2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大(?。┲祵W(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第2課時 函數(shù)的最大(小)值 1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義. 2.會借助單調(diào)性求最值. 3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值. 1.最大值 (1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足: ①?x∈I,都有f(x)≤M; ②?x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值. (2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標(biāo). 2.最小值 (1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足: ①?x∈I,都有f(x)≥M; ②?x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,

2、稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值. (2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的最小值是圖象最低點的縱坐標(biāo). 溫馨提示:(1)最大(小)值必須是一個函數(shù)值,是值域中的一個元素. (2)并不是每一個函數(shù)都有最值,如函數(shù)y=,既沒有最大值,也沒有最小值. (3)最值是函數(shù)的整體性質(zhì),即在函數(shù)的整個定義域內(nèi)研究其最值. 1.函數(shù)y=f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,試指出此函數(shù)的最小值、最大值和相應(yīng)的x的值. [答案] f(x)的最小值為-1,此時x=-2; f(x)的最大值為2,此時x=1 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)任何函數(shù)都有最大值或最小值.(

3、  ) (2)函數(shù)的最小值一定比最大值小.(  ) (3)函數(shù)f(x)=-x在[2,3)上的最大值為-2,無最小值.(  ) (4)函數(shù)最大值對應(yīng)圖象中的最高點,且該點只有一個.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 題型一圖象法求函數(shù)的最大(小)值 【典例1】 (1)已知函數(shù)f(x)=求f(x)的最大值、最小值; (2)畫出函數(shù)f(x)=的圖象,并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最小值. [思路導(dǎo)引] 作出函數(shù)f(x)的圖象,結(jié)合圖象求解. [解] (1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖1). 由圖象可知,當(dāng)x=±1時,f(x)取最大值為f(±1)=1;

4、當(dāng)x=0時,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值為1,最小值為0. (2)f(x)的圖象如圖2所示,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和[0,+∞),函數(shù)的最小值為f(0)=-1. 圖象法求最大(小)值的步驟 [針對訓(xùn)練] 1.利用圖象求下列函數(shù)的最大值和最小值. (1)y=-,x∈[1,3]; (2)y=|x+1|-|x-2|. [解] (1)作出函數(shù)圖象如右圖所示,該函數(shù)的圖象既有最高點,也有最低點(1,-2),所以函數(shù)y=-,x∈[1,3]有最大值-,最小值-2; (2)y=|x+1|-|x-2| = 作出函數(shù)的圖象,由右圖可知,

5、y∈[-3,3].所以函數(shù)的最大值為3,最小值為-3. 題型二利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值 【典例2】 已知函數(shù)f(x)=x+. (1)證明:f(x)在(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù); (2)求f(x)在[2,4]上的最值. [解] (1)證明:設(shè)?x1,x2∈(1,+∞),且x1x1>1,∴x1-x2<0, 又∵x1x2>1,∴x1x2-1>0, 故(x1-x2)·<0,即f(x1)

6、[2,4]時,f(2)≤f(x)≤f(4). 又f(2)=2+=,f(4)=4+=, ∴f(x)在[2,4]上的最大值為,最小值為. 函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系 (1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是增函數(shù),在區(qū)間[b,c)上是減函數(shù),則函數(shù)y=f(x),x∈(a,c)在x=b處有最大值f(b). (2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是減函數(shù),在區(qū)間[b,c)上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x),x∈(a,c)在x=b處有最小值f(b). (3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(減)函數(shù),則在區(qū)間[a,b]的左、右端點處分別取得最小(大)值、最大(小)值.

7、 [針對訓(xùn)練] 2.已知函數(shù)f(x)=,x∈[2,5],判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求函數(shù)f(x)的最大值和最小值. [解] 任取2≤x10,x1-1>0, ∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)

8、最小值. (2)求二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值. [思路導(dǎo)引] 找出f(x)的對稱軸,分析對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性求最值. [解] (1)函數(shù)f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,函數(shù)f(x)=3(x-2)2-7的圖象如圖所示,由圖可知,函數(shù)f(x)在[0,2)上遞減,在[2,3]上遞增,并且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-7. (2)∵函數(shù)圖象的對稱軸是x=a, ∴當(dāng)a<2時,f(x)在[2,4]上是增函數(shù), ∴f(x)min=f(2)

9、=6-4a. 當(dāng)a>4時,f(x)在[2,4]上是減函數(shù), ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 當(dāng)2≤a≤4時,f(x)min=f(a)=2-a2. ∴f(x)min= [變式] 本例(2)條件變?yōu)椋鬴(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x∈[2,4]時,f(x)≤a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. [解] 在[2,4]內(nèi),f(x)≤a恒成立, 即a≥x2-2ax+2在[2,4]內(nèi)恒成立, 即a≥f(x)max,x∈[2,4]. 又f(x)max= ①當(dāng)a≤3時,a≥18-8a,解得a≥2,此時有2≤a≤3. ②當(dāng)a>3時,a≥6-4a,解得a≥,此時有a>3. 綜上有實數(shù)

10、a的取值范圍是[2,+∞). 求解二次函數(shù)最值問題的順序 (1)確定對稱軸與拋物線的開口方向、作圖. (2)在圖象上標(biāo)出定義域的位置. (3)觀察單調(diào)性寫出最值. [針對訓(xùn)練] 3.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a(x∈[0,2])有最小值-2,則f(x)的最大值為(  ) A.4 B.6 C.1 D.2 [解析] 函數(shù)f(x)=x2+2x+a的對稱軸為x=-1,在[0,2]上為增函數(shù),所以f(x)的最小值為f(0)=a=-2,f(x)的最大值為f(2)=8+a=6. [答案] B 4.已知函數(shù)f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值為f

11、(a),則實數(shù)a的取值范圍是________. [解析] 如圖可知f(x)在[1,a]內(nèi)是單調(diào)遞減的, 又∵f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,3],∴1

12、產(chǎn)量為x臺,則總成本為(20000+100x)元, 從而f(x)= (2)當(dāng)0≤x≤400時,f(x)=-(x-300)2+25000, 當(dāng)x=300時,f(x)max=25000; 當(dāng)x>400時,f(x)=60000-100x是減函數(shù),f(x)<60000-100×400=20000<25000. ∴當(dāng)x=300時,f(x)max=25000. 即每月生產(chǎn)300臺儀器時公司所獲利潤最大,最大利潤為25000元. 求解函數(shù)最大(小)值的實際問題應(yīng)注意的2點 (1)解實際應(yīng)用題要弄清題意,從實際出發(fā),引入數(shù)學(xué)符號,建立數(shù)學(xué)模型,列出函數(shù)關(guān)系式,分析函數(shù)的性質(zhì),從而解決問題,

13、要注意自變量的取值范圍. (2)實際應(yīng)用問題中,最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來解決. [針對訓(xùn)練] 5.將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元一個出售時,能賣出500個.已知這種商品每漲價1元,其銷售量就減少10個,為得到最大利潤,售價應(yīng)為多少元?最大利潤是多少? [解] 設(shè)售價為x元,利潤為y元,單個漲價(x-50)元,銷量減少10(x-50)個. ∴y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70)2+9000≤9000. 故當(dāng)x=70時,ymax=9000. 答:售價為70元時,利潤最大為9000元. 課堂歸納小結(jié) 1.求函數(shù)最大(小)值的常用方法

14、(1)值域.求出函數(shù)f(x)的值域,即可求其最值(注意必須確保存在函數(shù)值里的最值); (2)單調(diào)性法.通過研究函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值; (3)特殊函數(shù)法.利用特殊函數(shù)[如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、函數(shù)y=x+(a>0)]的單調(diào)性來求其最值. 2.函數(shù)的值域與最大(小)值的區(qū)別 (1)函數(shù)的值域是一個集合,函數(shù)的最值是一個函數(shù)值,它是值域的一個元素,即定義域中一定存在一個x0,使f(x0)=M(最值). (2)函數(shù)的值域一定存在,但函數(shù)并不一定有最大(小)值,如y=x在x∈(-1,1)時無最值. 1.函數(shù)f(x)在[-2,+∞)上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最大、最小值分

15、別為(  ) A.3,0 B.3,1 C.3,無最小值 D.3,-2 [解析] 觀察圖象可以知道,圖象的最高點坐標(biāo)是(0,3),從而其最大值是3;另外從圖象看,無最低點,即該函數(shù)不存在最小值.故選C. [答案] C 2.已知函數(shù)f(x)=|x|,x∈[-1,3],則f(x)的最大值為(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 作出函數(shù)f(x)=|x|,x∈[-1,3]的圖象,如圖所示.根據(jù)函數(shù)圖象可知,f(x)的最大值為3. [答案] D 3.下列函數(shù)在[1,4]上最大值為3的是(  ) A.y=+2 B.y=3x-2 C.y=x2 D.y=

16、1-x [解析] B、C在[1,4]上均為增函數(shù),A、D在[1,4]上均為減函數(shù),代入端點值,即可求得最值,故選A. [答案] A 4.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為________(m). [解析] 設(shè)矩形花園的寬為y m, 則=, 即y=40-x,矩形花園的面積S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,當(dāng)x=20時,面積最大. [答案] 20 5.已知二次函數(shù)y=x2-4x+5,分別求下列條件下函數(shù)的最小值: (1)x∈[-1,0];(2)x∈[a,a+1]. [解] (1)∵二次函數(shù)y=x

17、2-4x+5的對稱軸為x=2且開口向上, ∴二次函數(shù)在x∈[-1,0]上是單調(diào)遞減的. ∴ymin=02-4×0+5=5. (2)當(dāng)a≥2時,函數(shù)在x∈[a,a+1]上是單調(diào)遞增的, ymin=a2-4a+5; 當(dāng)a+1≤2即a≤1時,函數(shù)在[a,a+1]上是單調(diào)遞減的, ymin=(a+1)2-4(a+1)+5=a2-2a+2; 當(dāng)a<2

18、(-2) B.f,f(-1) C.f,f D.f,f(0) [解析] 根據(jù)函數(shù)最值定義,結(jié)合函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=-時,有最小值f;當(dāng)x=時,有最大值f. [答案] C 2.函數(shù)y=x2-2x+2在區(qū)間[-2,3]上的最大值、最小值分別是(  ) A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.以上都不對 [解析] 因為y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],所以當(dāng)x=1時,ymin=1,當(dāng)x=-2時,ymax=(-2-1)2+1=10.故選B. [答案] B 3.函數(shù)y=(x≠-2)在區(qū)間[0,5]上的最大值、最小值分別是(  ) A.,0 B

19、.,0 C., D.最小值為-,無最大值 [解析] 因為函數(shù)y=在區(qū)間[0,5]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=0時,ymax=,當(dāng)x=5時,ymin=.故選C. [答案] C 4.若函數(shù)y=ax+1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2,則實數(shù)a的值是(  ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 [解析] 由題意知a≠0,當(dāng)a>0時,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;當(dāng)a<0時,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.綜上知a=±2. [答案] C 5.當(dāng)0≤x≤2時,a<-x2+2x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,1] B.(-∞,0]

20、 C.(-∞,0) D.(0,+∞) [解析] 令f(x)=-x2+2x, 則f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1. 又∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0. ∴a<0. [答案] C 二、填空題 6.函數(shù)y=-,x∈[-3,-1]的最大值與最小值的差是________. [解析] 因為函數(shù)y=-在[-3,-1]上為增函數(shù),所以ymin=,ymax=1, 所以ymax-ymin=1-=. [答案]  7.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,則f(x)的最大值為________. [解析] 函數(shù)f(x

21、)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函數(shù)有最小值-2. 故當(dāng)x=0時,函數(shù)有最小值, 當(dāng)x=1時,函數(shù)有最大值. ∵當(dāng)x=0時,f(0)=a=-2,∴f(x)=-x2+4x-2, ∴當(dāng)x=1時,f(x)max=f(1)=-12+4×1-2=1. [答案] 1 8.如圖,某地要修建一個圓形的噴水池,水流在各個方向上以相同的拋物線路徑落下,以水池的中央為坐標(biāo)原點,水平方向為x軸、豎直方向為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.那么水流噴出的高度h(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的函數(shù)關(guān)系式為h(x)=-x2+2x+,x∈,則水流噴出的高度h的最大值是_______

22、_m. [解析] 由函數(shù)h(x)=-x2+2x+,x∈的圖象可知,函數(shù)圖象的頂點就是水流噴出的最高點.此時函數(shù)取得最大值. 對于函數(shù)h(x)=-x2+2x+,x∈, 若x=1,函數(shù)有最大值h(x)max=-12+2×1+=(m). 于是水流噴出的最高高度是m. [答案]  三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=. (1)證明:函數(shù)f(x)在上是減函數(shù); (2)求函數(shù)f(x)在[1,5]上的最大值和最小值. [解] (1)證明:設(shè)x1、x2是區(qū)間上的任意兩個實數(shù),且x2>x1>, 則f(x1)-f(x2)=- =. 由于x2>x1>, 所以x2-x1>0,且(2x1-

23、1)·(2x2-1)>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函數(shù)f(x)=在區(qū)間上是減函數(shù). (2)由(1)知,函數(shù)f(x)在[1,5]上是減函數(shù), 因此,函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,5]的兩個端點上分別取得最大值與最小值,即最大值為f(1)=3,最小值為f(5)=. 10.求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[-1,1]上的最小值. [解] 函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=a,且函數(shù)圖象開口向上,如圖所示: ①當(dāng)a>1時,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減, 故f(x)min=f(1)=3-2a; ②當(dāng)-1≤a≤1時,f(x)在[-1,1]上

24、先減后增, 故f(x)min=f(a)=2-a2; ③當(dāng)a<-1時,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增, 故f(x)min=f(-1)=3+2a. 綜上可知f(x)的最小值為 f(x)min= 綜合運(yùn)用 11.函數(shù)f(x)=則f(x)的最大值與最小值分別為(  ) A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不對 [解析] ∵x∈[1,2]時,f(x)max=2×2+6=10,f(x)min=2×1+6=8;x∈[-1,1]時,f(x)max=1+7=8,f(x)min=-1+7=6,∴f(x)max=10,f(x)min=6. [答案] A 12.已知函數(shù)

25、y=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,m]上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍是(  ) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] [解析] f(x)=(x-1)2+2,∵f(x)min=2,f(x)max=3,且f(1)=2,f(0)=f(2)=3,∴1≤m≤2,故選D. [答案] D 13.某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車,銷售x輛該品牌車的利潤(單位:萬元)分別為L1=-x2+21x和L2=2x.若該公司在兩地共銷售15輛,則能獲得的最大利潤為(  ) A.90萬元 B.60萬元 C.120萬元 D.120.25萬元 [解析] 設(shè)公司在甲

26、地銷售x輛,則在乙地銷售(15-x)輛,公司獲利為L=-x2+21x+2(15-x) =-x2+19x+30=-2+30+, ∴當(dāng)x=9或10時,L最大為120萬元. [答案] C 14.函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的最小值為________. [解析] 化簡函數(shù)為 y= 其圖象如圖所示, 所以函數(shù)的最小值為3. [答案] 3 15.已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0,f(1)=-. (1)求證:f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù). (2)求f(x)在[-3,3]上的最小值. [解] (1)證明:設(shè)x1,x

27、2是任意的兩個實數(shù),且x10,因為x>0時,f(x)<0, 所以f(x2-x1)<0, 又因為x2=(x2-x1)+x1, 所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1] =f(x2-x1)+f(x1), 所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0, 所以f(x2)

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