（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積學(xué)案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積學(xué)案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解祖暅原理的內(nèi)容.2.了解柱、錐、臺(tái)體的體積公式的推導(dǎo).3.掌握柱、錐、臺(tái)和球的體積公式． 知識(shí)點(diǎn)一　祖暅原理 思考　取一摞紙張堆放在桌面上(如圖所示) ，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？從這個(gè)事實(shí)中你得到什么啟發(fā)？ 答案　體積沒有發(fā)生變化，從這個(gè)事實(shí)中能夠猜測(cè)出兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等． 梳理　祖暅原理的含義及應(yīng)用 (1)內(nèi)容：冪勢(shì)既同，則積不容異． (2)含義：夾

2、在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等． (3)應(yīng)用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等． 知識(shí)點(diǎn)二　柱、錐、臺(tái)、球的體積公式 名稱 體積(V) 柱體 棱柱 V＝Sh 圓柱 V＝πr2h 錐體 棱錐 V＝Sh 圓錐 V＝πr2h 臺(tái)體 棱臺(tái) V＝h(S＋ ＋S′) 圓臺(tái) V＝πh(r2＋rr′＋r′2) 球 V＝πR3 其中S′、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面的半徑，R表示球的半徑． 1．錐體的體積等于底面面積與高

3、之積．(　×　) 2．臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．(　√　) 3．兩個(gè)球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4.(　×　) 類型一　柱體、錐體、臺(tái)體的體積 例1　(1)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為____________． 答案　 解析　三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝. (2)如圖所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積

4、之比． 解　設(shè)AB＝a，AD＝b，AA′＝c， ∴VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc， ∴剩余部分的體積為VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc， ∴棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5. 反思與感悟　(1)常見的求幾何體體積的方法 ①公式法：直接代入公式求解． ②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可． ③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積． (2)求幾何體體積時(shí)需注意的問題 柱、錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸

5、截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練1　已知一個(gè)三棱臺(tái)上、下底面分別是邊長為20 cm和30 cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積． 解　如圖，在三棱臺(tái)ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分別為O′，O，BC，B′C′的中點(diǎn)分別為D，D′，則DD′是梯形BCC′B′的高． 所以S側(cè)＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. 又因?yàn)锳′B′＝20 cm，AB＝30 cm，則上、下底面面積之和為 S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S側(cè)＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝(

6、cm)，O′D′＝×20＝(cm)， OD＝×30＝5(cm)， 所以棱臺(tái)的高h(yuǎn)＝O′O＝ ＝ ＝4(cm)． 由棱臺(tái)的體積公式，可得棱臺(tái)的體積為 V＝(S上＋S下＋)＝×＝1 900(cm3)． 類型二　球的體積 例2　(1)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案　A 解析　作出該球軸的截面如圖所示，依題意BE＝2，AE＝CE＝4，設(shè)DE＝x，故AD＝2＋x，因?yàn)锳D2＝

7、AE2＋DE2，解得x＝3，故該球的半徑AD＝5，所以V＝πR3＝ (cm3)． (2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的體積為________． 答案　a3 解析　長方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，由長方體的體對(duì)角線為＝a， 得球的半徑為a，V＝π3＝a3. 反思與感悟　(1)求球的體積，關(guān)鍵是求球的半徑R. (2)球與其他幾何體組合的問題，往往需要作截面來解決，所作的截面盡可能過球心、切點(diǎn)、接點(diǎn)等． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)一平面截一球得到直徑為2 cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是2 cm，則該球的體積是(　　) A．12π cm3

8、B．36π cm3 C．64π cm3 D．108π cm3 答案　B 解析　設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示． 在Rt△OO1A中，O1A＝ cm， OO1＝2 cm， ∴球的半徑R＝OA＝＝3(cm)， ∴球的體積V＝×π×33＝36π(cm3)． (2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 答案　B 解析　由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，

9、易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半徑R滿足R2＝OA2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2. 類型三　幾何體體積的求法 命題角度1　等體積法 例3　如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1的體積為________． 答案　 解析　 ＝××1×1×1＝. 反思與感悟　(1)利用轉(zhuǎn)換底面以便于找到幾何體的高，從而求出幾何體的體積． (2)利用等體積法可求點(diǎn)到平面的距離． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求點(diǎn)A到平面A1BD的距離d. 解　在三棱錐A1－ABD中，AA

10、1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a， A1B＝BD＝A1D＝a， ∴×a2·a＝××a×·a·d， ∴d＝a. 命題角度2　割補(bǔ)法 例4　如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積． 解　如圖，連接EB，EC. 四棱錐E－ABCD的體積 V四棱錐E－ABCD＝×42×3＝16. ∵AB＝2EF，EF∥AB， ∴S△EAB＝2S△BEF， ∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝V三棱錐C－ABE＝V三棱錐E－ABC ＝×V四棱錐E－ABCD＝4.

11、∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20. 反思與感悟　當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，無法直接運(yùn)用體積公式求解，這時(shí)一般通過分割與補(bǔ)形，將原幾何體分割或補(bǔ)形成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積． 解　用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π. 1.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC

12、的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　V＝Sh＝××3＝. 2．若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積 題點(diǎn)　與球有關(guān)的體積、表面積問題 答案　A 解析　設(shè)兩球的半徑分別為R，r(R＞r)， 則由題意得 　　解得 ∴R－r＝1. 3．現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中．當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降(　　)

13、A．0.6 cm B．0.15 cm C．1.2 cm D．0.3 cm 答案　A 解析　設(shè)杯里的水下降h cm，由題意知π2h＝×20×π×32，解得h＝0.6 cm. 4．圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16π，則圓錐的體積是(　　) A. B. C．64π D．128π 答案　A 解析　設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r. 由題意知，l＝r，① S側(cè)＝πrl＝16π，② 由①②可得r＝4，l＝4， V圓錐＝πr2h＝r2＝π. 5．設(shè)正六棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為，那么它的體積為________． 答案　 解析　依題意得正六棱錐的高為＝2， 所

14、以V＝Sh＝×6××2＝. 1．計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．旋轉(zhuǎn)體的軸截面是用過旋轉(zhuǎn)軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體而得到的截面．例如，圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是過球心的平面截球所得的圓面． 2．在求不規(guī)則的幾何體的體積時(shí)，可利用分割幾何體或補(bǔ)全幾何體的方法轉(zhuǎn)化為柱、錐、臺(tái)、球的體積計(jì)算問題． 一、選擇題 1．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 答案

15、　B 解析　設(shè)圓柱母線長為l，底面半徑為r， 由題意得解得 ∴V圓柱＝πr2l＝2π. 2.如圖，在正方體中，四棱錐S－ABCD的體積占正方體體積的(　　) A. B. C. D．不確定 答案　B 解析　由于四棱錐S－ABCD的高與正方體的棱長相等，底面是正方形，根據(jù)柱體和錐體的體積公式，得四棱錐S－ABCD的體積占正方體體積的，故選B. 3.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6 cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示．則球的半徑是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 答案　

16、C 解析　設(shè)球半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，可得 3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3. 4.如圖是一個(gè)下半部分為正方體、上半部分為正棱柱的盒子(中間連通)．若其表面積為(448＋32)cm2，則其體積為(　　) A．512＋128 cm3 B．216＋128 cm3 C．512＋64 cm3 D．216＋64 cm3 答案　A 解析　設(shè)正方體的棱長為a cm，則5a2＋2a2＋a2×2＝448＋32，解得a＝8(cm)． ∴該幾何體的體積為a3＋a2·a＝512＋128(cm3)． 5．將棱長為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為(　　

17、) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，半徑為1，其體積是×π×13＝. 6．一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為2 cm，那么該棱柱的表面積為(　　) A．(2＋4) cm2 B．(4＋8) cm2 C．(8＋16) cm2 D．(16＋32) cm2 答案　C 解析　∵一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2 cm的球面上，正四棱柱的底面邊長為2 cm，球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線，∴正四棱柱的體對(duì)角線為4，正四棱

18、柱的底面對(duì)角線長為2，∴正四棱柱的高為＝2，∴該棱柱的表面積為2×22＋4×2×2＝8＋16，故選C. 7.如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A.π B.π C.π D．2π 答案　C 解析　由題意，知旋轉(zhuǎn)而成的幾何體是圓柱，挖去一個(gè)圓錐(如圖)， 該幾何體的體積為π×12×2－×π×12×1＝π. 8．長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為，，，則它的外接球表面積為(　　) A．9π B．8π C．4π D．5π 答案　A 解析　設(shè)長方體共

19、頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c， 則解得 ∴外接球半徑為＝， ∴外接球表面積為4π×2＝9π. 二、填空題 9．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為________． 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積 題點(diǎn)　若干個(gè)幾何體的體積、表面積關(guān)系 答案　3∶1∶2 解析　設(shè)球的半徑為R，則 V柱＝πR2·2R＝2πR3， V錐＝πR2·2R＝πR3， V球＝πR3， 故V柱∶V錐∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 10．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，若其弧長為2π cm，半徑為 cm，則該圓錐的體積為

20、________ cm3. 答案　 解析　∵圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2π cm，半徑為 cm，故圓錐的底面周長為2π cm，母線長為 cm，則圓錐的底面半徑為1，高為1，則圓錐的體積V＝·π·12·1＝. 11．如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐A－FED的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2的值為________． 答案　 解析　設(shè)三棱柱的高為h， ∵F是AA1的中點(diǎn)，則三棱錐F－ADE的高為， ∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)， ∴S△ADE＝S△ABC， ∵V1＝S△ADE·，V2＝

21、S△ABC·h， ∴＝＝. 三、解答題 12．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度． 解　由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面． 根據(jù)切線性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深為3r，水面的半徑為r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3， 而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h， 從而容器內(nèi)水的體積是V′＝π·2·h＝πh3， 由V＝V′，得h＝r. 即容器中水的深度為r. 13.如圖所示，在長方體ABCD－

22、A1B1C1D1中，截下一個(gè)棱錐C－A1DD1，求棱錐C－A1DD1的體積與剩余部分的體積之比． 解　已知長方體是直四棱柱， 設(shè)它的底面ADD1A1的面積為S，高為h， 則它的體積為V＝Sh. 而棱錐C－A1DD1的底面積為S，高為h， 故三棱錐C－A1DD1的體積＝×Sh＝Sh，余下部分體積為Sh－Sh＝Sh. 故棱錐C－A1DD1的體積與剩余部分的體積之比為1∶5. 四、探究與拓展 14．如圖，ABC－A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C－AA′B′B的體積是________． 答案　 解析　∵VC－A′B′C′ ＝VABC－A′B′C′＝， ∴VC－A

23、A′B′B＝1－＝. 15．一個(gè)圓錐形的空杯子上放著一個(gè)直徑為8 cm的半球形的冰淇淋，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計(jì))，使冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子，怎樣設(shè)計(jì)最省材料？ 解　如圖所示，設(shè)圓錐形杯子的高為h cm， 要使冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子， 則必須V圓錐≥V半球， 而V半球＝×πr3＝××43， V圓錐＝Sh＝πr2h＝×42×h. 依題意：×42×h≥××43， 解得h≥8， 即當(dāng)圓錐形杯子杯口直徑為8 cm，高大于或等于8 cm時(shí)，冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子． 又因?yàn)镾圓錐側(cè)＝πrl＝πr， 當(dāng)圓錐高取最小值8時(shí)，S圓錐側(cè)最小， 所以高為8 cm時(shí)，制造的杯子最省材料．