2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐標(biāo)系學(xué)案 理（含解析）新人教A版選修4-4

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1、第一節(jié)　坐　標(biāo)　系 2019考綱考題考情 1．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)，稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換。 2．極坐標(biāo)的概念 (1)極坐標(biāo)系： 如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫做極軸，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱(chēng)為極坐標(biāo)系。 (2)極坐標(biāo)： 對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)，θ表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)

2、M的極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)。 當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值。 (3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系： 平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無(wú)數(shù)對(duì)，當(dāng)k∈Z時(shí)，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示同一個(gè)點(diǎn)，而用平面直角坐標(biāo)表示點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的。 如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對(duì)應(yīng)了。 3．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 (1)互化背景：把平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，如圖所示。 (2)互

3、化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表： 點(diǎn)M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化 公式 ρ2＝x2＋y2 tanθ＝(x≠0) 在一般情況下，由tanθ確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角。 4．常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn)， 半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圓心為(r,0)， 半徑為r的圓 ρ＝2rcosθ 圓心為， 半徑為r的圓 ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π) 過(guò)極點(diǎn)，傾斜角 為

4、α的直線 ①θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0) 過(guò)點(diǎn)(a,0)，與 極軸垂直的直線 ρcosθ＝a 過(guò)點(diǎn)，與 極軸平行的直線 ρsinθ＝a(0＜θ＜π) 過(guò)點(diǎn)(a,0)， 傾斜角為α 的直線 ρsin(α－θ)＝asinα 1．明辨兩個(gè)坐標(biāo) 伸縮變換關(guān)系式點(diǎn)(x，y)在原曲線上，點(diǎn)(x′，y′)在變換后的曲線上，因此點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足原來(lái)的曲線方程，點(diǎn)(x′，y′)的坐標(biāo)滿足變換后的曲線方程。 2．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化 (1)公式代入：直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程公式x

5、＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化簡(jiǎn)。 (2)整體代換：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，變形構(gòu)造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換。 一、走進(jìn)教材 1．(選修4－4P15T4改編)在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是(　　) A. B. C．(1,0) D．(1，π) 解析　由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為。故選B。 解析：由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圓心的極坐標(biāo)為。故選B。 答案　B 2．(選修4

6、－4P15T3改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 解析　因?yàn)閥＝1－x(0≤x≤1)，所以ρsinθ＝ 1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，所以ρ＝。故選A。 答案　A 二、走出誤區(qū) 微提醒：①極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化致誤；②求極坐標(biāo)方程不會(huì)結(jié)合圖形求解致誤。 3．將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(　　) A．(0,2) B．(0，－2) C．(2,0)

7、 D．(－2,0) 解析　由可知直角坐標(biāo)為(0，－2)。故選B。 答案　B 4．在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且與極軸平行的直線方程是(　　) A．ρ＝0 B．θ＝ C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2 解析　極坐標(biāo)為的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,2)，過(guò)該點(diǎn)且與極軸平行的直線的方程為y＝2，其極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2。故選D。 答案　D 5．在極坐標(biāo)系中，圓心在(，π)且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_______。 解析　如圖，O為極點(diǎn)，OB為直徑，A(ρ，θ)，則∠ABO＝θ－，OB＝2＝，化簡(jiǎn)得ρ＝－2cosθ。 答案　ρ＝－2cosθ 　考點(diǎn)一　伸縮變換　　　　　　　　

8、　　　　　 　【例1】　(1)曲線C：x2＋y2＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線C′，則曲線C′的方程為_(kāi)_______。 (2)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則曲線C的方程為_(kāi)_______。 解析　(1)因?yàn)樗源肭€C的方程得C′：＋y′2＝1。 (2)根據(jù)題意，曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1，所以曲線C的方程為4x2＋9y2＝1。 答案　(1)＋y′2＝1　(2)4x2＋9y2＝1 1．平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，整

9、理得y′＝h(x′)為所求。 2．解答該類(lèi)問(wèn)題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點(diǎn)P(x，y)與變換后的點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解。 【變式訓(xùn)練】　(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)變換后所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)_______。 (2)雙曲線C：x2－＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換φ：后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______。 解析　(1)設(shè)A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：得到由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，所以A′的坐標(biāo)為(1，－1)。 (2)設(shè)曲線C′上任意一點(diǎn)P′(x′，y

10、′)，將代入x2－＝1，得－＝1，化簡(jiǎn)得－＝1，即為曲線C′的方程，知C′仍是雙曲線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(－5,0)，(5,0)。 答案　(1)(1，－1)　(2)(－5,0)，(5,0) 考點(diǎn)二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 【例2】　(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0。 (1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程。 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4。 (2)

11、由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓。由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條射線。記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2。由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0。 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝－時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝

12、。 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k＝時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)。 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2。 1．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化依據(jù)是x＝ρcosθ，y＝ρsinθ。 2．互化時(shí)要注意前后的等價(jià)性。 【變式訓(xùn)練】　(1)(2018·海南二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin。求曲線C的直角坐標(biāo)方程。 (2)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：(α為參數(shù))經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線為C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。求C2的極坐標(biāo)方程。 解　(1)把ρ＝4sin展開(kāi)得ρ

13、＝2sinθ＋2cosθ， 兩邊同乘ρ得ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ　①。 將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)代入①即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y＝0。 (2)由題意得曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x′－1)2＋y′2＝1， 將x′＝ρcosθ，y′＝ρsinθ代入整理得ρ＝2cosθ， 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ。 考點(diǎn)三求曲線的極坐標(biāo)方程 【例3】　在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2，M是C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且滿足|OP|·|OM|＝4，記點(diǎn)P的軌跡為C2。

14、 (1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程； (2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos＝距離的最大值。 解　(1)設(shè)P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)， 由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝。 因?yàn)镸是C1上任意一點(diǎn)，所以ρ2sinθ＝2， 即sinθ＝2，ρ1＝2sinθ。 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ。 (2)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2－2y＝0， 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1， 則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為1， 由直線ρcos＝， 得：ρcosθcos－ρsinθsin＝，即x－y＝2， 圓心(0,1)到直線x－

15、y＝2的距離為 d＝＝， 所以曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos＝距離的最大值為1＋。 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程。 【變式訓(xùn)練】　(2019·廣州五校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，圓C是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓。 (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)求圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長(zhǎng)。 解　(1)設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)，M(ρ，θ)，如圖， 在Rt△OAM中，∠OMA＝， ∠AOM

16、＝2π－θ－，|OA|＝4。 因?yàn)閏os∠AOM＝， 所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM， 即ρ＝4cos＝4cos， 驗(yàn)證可知，極點(diǎn)O與A的極坐標(biāo)也滿足方程，故ρ＝4cos為所求。 (2)設(shè)l：θ＝－(ρ∈R)交圓C于點(diǎn)P，在Rt△OAP中，∠OPA＝，易得∠AOP＝， 所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2。 解：(1)圓C是將圓ρ＝4cosθ繞極點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的圓， 所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos。 (2)將θ＝－代入圓C的極坐標(biāo)方程 ρ＝4cos，得ρ＝2， 所以圓C被直線l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦長(zhǎng)為2。 考點(diǎn)四極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

17、 【例4】　(2018·山東淄博二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是x＝4。曲線C的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。 (1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)若射線θ＝α與曲線C交于點(diǎn)O，A，與直線l交于點(diǎn)B，求的取值范圍。 解　(1)由ρcosθ＝x，得直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4。 曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，消去參數(shù)φ得曲線C的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2， 即x2＋y2－2x－2y＝0， 將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ， 所以曲線C

18、的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ＋2sinθ。 (2)設(shè)A(ρ1，α)，B(ρ2，α)， 則ρ1＝2cosα＋2sinα，ρ2＝， 所以＝＝＝ ＝(sin2α＋cos2α)＋＝sin＋， 因?yàn)?<α<，所以<2α＋<， 所以

19、2的方程為y＝x，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。 ①求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程； ②若直線C2與曲線C1交于P，Q兩點(diǎn)，求|OP|·|OQ|的值。 解　(1)因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ， 所以曲線C是圓心為(2,0)，直徑為4的圓。 因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2， 則直線l過(guò)A(4,0)，傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)。 設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則∠AOB＝。 連接OB。因?yàn)镺A為直徑，從而∠OBA＝， 所以AB＝4cos＝2。 因此，直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2。 (2)①曲線C1的普通方程為(x－)2＋(y－2)

20、2＝4，即x2＋y2－2x－4y＋3＝0， 則曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0。 因?yàn)橹本€C2的方程為y＝x， 所以直線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)。 ②設(shè)P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)， 將θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，所以ρ1ρ2＝3， 所以|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3。 1．(配合例4使用)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)。 (1)求圓C1的極坐標(biāo)方程和直線C2的直角坐

21、標(biāo)方程； (2)設(shè)C1與C2的交點(diǎn)為P，Q，求△C1PQ的面積。 解　(1)直線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝0。 圓C1的普通方程為(x＋2)2＋(y－4)2＝4， 因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2＋4ρcosθ－8ρsinθ＋16＝0。 (2)將θ＝代入ρ2＋4ρcosθ－8ρsinθ＋16＝0， 得ρ2－6ρ＋16＝0， 解得ρ1＝4，ρ2＝2， 故|ρ1－ρ2|＝2，即|PQ|＝2。 由于圓C1的半徑為2，所以△C1PQ的面積為2。 2．(配合例4使用)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是y＝6，圓C的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以原點(diǎn)O

22、為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。 (1)分別求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程； (2)射線OM：θ＝α與圓C的交點(diǎn)為O，P兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)M，射線ON：θ＝α＋與圓C交于O，Q兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)N，求·的最大值。 解　(1)直線l的方程是y＝6，可得極坐標(biāo)方程：ρsinθ＝6，圓C的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))， 可得普通方程：x2＋(y－1)2＝1， 展開(kāi)為x2＋y2－2y＝0。 化為極坐標(biāo)方程：ρ2－2ρsinθ＝0，即ρ＝2sinθ。 (2)由題意可得：點(diǎn)P，M的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，。 所以|OP|＝2sinα，|OM|＝，可得＝。 同理可得＝＝。 所以·＝≤。 當(dāng)α＝時(shí)，取等號(hào)。 所以·的最大值為。 12