，∴四邊形ADGE為平行四邊形，則AE∥DG，可得AE∥平面DB1C. 7．如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個(gè)截面，若＝＝，則與平面EFGH平行的直線有(　　) A．0條 B．1條 C．2條 D．

18、3條 考點(diǎn)　直線與平面平行的判定 題點(diǎn)　直線與平面平行的判定 答案　C 解析　∵＝， ∴EF∥AB. 又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理，由＝， 可證CD∥平面EFGH. ∴與平面EFGH平行的直線有2條． 二、填空題 8．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過點(diǎn)A，E，C的平面的位置關(guān)系是________． 答案　平行 解析　如圖，連接BD，與AC交于點(diǎn)O，連接OE. ∵OE為△BDD1的中位線，∴BD1∥OE. 又BD1?平面AEC，OE?平面AEC， ∴BD1∥平面AE

19、C. 9.如圖，四邊形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中點(diǎn)，BD與平面α交于點(diǎn)N，AB＝4，CD＝6，則MN＝________. 答案　5 解析　∵AB∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN. 又M是AC的中點(diǎn)，∴MN是梯形ABDC的中位線，故MN＝(AB＋CD)＝5. 10.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正方體，若過A，C，B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與AC的關(guān)系是________． 答案　平行 解析　∵AC∥A1C1，A1C1?平面A1B1C1D1，AC?平面A1B1C1D1， ∴

20、AC∥平面A1B1C1D1. ∵平面ACB1∩平面A1B1C1D1＝l， ∴AC∥l. 11．過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條． 答案　6 解析　如圖所示，與平面ABB1A1平行的直線有6條：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1. 三、解答題 12．如圖，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE，P是線段CD的中點(diǎn)，在直線AE上是否存在一點(diǎn)M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論． 解　如圖，存在點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)， PM∥平面

21、BCE. 取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN， 則MN綊AB綊PC， 所以四邊形MNCP為平行四邊形，所以PM∥CN. 因?yàn)镻M?平面BCE，CN?平面BCE， 所以PM∥平面BCE. 13．如圖，在三棱臺(tái)DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)． 求證：BD∥平面FGH. 證明　如圖，連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝O，連接OH. 在三棱臺(tái)DEF－ABC中，AB＝2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DF綊GC， 所以四邊形DFCG為平行四邊形， 則O為CD的中點(diǎn)， 又H為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥BD. 又OH?平面FGH，BD?平面FGH， 所以B

22、D∥平面FGH. 四、探究與拓展 14．下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案　B 解析　①如圖(ⅰ)，連接BC，則平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以①正確．②如圖(ⅱ)，連接底面正方形對(duì)角線，并取其中點(diǎn)O，連接ON，則ON∥AB，所以AB與平面PMN相交，不平行，所以②不滿足題意．③AB與平面PMN相交，不平行，所以③不滿足題意．④因?yàn)锳B∥NP，所以AB∥平面MNP.所以④正確． 故答案為①④. 15.如圖，在直四棱

23、柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD.AB＝4.BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點(diǎn)． 證明：直線EE1∥平面FCC1. 證明　如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， 取A1B1的中點(diǎn)F1，連接A1D，C1F1，CF1，F(xiàn)F1. ∵FF1∥BB1∥CC1， ∴F1F?平面FCC1， ∴平面FCC1即為平面C1CFF1. ∵AB＝4，CD＝2且AB∥CD，∴CD綊A1F1， ∴A1F1CD為平行四邊形， ∴CF1∥A1D. 又E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)， ∴EE1∥A1D，∴CF1∥EE1， 又EE1?平面FCC1，CF1?平面FCC1， ∴直線EE1∥平面FCC1.