2019-2020學年高中數學 第二章 基本初等函數（Ⅰ）2.2.1.1 對數與對數運算學案（含解析）新人教版必修1

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1、2.2.1　對數與對數運算(第一課時) 學習目標 ①理解對數的概念; ②能夠說明對數與指數的關系; ③掌握對數式與指數式的相互轉化. 合作學習 一、設計問題,創(chuàng)設情境 問題1:在新課標高中數學A版必修1中P57第二章2.1.2的例8中,我們能從關系y=13×1.01x中,算出任意一個年頭x的人口總數.反之,如果問“哪一年的人口達到18億,20億,30億,…”,該如何解決? 二、自主探索,嘗試解決 問題2:在問題1列出的式子中,x分別等于多少?這一問題也就是: 若ax=N,已知a和N如何求指數x(其中,a>0,且a≠1) 為了解決這一問題,古代的數字家創(chuàng)造了“對數”來表

2、示x,即 對數的定義: ? ? 注意:①底數的限制:　　　　;? ②對數的書寫格式; ? ? 另外,在以后學習對數的過程中我們還要經常用到兩種特殊的對數,即 1.常用對數:以10為底的對數; log10N簡記為　　　　　　　　　　.? 2.自然對數:以無理數e=2.71828…為底的對數; logeN簡記為　　　　　　　　　　.? 三、信息交流,揭示規(guī)律 問題3:由對數的定義知,對數由指數式轉化而來,那么指數式ax=N與對數式x=logaN之間的關系是什么?怎樣應用? 當a>0,且a≠1時, 即 指數式　　?　　　　　? 冪底數　←a→　　　　? 　指

3、數←　x　→　　　? 　冪　←　N　→　　　　? 問題4:我們要注意到,ax=N中的a>0且a≠1,因此,logaN=x也要求a>0且a≠1;還有l(wèi)ogaN=x中的真數N能取什么樣的數呢?這是為什么? 四、運用規(guī)律,解決問題 【例1】指數式化為對數式: (1)41=4,61=6,7.81=7.8; (2)40=1,60=1,7.80=1. 問題5:由例1中的log44=1,log66=1,log7.87.8=1與log41=0,log61=0,log7.81=0,我們大膽猜測,可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?怎么證明? 結論:loga1=　　　　,logaa=　　　　(其中,

4、a>0,且a≠1).? 證明: 【例2】求下列各式的值. (1)2log23=　　　　;3log34=　　　　;0.5log0.5100=　　　　.? (2)log223=　　　　;log334=　　　　;log0.50.5100=　　　　.? 問題6:由例2中的兩個小題,我們大膽猜測,可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?怎樣證明? 結論:對數恒等式,alogaN=　　　　,logaan=　　　　.? 證明: 【例3】將下列指數式化為對數式,對數式化為指數式: (1)54=625;(2)2-6=164;(3)(13)m=5.73; (4)log39=2;(5)log5125=

5、3;(6)log1216=-4. 五、變式演練,深化提高 【例4】求下列各式中x的值: (1)log64x=-23; (2)logx8=6; (3)lg100=x; (4)-lne2=x. 六、反思小結,觀點提煉 1.對數定義(關鍵); 2.指數式與對數式互化(重點); 3.求值(重點). 七、作業(yè)精選,鞏固提高 1.課本P68練習題第1,2,3,4題; 2.課外閱讀:P68對數的發(fā)明. 參考答案 一、設計問題,創(chuàng)設情境 1813=1.01x,2013=1.01x,3013=1.01x 二、自主探索,嘗試解決 問題2:一般地,如果ax=N

6、(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數. 注意:①a>0,且a≠1; ②(如圖); 1.lgN　2.lnN 三、信息交流,揭示規(guī)律 問題3: 指數式　　?　　對數式 冪底數　←a→　對數底數 　指數←　x　→對數 　冪　←　N　→　真數 問題4:因為a>0且a≠1,所以ax=N>0.因此,logaN=x中真數N也要求大于零,即負數與零一定沒有對數. 四、運用規(guī)律,解決問題 【例1】解:(1)log44=1,log66=1,log7.87.8=1; (2)log41=0,log61=0,log7.81

7、=0. 問題5:0;1. 證明:把a1=a,a0=1(其中,a>0,且a≠1)化為對數式,即得到上述結論. 【例2】(1)3;4;100.　(2)3;4;100. 問題6:N;n. 證明:(1)由ax=N與x=logaN得alogaN=N; (2)由an=an得logaan=n. 【例3】解:(1)log5625=4; (2)log2164=-6; (3)log135.37=m; (4)32=9; (5)53=125; (6)(12)-4=16. 五、變式演練,深化提高 【例4】解:(1)因為log64x=-23,則x=64-23=(43)-23=4-2=116; (2)因為logx8=6,所以x6=8,x=816=(23)16=212=2; (3)因為lg100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2; (4)因為-lne2=x,所以lne2=-x,e2=e-x,于是x=-2. 4