2022年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)27 立體幾何中的向量方法（理）（學(xué)生版） 新課標(biāo)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)27 立體幾何中的向量方法（理）（學(xué)生版） 新課標(biāo) 【高考再現(xiàn)】 熱點(diǎn)一 求角問題 1.(xx年高考陜西卷理科5)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ） （A） （B） （C） （D） 2.(xx年高考四川卷理科14)如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是____________。 3.(xx年高考全國(guó)卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等， BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值

2、為____________. 4.(xx年高考湖北卷理科19)（本小題滿分12分） 如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示）， （1）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大； （2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小 5.(xx年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如圖，在四棱錐中，底

3、面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，，，求： （1）三角形的面積； （2）異面直線與所成的角的大小. 6.(xx年高考浙江卷理科20) (本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)． (Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD； (Ⅱ) 過點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 7.(xx年高考山東卷理科18)（本小題滿分12分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD， 8

4、.(xx年高考遼寧卷理科18) (本小題滿分12分) 如圖，直三棱柱，， 點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn). (Ⅰ)證明：∥平面; (Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值. 9(xx年高考江西卷理科19)（本題滿分12分） 在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O。 （1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長(zhǎng)； （2）求平面與平面BB1C1C夾角的余弦值。 10.(xx年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科19)（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱中，， 是棱的中點(diǎn)

5、， （1）證明： （2）求二面角的大小。 【方法總結(jié)】 1．利用向量法求異面直線所成的角時(shí)，注意向量的夾角與異面直線所成的角的異同．同時(shí)注意根據(jù)異面直線所成的角的范圍(0，]得出結(jié)論． 2．利用向量法求線面角的方法 一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)； 二是通過平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角. 3．利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面

6、角的平面角的大小；二是通過平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 4．利用空間向量求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角． 熱點(diǎn)二 求距離問題 11.(xx年高考全國(guó)卷理科4)已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則直線 與平面的距離為（ ） A．2 B． C． D．1 12.(xx年高考遼寧卷理科16)已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的 求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_

7、______. 13.(xx年高考天津卷理科17)（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，丄平面， 丄，丄，，，. (Ⅰ)證明：丄； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）設(shè)為棱上的點(diǎn)，滿足異面直線與所成的角為， 求的長(zhǎng). 14.(xx年高考重慶卷理科19)（本小題滿分12分（Ⅰ）小問4分（Ⅱ）小問8分） 如圖，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn) （Ⅰ）求點(diǎn)C到平面 的距離; （Ⅱ）若,求二面角 的平面角的余弦值。 【方法總結(jié)】點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較簡(jiǎn)單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如本題，事實(shí)上，作BH⊥平面CMN于H.由＝＋及·

8、n＝n·，得|·n|＝|n·|＝||·|n|，所以||＝，即d＝. 熱點(diǎn)三 折疊問題 15.(xx年高考安徽卷理科18)（本小題滿分12分） 平面圖形如圖4所示，其中是矩形，，，?，F(xiàn)將該平面圖形分別沿和折疊，使與所在平面都與平面垂直，再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形，對(duì)此空間圖形解答下列問題。 。 （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求的長(zhǎng)； （Ⅲ）求二面角的余弦值。 【考點(diǎn)剖析】 一．明確要求 1.理解直線的方向向量與平面的法向量． 2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系． 3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的有關(guān)命題． 4

9、.能用向量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用. 二．命題方向 利用向量法求空間角的大小是命題的熱點(diǎn)．著重考查學(xué)生建立空間坐標(biāo)系及空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的能力．題型多為解答題，難度中檔. 三．規(guī)律總結(jié) 一種方法 用空間向量解決幾何問題的一般方法步驟是： (1)適當(dāng)?shù)倪x取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相關(guān)向量； (3)通過運(yùn)算完成證明或計(jì)算問題． 兩個(gè)理解 (1)共線向量定理還可以有以下幾種形式： ①a＝λb?a∥b； ②空間任意兩個(gè)向量，共線的充要條件是存在λ，μ∈R使λa＝μb. ③若，不共

10、線，則P，A，B三點(diǎn)共線的充要條件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1. (2)對(duì)于共面向量定理和空間向量基本定理可對(duì)比共線向量定理進(jìn)行學(xué)習(xí)理解．空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線向量定理和共面向量定理是證明三點(diǎn)共線、線線平行、四點(diǎn)共面、線面平行的工具，三個(gè)定理保證了由向量作為橋梁由實(shí)數(shù)運(yùn)算方法完成幾何證明問題的完美“嫁接”． 四種運(yùn)算 空間向量的四種運(yùn)算與平面向量的四種運(yùn)算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全 一致可類比學(xué)習(xí)．學(xué)生要特別注意共面向量的概念．而對(duì)于四種運(yùn)算的運(yùn)算律，要類比實(shí)數(shù)加、減、乘的運(yùn)算律進(jìn)行學(xué)習(xí)． 三種成角 (1)異面直線所成的角的范圍是； (2)直線與平面所

11、成角的范圍是； (3)二面角的范圍是[0，π]． 易誤警示 利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 2．(人教A版教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為(　　)． A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 4.(經(jīng)典習(xí)題)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量、、兩兩的夾角均為60°，且||＝

12、1，||＝2，||＝3，則||等于(　　)． A．5 B．6 C．4 D．8 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實(shí) 1.(浙江省xx屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )有六根細(xì)木棒，其中較長(zhǎng)的兩根分別為a、a，其余四根均為a，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長(zhǎng)的棱所在的直線的夾角的余弦值為________． 2.(北京市東城區(qū)xx第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）理)（本小題共13分） 如圖,矩形所在的平面與直角梯形所在的平面互相垂直，∥,， 且，，，． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 3.(中原六校聯(lián)誼xx年高三第一次聯(lián)考理

13、)（本小題滿分12分） 如右圖所示，四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點(diǎn)． （1）求PA與底面ABCD所成角的大??； （2）求證：PA⊥平面CDM； （3）求二面角D—MC—B的余弦值． 二．能力拔高 6.(河北省唐山市xx高三年級(jí)第二次模擬考試?yán)?（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中點(diǎn)． （I）求證：平面EAC

14、⊥平面PBC; （II）若二面角P-A C-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值． 8.(xx年大連沈陽(yáng)聯(lián)合考試第二次模擬試題理) (本小題滿分12分) 9. (山西省xx年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練文)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABCD，，M，N分別是PB，AC的中點(diǎn)。 （1） 求證：MN//平面PAD； （2） 求點(diǎn)B到平面AMN的距離． 10. (山西省xx年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練理)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABCD，，M，N分別是線段PB，AC

15、上的動(dòng)點(diǎn)，且不與端點(diǎn)重合，． （1）求證：平面PAD； （2）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求二面角的余弦值． 三．提升自我 12.【xx學(xué)年浙江省第二次五校聯(lián)考理】三棱錐中，兩兩垂直且相等，點(diǎn)，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是 ． 13. (浙江省xx屆浙南、浙北部分學(xué)校高三第二學(xué)期3月聯(lián)考試題理)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點(diǎn)，∠ABE＝20°，∠CDF＝30°．將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨(dú)立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線AB與直線DF所成角的最大值為_________． 15．(河北唐山市xx屆高三第三次模擬理)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2。 （1）求證：平面PBC⊥平面PAB； （2）若二面角B－PC－D的余弦值為，求 四棱錐P—ABCD的體積。 【原創(chuàng)預(yù)測(cè)】