《2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三講 柯西不等式與排序不等式
復(fù)習(xí)課
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.梳理本專題主要知識,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).2.進一步理解柯西不等式,熟練掌握柯西不等式的各種形式及應(yīng)用技巧.3.理解排序不等式及應(yīng)用.4.進一步體會柯西不等式與排序不等式所蘊含的數(shù)學(xué)思想及方法.
1.二維形式的柯西不等式
(1)二維形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
(2)柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β是兩個向量,則|α·β|≤|α||β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實數(shù)k,使α=kβ時,等號成立.
(3)二維形式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥.
2
2、.一般形式的柯西不等式
設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù),則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.
3.排序不等式
設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù),c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,則a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn.
類型一 利用柯西不等式證明不等式
例1 已知a,b,c,d為不全相等的正數(shù),求
3、證:+++>+++.
證明 由柯西不等式知,
·≥2,
于是+++≥+++. ①
等號成立?===
?===?a=b=c=d.
又已知a,b,c,d不全相等,則①中等號不成立.
即+++>+++.
反思與感悟 利用柯西不等式證題的技巧
(1)柯西不等式的一般形式為(a+a+…+a)·(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式簡潔、美觀、對稱性強,靈活地運用柯西不等式,可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解.
(2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù),并向著柯西不等式的形式進行轉(zhuǎn)化,
4、運用時要注意體會.
跟蹤訓(xùn)練1 若n是不小于2的正整數(shù),求證:<1-+-+…+-<.
證明 1-+-+…+-
=-2
=++…+,
所以求證式等價于<++…+<.
由柯西不等式,有
[(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2,
于是++…+>
==≥=,
又由柯西不等式,有++…+
<
<=.
綜上,<1-+-+…+-<.
類型二 利用排序不等式證明不等式
例2 設(shè)A,B,C表示△ABC的三個內(nèi)角弧度數(shù),a,b,c表示其對邊,求證:≥.
證明 不妨設(shè)0<a≤b≤c,于是A≤B≤C.
由排序不等式,得
aA+bB+cC=aA+bB+cC,
aA+bB+cC≥
5、bA+cB+aC,
aA+bB+cC≥cA+aB+bC.
相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)·(A+B+C)
=π(a+b+c),得≥.
引申探究
若本例條件不變,求證:<.
證明 不妨設(shè)0<a≤b≤c,于是A≤B≤C.
由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,
有0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)
=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)
=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)
=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC).
得<.
反思與感悟 利用排序不等式證明不等式的策略
(1)在利用排序不等式
6、證明不等式時,首先考慮構(gòu)造出兩個合適的有序數(shù)組,并能根據(jù)需要進行恰當(dāng)?shù)亟M合.這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點進行合理選擇.
(2)根據(jù)排序不等式的特點,與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題,利用排序不等式解決往往很簡捷.
跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:++≥a10+b10+c10.
證明 由a,b,c的對稱性,不妨設(shè)a≥b≥c,
于是a12≥b12≥c12,≥≥.
由排序不等式,得
++≥++=++. ①
又因為a11≥b11≥c11,≤≤,
再次由排序不等式,得
++≤++. ②
由①②得++≥a10+b10+c10.
7、
類型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值
例3 (1)求實數(shù)x,y的值使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2達到最小值.
(1)解 由柯西不等式,得
(12+22+12)×[(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2]
≥[1×(y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)]2=1,
即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥,
當(dāng)且僅當(dāng)==,
即x=,y=時,上式取等號.故x=,y=.
(2)設(shè)a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整數(shù),求M=a1++++的最小值.
解 設(shè)b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4
8、,a5的一個排列,且b1<b2<b3<b4<b5.
因此b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5.
又1≥≥≥≥.
由排序不等式,得
a1++++≥b1++++
≥1×1+2×+3×+4×+5×
=1++++=.即M的最小值為.
反思與感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧
(1)有關(guān)不等式問題往往要涉及對式子或量的范圍的限定,其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理.在這類題目中,利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易.
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時,要關(guān)注等號成立的條件,不能忽略.
跟蹤訓(xùn)練3 已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不
9、等式++≤λ恒成立,求λ的取值范圍.
解 ++≤++
=
≤=.
故λ的取值范圍是.
1.函數(shù)y=2+的最大值為( )
A. B.-
C.-3 D.3
答案 D
解析 y2=(·+1·)2≤[()2+12][()2+()2]
=3×3=9.
∴y≤3,y的最大值為3.
2.已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,則a的最大值是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 ∵(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,
即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.
∴5-a2≥(3-a)2.
解得1≤a≤2
10、.
驗證:當(dāng)a=2時,等號成立.
3.已知2x+3y+4z=10,則x2+y2+z2取到最小值時的x,y,z的值為( )
A.,, B.,,
C.1,, D.1,,
答案 B
解析 由柯西不等式得
(22+32+42)(x2+y2+z2)≥(2x+3y+4z)2,
即x2+y2+z2≥.
當(dāng)且僅當(dāng)==時,等號成立,
所以聯(lián)立
可得x=,y=,z=.
4.設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:++≥a+b+c.
證明 不妨設(shè)a≥b≥c>0,
則≤≤,ab≥ac≥bc,
∵++≥++=a+b+c,
∴++≥a+b+c.
1.對于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義
11、,從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式,柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式.
2.參數(shù)配方法是由舊知識得到的新方法,注意體會此方法的數(shù)學(xué)思想.
3.對于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義:兩實數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減)時所得兩兩乘積之和最大,反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小,注意等號成立條件是其中一序列為常數(shù)序列.
4.?dāng)?shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種新形式,它為學(xué)生提供了自己學(xué)習(xí)的空間,有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用,體會數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系.
一、選擇題
1.已知a,b是給定的正數(shù),則+的最小值為( )
A.2a2+b2 B.
12、2ab
C.(2a+b)2 D.4ab
答案 C
解析?。?sin2α+cos2α)≥2=(2a+b)2,
當(dāng)且僅當(dāng)sin α·=cosα·時,等號成立.
故+的最小值為(2a+b)2.
2.已知a,b,c為正數(shù)且a+b+c=3,則++的最小值為( )
A.4B.4C.6D.6
答案 C
解析 ∵a,b,c為正數(shù),
∴=≥a+b.
同理≥b+c,≥c+a,
相加得(++)
≥2(b+c+a)=6,
即++≥6,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時取等號.
3.已知(x-1)2+(y-2)2=4,則3x+4y的最大值為( )
A.21 B.11
C.18 D.2
13、8
答案 A
解析 根據(jù)柯西不等式,得
[(x-1)2+(y-2)2][32+42]≥[3(x-1)+4(y-2)]2
=(3x+4y-11)2,
∴(3x+4y-11)2≤100.
可得3x+4y≤21,當(dāng)且僅當(dāng)==時取等號.
4.已知x,y,z是非負實數(shù),若9x2+12y2+5z2=9,則函數(shù)u=3x+6y+5z的最大值是( )
A.9B.10C.14D.15
答案 A
解析 ∵(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2]=9(9x2+12y2+5z2)=81,當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y=z時,等號成立.
故u=3x+6y+5z的最
14、大值為9.
5.已知x,y,z∈R+,且++=1,則x++的最小值為( )
A.5B.6C.8D.9
答案 D
解析 由柯西不等式知,
≥(1+1+1)2=9,
因為++=1,
所以x++≥9.
即x++的最小值為9.
6.設(shè)c1,c2,…,cn是a1,a2,…,an的某一排列(a1,a2,…,an均為正數(shù)),則++…+的最小值是( )
A.nB.C.D.2n
答案 A
解析 不妨設(shè)a1≥a2≥…≥an>0,
則≤≤…≤,
由排序不等式知,
++…+≥a1·+a2·+…+an·=n.
二、填空題
7.設(shè)a,b,c,d,m,n∈R+,P=+,Q=·,則P,Q
15、的大小關(guān)系為________.
答案 P≤Q
解析 由柯西不等式得P=+≤·=Q,當(dāng)且僅當(dāng)=時,等號成立,
∴P≤Q.
8.設(shè)x,y,z∈R,若x2+y2+z2=4,則x-2y+2z的最小值為________.
答案?。?
解析 由柯西不等式,得
(x2+y2+z2)[12+(-2)2+22]≥(x-2y+2z)2,
故(x-2y+2z)2≤4×9=36.
當(dāng)且僅當(dāng)===k,k=±時,上式取得等號,
當(dāng)k=-時,x-2y+2z取得最小值-6.
9.已知點P是邊長為2的等邊三角形內(nèi)一點,它到三邊的距離分別為x,y,z,則x,y,z所滿足的關(guān)系式為________,x2+y2
16、+z2的最小值是________.
答案 x+y+z=3 3
解析 利用三角形面積相等,得
×2(x+y+z)=×(2)2,
即x+y+z=3.
由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9,
得x2+y2+z2≥3,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時取等號.
10.若a,b,c∈R,設(shè)x=a3+b3+c3,y=a2b+b2c+c2a,則x,y的大小關(guān)系為________.
答案 x≥y
解析 取兩組數(shù)a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小順序如何,a3+b3+c3都是順序和,a2b+b2c+c2a都是亂序和,a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.
17、三、解答題
11.(2018·江蘇)若x,y,z為實數(shù),且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.
解 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2.
因為x+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4,
當(dāng)且僅當(dāng)==時,不等式取等號,
此時x=,y=,z=,
所以x2+y2+z2的最小值為4.
12.已知a,b,c為正數(shù),求證:≥abc.
證明 考慮到正數(shù)a,b,c的對稱性,不妨設(shè)a≥b≥c>0,
則≤≤,bc≤ca≤ab,
由排序不等式知,順序和≥亂序和,
∴++≥++,
即≥a+b+c.
∵a,b,c為正數(shù),
∴兩邊同乘
18、以,
得≥abc.
13.設(shè)a,b,c,d∈R+,令S=+++,求證:1<S<2.
證明 首先證明<(a>b>0,m>0).
因為-=
=<0,
所以S=+++
<+++==2,
所以S<2.
又S>+++
==1,
所以1<S<2.
四、探究與拓展
14.已知5a2+3b2=,則a2+2ab+b2的最大值為________.
答案 1
解析 ∵[(a)2+(b)2]
≥2=(a+b)2=a2+2ab+b2,
當(dāng)且僅當(dāng)5a=3b,即a=,b=時取等號.
∴×(5a2+3b2)≥a2+2ab+b2.
∴a2+2ab+b2≤×(5a2+3b2)=×=1.
∴
19、a2+2ab+b2的最大值為1.
15.已知a,b,c均為實數(shù),且a+b+c+2-2m=0,a2+b2+c2+m-1=0.
(1)求證:a2+b2+c2≥;
(2)求實數(shù)m的取值范圍.
(1)證明 由柯西不等式得·(12+22+32)≥(a+b+c)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立,
即×14≥(a+b+c)2,
∴a2+b2+c2≥.
(2)解 由已知得a+b+c=2m-2,
a2+b2+c2=1-m,
∴由(1)可知,14(1-m)≥(2m-2)2,
即2m2+3m-5≤0,解得-≤m≤1.
又∵a2+b2+c2=1-m≥0,∴m≤1,
∴-≤m≤1.
即實數(shù)m的取值范圍為.
12