2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.2.1.1 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算學(xué)案（含解析）新人教版必修1

2.2.1　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(第一課時(shí)) 學(xué)習(xí)目標(biāo) ①理解對(duì)數(shù)的概念; ②能夠說(shuō)明對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系; ③掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化. 合作學(xué)習(xí) 一、設(shè)計(jì)問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境 問(wèn)題1:在新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)A版必修1中P57第二章2.1.2的例8中,我們能從關(guān)系y=13×1.01x中,算出任意一個(gè)年頭x的人口總數(shù).反之,如果問(wèn)“哪一年的人口達(dá)到18億,20億,30億,…”,該如何解決? 二、自主探索,嘗試解決 問(wèn)題2:在問(wèn)題1列出的式子中,x分別等于多少?這一問(wèn)題也就是: 若ax=N,已知a和N如何求指數(shù)x(其中,a>0,且a≠1) 為了解決這一問(wèn)題,古代的數(shù)字家創(chuàng)造了“對(duì)數(shù)”來(lái)表示x,即 對(duì)數(shù)的定義:     注意:①底數(shù)的限制:　　　　;  ②對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式;     另外,在以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的過(guò)程中我們還要經(jīng)常用到兩種特殊的對(duì)數(shù),即 1.常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù); log10N簡(jiǎn)記為　　　　　　　　　　.  2.自然對(duì)數(shù):以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù); logeN簡(jiǎn)記為　　　　　　　　　　.  三、信息交流,揭示規(guī)律 問(wèn)題3:由對(duì)數(shù)的定義知,對(duì)數(shù)由指數(shù)式轉(zhuǎn)化而來(lái),那么指數(shù)式ax=N與對(duì)數(shù)式x=logaN之間的關(guān)系是什么?怎樣應(yīng)用? 當(dāng)a>0,且a≠1時(shí), 即 指數(shù)式　　?　　　　　  冪底數(shù)　←a→　　　　  　指數(shù)←　x　→　　　  　冪　←　N　→　　　　  問(wèn)題4:我們要注意到,ax=N中的a>0且a≠1,因此,logaN=x也要求a>0且a≠1;還有l(wèi)ogaN=x中的真數(shù)N能取什么樣的數(shù)呢?這是為什么? 四、運(yùn)用規(guī)律,解決問(wèn)題 【例1】指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式: (1)41=4,61=6,7.81=7.8; (2)40=1,60=1,7.80=1. 問(wèn)題5:由例1中的log44=1,log66=1,log7.87.8=1與log41=0,log61=0,log7.81=0,我們大膽猜測(cè),可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?怎么證明? 結(jié)論:loga1=　　　　,logaa=　　　　(其中,a>0,且a≠1).  證明: 【例2】求下列各式的值. (1)2log23=　　　　;3log34=　　　　;0.5log0.5100=　　　　.  (2)log223=　　　　;log334=　　　　;log0.50.5100=　　　　.  問(wèn)題6:由例2中的兩個(gè)小題,我們大膽猜測(cè),可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?怎樣證明? 結(jié)論:對(duì)數(shù)恒等式,alogaN=　　　　,logaan=　　　　.  證明: 【例3】將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式,對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式: (1)54=625;(2)2-6=164;(3)(13)m=5.73; (4)log39=2;(5)log5125=3;(6)log1216=-4. 五、變式演練,深化提高 【例4】求下列各式中x的值: (1)log64x=-23; (2)logx8=6; (3)lg100=x; (4)-lne2=x. 六、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉 1.對(duì)數(shù)定義(關(guān)鍵); 2.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化(重點(diǎn)); 3.求值(重點(diǎn)). 七、作業(yè)精選,鞏固提高 1.課本P68練習(xí)題第1,2,3,4題; 2.課外閱讀:P68對(duì)數(shù)的發(fā)明. 參考答案 一、設(shè)計(jì)問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境 1813=1.01x,2013=1.01x,3013=1.01x 二、自主探索,嘗試解決 問(wèn)題2:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù). 注意:①a>0,且a≠1; ②(如圖); 1.lgN　2.lnN 三、信息交流,揭示規(guī)律 問(wèn)題3: 指數(shù)式　　?　　對(duì)數(shù)式 冪底數(shù)　←a→　對(duì)數(shù)底數(shù) 　指數(shù)←　x　→對(duì)數(shù) 　冪　←　N　→　真數(shù) 問(wèn)題4:因?yàn)閍>0且a≠1,所以ax=N>0.因此,logaN=x中真數(shù)N也要求大于零,即負(fù)數(shù)與零一定沒(méi)有對(duì)數(shù). 四、運(yùn)用規(guī)律,解決問(wèn)題 【例1】解:(1)log44=1,log66=1,log7.87.8=1; (2)log41=0,log61=0,log7.81=0. 問(wèn)題5:0;1. 證明:把a(bǔ)1=a,a0=1(其中,a>0,且a≠1)化為對(duì)數(shù)式,即得到上述結(jié)論. 【例2】(1)3;4;100.　(2)3;4;100. 問(wèn)題6:N;n. 證明:(1)由ax=N與x=logaN得alogaN=N; (2)由an=an得logaan=n. 【例3】解:(1)log5625=4; (2)log2164=-6; (3)log135.37=m; (4)32=9; (5)53=125; (6)(12)-4=16. 五、變式演練,深化提高 【例4】解:(1)因?yàn)閘og64x=-23,則x=64-23=(43)-23=4-2=116; (2)因?yàn)閘ogx8=6,所以x6=8,x=816=(23)16=212=2; (3)因?yàn)閘g100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2; (4)因?yàn)?lne2=x,所以lne2=-x,e2=e-x,于是x=-2. 4