2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 6.2 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 6.2 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為(　　) A. B． C. D． 解析：　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝. 答案：　C 2．一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)且與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：　設(shè)所求雙曲線方程為－＝t(t≠0)，因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)為(，0)，所以|13t|＝26，又焦點(diǎn)在x軸上，所以t＝－2，即雙曲線方程為－＝1.選B. 答案：　B 3．若點(diǎn)P為拋物線y＝

2、2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為(　　) A．2 B． C. D． 解析：　由題意知x2＝y(tǒng)，則F，設(shè)P(x0,2x)， 則|PF|＝＝ ＝2x＋， 所以當(dāng)x＝0時(shí)，|PF|min＝. 答案：　D 4．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸為A1A2，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，若三角形A1A2B的面積為b2，則雙曲線的離心率為(　　) A. B． C. D． 解析：　設(shè)B(0，b)，則|A1A2|＝2a， 因?yàn)槿切蜛1A2B的面積為b2， 所以S＝×2a·b＝ab＝b2， 即a＝b， 則離心率e＝＝＝＝. 答案：　B 5．設(shè)橢圓的方程為

3、＋＝1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，且滿足|BM|＝2|MA|，則直線OM的斜率為(　　) A. B． C. D． 解析：　由題意知，點(diǎn)M，又e＝＝，故＝＝，即＝1－＝，故＝1－＝，即＝，故kOM＝＝＝，故選C. 答案：　C 6．(2018·北京卷)已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：　由題知直線l的方程為x＝1， 則直線與拋物線的交點(diǎn)為(1，±2)(a>0)． 又直線被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4， 所以4＝4

4、，即a＝1. 所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)． 答案：　(1,0) 7．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e∈[，2]，則一條漸近線與x軸所成角的取值范圍是________． 解析：　∵e∈[，2]，∴2≤≤4，又c2＝a2＋b2，∴2≤≤4，∴1≤≤3，∴1≤≤，設(shè)所求角為θ，則tan θ＝， ∴1≤tan θ≤，∴≤θ≤. 答案：　 8．過(guò)橢圓C：＋＝1的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則＋等于________． 解析：　由已知條件得橢圓C的左焦點(diǎn)F(－1,0)，直線l的方程為y＝(x＋1)．由得5x2＋8x＝0，解得x＝0或x＝－，∴A(

5、0，)，B. 又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝.∴＋＝. 答案：　 9．(2018·成都市第一次診斷性檢測(cè))已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(，0)，長(zhǎng)半軸與短半軸的比值為2. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N.若點(diǎn)B(0,1)在以線段MN為直徑的圓上，求直線l的方程． 解析：　(1)由題可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2， ∴a＝2，b＝1. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)易知當(dāng)直線l的斜率為0或直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意． 當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，

6、M(x1，y1)，N(x2，y2)． 聯(lián)立，得消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0. Δ＝16m2＋48>0，y1＋y2＝，y1y2＝. ∵點(diǎn)B在以MN為直徑的圓上， ∴·＝0， ∵·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1) ＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0， ∴(m2＋1)＋(m－1)＋2＝0， 整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝. ∴直線l的方程為x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0. 10．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，虛軸長(zhǎng)為4. (1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過(guò)點(diǎn)(0,1)，傾斜角為

7、45°的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積． 解析：　(1)依題意可得解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1. (2)由題意得直線l的方程為y＝x＋1. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得3x2－2x－5＝0. 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝× ＝. 原點(diǎn)O到直線l的距離d＝＝， ∴S△OAB＝·|AB|·d＝××＝. 即△OAB的面積為. B級(jí) 1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C的一條漸近線

8、的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A. B．2 C. D． 解析：　如圖，過(guò)點(diǎn)F1向OP的反向延長(zhǎng)線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形． 因?yàn)閨F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b， 所以c＝＝a，所以e＝＝.故選C. 答案：　C 2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝______

9、__. 解析：　法一：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝. 設(shè)AB中點(diǎn)M′(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， 則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|) ＝(|AA′|＋|BB′|)． ∵M(jìn)′(x0，y0)為AB中點(diǎn)， ∴M為A′B′的中點(diǎn)，∴MM′平行于x軸， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2. 法二：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，設(shè)直線方程為y＝k(x－1)，直線方程與y2＝4x聯(lián)立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2

10、，y2)，則x1x2＝1，x1＋x2＝. 由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)， ＝(－1－x2,1－y2)． 由∠AMB＝90°，得·＝0， ∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0. 又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]， y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， ∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0， 整理得－＋1＝0，解得k＝2. 答案：　2 3．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，其一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線x2＝－4y的焦點(diǎn)． (1)求橢

11、圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，求直線l的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解析：　(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意得b＝，＝， 解得a＝2，c＝1. 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所以直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)＋1(k≠0)． 由 得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.① 因?yàn)橹本€l與橢圓C相切， 所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0. 整理，得96(2k＋1)

12、＝0，解得k＝－. 所以直線l的方程為y＝－(x－2)＋1＝－x＋2. 將k＝－代入①式，可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 4．已知橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F，設(shè)直線l：x＝5與x軸的交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)． (1)若直線l1的傾斜角為，求△ABM的面積S的值； (2)過(guò)點(diǎn)B作直線BN⊥l于點(diǎn)N，證明：A，M，N三點(diǎn)共線． 解析：　(1)由題意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵直線l1的傾斜角為，∴k＝1. ∴直線l1的方程為y＝x－1，即x＝y(tǒng)＋1. 代入橢圓方程，可得9y2＋8y－16＝0. ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－. ∴S△ABM＝·|FM|·|y1－y2|＝＝＝. (2)證明：設(shè)直線l1的方程為y＝k(x－1)． 代入橢圓方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. ∵直線BN⊥l于點(diǎn)N，∴N(5，y2)． ∴kAM＝，kMN＝. 而y2(3－x1)－2(－y1)＝k(x2－1)(3－x1)＋2k(x1－1)＝－k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]＝－k＝0， ∴kAM＝kMN.故A，M，N三點(diǎn)共線．