9、每條棱的中點,過球心作正方體的對角面得截面,如圖②,2r2=a,r2=a,所以S2=4πr=2πa2.
(3)正方體的各個頂點在球面上,過球心作正方體的對角面得截面,如圖③,所以有2r3=a,r3=a,
所以S3=4πr=3πa2.
綜上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
反思與感悟 (1)在處理球和長方體的組合問題時,通常先作出過球心且過長方體對角面的截面圖,然后通過已知條件求解.
(2)球的表面積的考查常以外接球的形式出現,可利用幾何體的結構特征構造熟悉的正方體,長方體等,通過彼此關系建立關于球的半徑的等式求解.
跟蹤訓練4 已知H是球O的直徑AB上一點,AH∶HB=1∶2
10、,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為________.
答案 π
解析 如圖,設球O的半徑為R,則由AH∶HB=1∶2,得
HA=·2R=R,∴OH=.
∵截面面積為π=π·(HM)2,
∴HM=1.
在Rt△HMO中,OM2=OH2+HM2,
∴R2=R2+HM2=R2+1,
∴R=.
∴S球=4πR2=4π·2=π.
1.已知一個圓柱的側面展開圖是一個正方形,這個圓柱的表面積與側面積的比是( )
A. B. C. D.
考點 柱體、錐體、臺體的表面積
題點 柱體的表面積
答案 A
解析 設圓柱底面半徑、母線長分
11、別為r,l,由題意知l=2πr,S側=l2=4π2r2.
S表=S側+2πr2=4π2r2+2πr2=2πr2(2π+1),
==.
2.若正三棱錐的斜高是高的倍,則該正三棱錐的側面積是底面積的________倍.
答案 2
解析 ∵=,
==
== =.
設底面邊長為a,
正三棱錐的側面積為3·h′a,
正三棱錐的底面積為3··OM·a,
則正三棱錐的側面積與底面積的比為h′∶OM=2,
故該正三棱錐的側面積是底面積的2倍.
3.一個高為2的圓柱,底面周長為2π,則該圓柱的表面積為________.
答案 6π
解析 設圓柱的底面半徑為r,高為h.
由2
12、πr=2π,得r=1,
∴S圓柱表=2πr2+2πrh=2π+4π=6π.
4.表面積為3π的圓錐,它的側面展開圖是一個半圓,則該圓錐的底面直徑為________.
答案 2
解析 設圓錐的母線為l,圓錐底面半徑為r.
則πl(wèi)2+πr2=3π,πl(wèi)=2πr,
∴r=1,即圓錐的底面直徑為2.
1.多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和.棱柱的表面積等于它的側面積加兩個底面積;棱錐的表面積等于它的側面積加底面積;棱臺的表面積等于它的側面積加兩個底的面積.
2.有關旋轉體的表面積的計算要充分利用其軸截面,就是說將已知條件盡量歸結到軸截面中求解.而對于圓臺有時需要將它還原成
13、圓錐,再借助相似的相關知識求解.
一、選擇題
1.圓柱的一個底面積是S,側面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側面積是( )
A.4πS B.2πS C.πS D.πS
答案 A
解析 底面半徑是,所以正方形的邊長是2π=2,故圓柱的側面積是(2)2=4πS.
2.正三棱錐的底面邊長為a,高為a,則此棱錐的側面積等于( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
答案 A
解析 側棱長為 =a,
斜高為 =,
∴S側=×3×a×=a2.
3.兩個球的表面積之差為48π,它們的大圓周長之和為12π,則這兩球的半徑之差為( )
A.4 B.3
14、 C.2 D.1
答案 C
解析 由題意,得
即∴R-r=2,故選C.
4.正方體的內切球與其外接球的體積之比為( )
A.1∶ B.1∶3 C.1∶3 D.1∶9
答案 C
解析 設正方體的棱長為1,則正方體內切球的半徑為棱長的一半即為,外接球的直徑為正方體的體對角線,
∴外接球的半徑為,
∴其體積比為π×3∶π×3=1∶3.
5.正六棱臺的上,下兩底面的邊長分別是1 cm,2 cm,高是1 cm,則它的側面積為( )
A. cm2 B. cm2
C.9 cm2 D.8 cm2
答案 A
解析 正六棱臺的側面是6個全等的等腰梯形,上底長為1 c
15、m,下底長為2 cm,高為正六棱臺的斜高.又邊長為1 cm的正六邊形的中心到各邊的距離是 cm,邊長為2 cm的正六邊形的中心到各邊的距離是 cm,則梯形的高為 =(cm),所以正六棱臺的側面積為6××(1+2)×=(cm2).
6.一個直角三角形的直角邊分別為3與4,以其直角邊為旋轉軸,旋轉而成的圓錐的側面積為( )
A.15π B.20π
C.12π D.15π或20π
答案 D
解析 以直角三角形的直角邊為旋轉軸,旋轉而成的圓錐,有以下兩種情況:
根據圓錐的側面積計算公式S側面積=πr×l母線長.
①以直角邊3為旋轉軸時,旋轉而成的圓錐的側面積S=4π×5=20
16、π;
②以直角邊4為旋轉軸時,旋轉而成的圓錐的側面積S=3π×5=15π.
故選D.
7.底面是菱形的棱柱其側棱垂直于底面,且側棱長為5,它的體對角線的長分別是9和15,則這個棱柱的側面積是( )
A.160 B.80
C.40 D.240
答案 A
解析 設底面邊長是a,底面的兩條對角線分別為l1,l2,
所以l=152-52,l=92-52.
又l+l=4a2,
即152-52+92-52=4a2,所以a=8,
所以S側面積=ch=4×8×5=160.
8.若一個圓臺的軸截面如圖所示,則其側面積等于( )
A.3π B.π C.3π D.π
17、
答案 A
解析 ∵圓臺的母線長為=,
∴S圓臺側=π(1+2)·=3π.
二、填空題
9.若一個圓錐的側面展開圖是半圓,則這個圓錐的底面面積與側面積的比是________.
答案 1∶2
解析 設該圓錐體的底面半徑為r,母線長為l,根據題意得2πr=πl(wèi),所以l=2r,
所以這個圓錐的底面面積與側面積的比是
πr2∶πl(wèi)2=r2∶(2r)2=1∶2.
10.如圖(1)所示,已知正方體面對角線長為a,沿陰影面將它切割成兩塊,拼成如圖(2)所示的幾何體,那么此幾何體的表面積為________.
答案 (2+)a2
解析 由已知可得正方體的邊長為a,新幾何體的表面積為S
18、表=2×a×a+4×2=(2+)a2.
11.有一塔形幾何體由3個正方體構成,構成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為2,則該塔形幾何體的表面積為________.
答案 36
解析 易知由下向上三個正方體的棱長依次為2,,1,
∴S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.
∴該幾何體的表面積為36.
12.如圖所示,在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔,則打孔后的幾何體的表面積為________.
答案 96+6π
解析 由題意知,所打圓柱形孔穿透正方體,因此打孔后所得幾何體
19、的表面積等于正方體的表面積,再加上一個圓柱的側面積,同時減去兩個圓的面積,即S=6×42+4×2π-2π×12=96+6π.
三、解答題
13.已知一個表面積為120 cm2的正方體的四個頂點在半球的球面上,四個頂點在半球的底面上,求半球的表面積.
解 如圖所示為過正方體對角面的截面圖.設正方體的棱長為a,半球的半徑為R,
由6a2=120,得a2=20,
在Rt△AOB中,AB=a,OB=a,
由勾股定理,得R2=a2+2==30.
所以半球的表面積為S=2πR2+πR2=3πR2=3×30π=90π(cm2).
四、探究與拓展
14.已知某圓臺的一個底面周長是另一個底
20、面周長的3倍,母線長為3,圓臺的側面積為84π,則該圓臺較小底面的半徑為________.
答案 7
解析 設圓臺較小底面的半徑為r,則另一底面的半徑為3r.由S側=3π(r+3r)=84π,解得r=7.
15.如圖,一個圓錐的底面半徑為1,高為3,在圓錐中有一個半徑為x的內接圓柱.
(1)試用x表示圓柱的高;
(2)當x為何值時,圓柱的側面積最大,最大側面積是多少?
解 (1)設所求的圓柱的底面半徑為x,它的軸截面如圖,
BO=1,PO=3,圓柱的高為h,
由圖,得=,即h=3-3x(0<x<1).
(2)∵S圓柱側=2πhx=2π(3-3x)x=6π(x-x2),
當x=時,圓柱的側面積取得最大值為π.
∴當圓柱的底面半徑為時,它的側面積最大為π.