（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第31講 數(shù)列的概念與通項公式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

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1、第6章　數(shù)　列 [知識體系p85] 第31講　數(shù)列的概念與通項公式 【課程要求】 1．了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)． 2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)． 3．會利用已知數(shù)列的通項公式或遞推關(guān)系式求數(shù)列的某項． 4．會用數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項公式． 對應(yīng)學(xué)生用書p85 【基礎(chǔ)檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．(　　) (2)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達．(　　) (3)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)

2、列的通項公式可能不止一個．(　　) (4)1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個數(shù)列．(　　) (5)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．(　　) (6)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√ 2．[必修5p33A組T4]在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5等于(　　) A.B.C.D. [解析]a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. [答案]D 3．[必修5p33A組T5]根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)

3、構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an＝________． [答案]5n－4 4．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，則此數(shù)列最大項的值是________． [解析]an＝－n2＋11n＝－＋， ∵n∈N*，∴當(dāng)n＝5或n＝6時，an取最大值30. [答案]30 5．已知an＝n2－λn，且對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________． [解析]因為{an}是遞增數(shù)列，所以對任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)>n2－λn，整理， 得2n＋1－λ>0，即λ<(2n＋1)．(*) 因為n≥1，所以2n＋

4、1≥3，要使不等式(*)恒成立，只需λ<3. [答案] (－∞，3) 6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝________． [解析]當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， 故an＝ [答案] 【知識要點】 1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念 概念 含義 數(shù)列 按照一定順序排列的一列數(shù) 數(shù)列的項 數(shù)列中的每一個數(shù) 數(shù)列的通項 數(shù)列{an}的第n項an 通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式 前n項和 數(shù)列{an}中，

5、Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項和 2.數(shù)列的表示方法 列表法 列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系 圖象法 把點(n，an)畫在平面直角坐標系中 公式法 通項 公式 把數(shù)列的通項使用公式表示的方法 遞推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法 3.an與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn， 則an＝ 4．?dāng)?shù)列的分類 單調(diào)性 遞增數(shù)列 ?n∈N*，an＋1>an 遞減數(shù)列 ?n∈N*，an＋1

6、an＋1＝an 擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 周期性 周期數(shù)列 ?n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，an＋k＝an 對應(yīng)學(xué)生用書p86 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式 例1　根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出各數(shù)列的一個通項公式： (1)4，6，8，10，…； (2)－，，－，，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b為實數(shù))； (4)9，99，999，9999，…. [解析] (1)該數(shù)列中各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以它的一個通項公式為an＝2(n＋1)，n∈N*. (2)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號

7、加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n×，n∈N*. (3)這是一個擺動數(shù)列，奇數(shù)項是a，偶數(shù)項是b，所以此數(shù)列的一個通項公式為an＝ (4)這個數(shù)列的前4項可以寫成10－1，100－1，1000－1，10000－1，所以它的一個通項公式為an＝10n－1，n∈N*. [小結(jié)]由數(shù)列的前幾項求數(shù)列通項公式的策略 (1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征，并對此進行歸納、聯(lián)想，具體如下： ①分式中分子、分母的特征； ②相鄰項的變化特征； ③拆項后的特征； ④各項符號特征等． (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫

8、出數(shù)列的一個通項公式是利用不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整． 1．已知數(shù)列：2，0，2，0，2，0，…前六項不適合下列哪個通項公式(　　) A．a(chǎn)n＝1＋(－1)n＋1B．a(chǎn)n＝2 C．a(chǎn)n＝1－(－1)nD．a(chǎn)n＝2sin [解析]對于選項A，an＝1＋(－1)n＋1取前六項得2，0，2，0，2，0滿足條件；對于選項B，an＝2|sin|取前六項得2，0，2，0，2，0滿足條件；對于選項C，an＝1－(－1)n取前六項得2，0，2，0，2，0滿足條件；對于選項D，

9、an＝2sin取前六項得2，0，－2，0，2，0不滿足條件． [答案]D 由遞推公式求通項公式 例2　數(shù)列{an}分別滿足下列條件，求數(shù)列{an}的通項公式： (1)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)； (4)a1＝1，an＋1＝(n∈N*)． [解析] (1)∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)個式子相乘得 an＝a1···…·＝＝. 當(dāng)n＝1時，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)． (2)由題意

10、有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)． 以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)． ∵當(dāng)n＝1時也滿足此式，∴an＝(n∈N*)． (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3. 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∵當(dāng)n＝1時也滿足此式． ∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)． (4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0， ∴＝＋，即－＝，又a1＝1，則＝1， ∴是以1為首項，為公差的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)×＝＋， ∴a

11、n＝(n∈N*)． [小結(jié)]已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解．當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)＝f(n)時，用累乘法求解；當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構(gòu)造等比數(shù)列求解；當(dāng)出現(xiàn)an＋1＝時，構(gòu)造等差數(shù)列求解． 2．若數(shù)列分別滿足下列條件，求數(shù)列的通項公式： (1)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)； (2)a1＝2019，an＋1＝3an＋2； (3)a1＝2，an＋1＝. [解析] (1)因為an＝an－1(n≥2)， 所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1. 以上(n－1)個式子相乘得

12、 an＝a1···…·＝na1＝n， 當(dāng)n＝1時，a1＝1，上式也成立． 所以an＝n. (2)由an＋1＝3an＋2得：an＋1＋1＝3， ∴數(shù)列是以a1＋1＝2020為首項，3為公比的等比數(shù)列． ∴an＋1＝2020×3n－1，∴an＝2020×3n－1－1. (3)∵an＋1＝，∴＝，即－＝2， 數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列， ∴＝＋×2＝，即an＝. an與Sn關(guān)系的應(yīng)用 例3　(1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，則an＝(　　) A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1 [解析]當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2(a1－1

13、)，可得a1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n. [答案]C (2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn≠0，a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________． [解析]∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. [答案]－ [小結(jié)](1)Sn與an關(guān)系問題的求解思路 根據(jù)所

14、求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化． ①利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解． ②利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解． (2)應(yīng)用公式an＝求數(shù)列通項公式時應(yīng)注意驗證a1是否符合一般規(guī)律． 3．在數(shù)列{an}中，an>0，且前n項和Sn滿足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________． [解析]當(dāng)n＝1時，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1； 當(dāng)n≥2時，由4Sn＝(an＋1)2＝a＋2an＋1， 得4Sn－1＝a＋2an－1＋1， 兩式相減得4Sn－

15、4Sn－1＝a－a＋2an－2an－1＝4an， 整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因為an>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2， 又a1＝1，故數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. [答案]an＝2n－1 對應(yīng)學(xué)生用書p87 (2018·全國卷Ⅰ理)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝__________． [解析]法一：因為Sn＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1； 當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2； 當(dāng)n＝3

16、時，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4； 當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8； 當(dāng)n＝5時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16； 當(dāng)n＝6時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32. 所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63. 法二：因為Sn＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63. [答案]－63 9