高考數(shù)學(xué) 常見(jiàn)題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第79講 圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題的解法

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1、第79講 圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題的解法 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、 定點(diǎn)問(wèn)題:對(duì)滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過(guò)定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題, 證明直線過(guò)定點(diǎn),一般有兩種方法.(1)特殊探求,一般證明:即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況,找出定點(diǎn)的位置,然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上(定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立).(2)分離參數(shù)法:一般可以根據(jù)需要選定參數(shù),結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程,分離參數(shù)得到等式,(一般地,為關(guān)于的二元一次關(guān)系式)由上述原理可得方程組,從而求得該定點(diǎn). 二、定值問(wèn)題:在幾何問(wèn)題中,有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān),這就構(gòu)成了定值問(wèn)題,定值問(wèn)題的處理常

2、見(jiàn)的方法有:(1)特殊探究,一般證明.(2)直接求題目給定的對(duì)象的值,證明其結(jié)果是一個(gè)常數(shù). 【方法講評(píng)】 題型一 定點(diǎn)問(wèn)題 方法一 特殊探求,一般證明:即可以先考慮動(dòng)直線或曲線的特殊情況,找出定點(diǎn)的位置,然后證明 該定點(diǎn)在該直線或該曲線上(定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立). 方法二 分離參數(shù)法:若等式對(duì)恒成立,則同時(shí)成立,運(yùn)用這一原理,可以證明直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.一般可以根據(jù)需要選定參數(shù),結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程,分離參數(shù)得到等式,(一般地,為關(guān)于的二元一次關(guān)系式)由上述原理可得方程組,從而求得該定點(diǎn). 【例1】 設(shè)點(diǎn)和是拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,求

3、證直 線過(guò)定點(diǎn). 【解析一】取寫(xiě)出直線的方程;再取寫(xiě)出直線的方程;最后求出兩條直線的交點(diǎn),得交點(diǎn)為. 設(shè),直線的方程為, 由題意得兩式相減得 ,即, 直線的方程為,整理得 ① 【點(diǎn)評(píng)】(1)證明直線過(guò)定點(diǎn),一般有兩種方法.方法一:特殊探求,一般證明:即可以先考慮動(dòng)直線 或曲線的特殊情況,找出定點(diǎn)的位置,然后證明該定點(diǎn)在該直線或該曲線上(定點(diǎn)的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立).方法二:分離參數(shù)法:若等式對(duì)恒成立,則同時(shí)成立,運(yùn)用這一原理,可以證明直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.一般可以根據(jù)需要選定參數(shù),結(jié)合已知條件求出直線或曲線

4、的方程,分離參數(shù)得到等式,(一般地,為關(guān)于的二元一次關(guān)系式)由上述原理可得方程組,從而求得該定點(diǎn).(2)解析一使用的就是方法一,解析二使用的就是方法二. 大家注意靈活選擇. 【反饋檢測(cè)1】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為. (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)若直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【反饋檢測(cè)2】在直角坐標(biāo)系中,橢圓 的離心率,且過(guò)點(diǎn),橢圓的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),定直線與直線、分別交于兩點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (

5、2)在軸上是否存在定點(diǎn)經(jīng)過(guò)以為直徑的圓,若存在,求定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由. 題型二 定值問(wèn)題 方法一 特殊探究,一般證明. 方法二 直接求題目給定的對(duì)象的值,證明其結(jié)果是一個(gè)常數(shù). 【例2】過(guò)拋物線:(>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若線段與的長(zhǎng)分別為,則的值必等于( ). A. B. C. D. 又由,消去得 ∴, 【點(diǎn)評(píng)】定值問(wèn)題的處理常見(jiàn)的方法有:(1)特殊探究,一般證明.(2)直接求題

6、目給定的對(duì)象的值,證明其結(jié)果是一個(gè)常數(shù). 【反饋檢測(cè)3】橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)若分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,且交橢圓于不同于的點(diǎn),求證:為定值. 【反饋檢測(cè)4】如圖,為橢圓的左右焦點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),,,若點(diǎn)在橢圓上,則點(diǎn)稱為點(diǎn)的一個(gè)“橢點(diǎn)”.直線與橢圓交于兩點(diǎn),兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為,已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)試探討的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由. 高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第79講: 圓錐曲線中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題的

7、解法參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】(1);(2)直線過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為. (Ⅱ)設(shè),, 聯(lián)立 得, 又, 因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)橢圓的右焦點(diǎn), ,即, , , . 【反饋檢測(cè)2答案】(1);(2)存在,. 【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】(1),橢圓的方程為. (2)設(shè)、的斜率分別為.即, 由知, 由知,的中點(diǎn). 以為直徑的圓的方程為, 令, ,即,解得或, 存在定點(diǎn)經(jīng)過(guò)以為直徑的圓. 【反饋檢測(cè)3答案】(1)(2) 【反饋檢測(cè)4答案】(1);(2)的面積為定值1. 【反饋檢測(cè)4詳細(xì)解析】(1)由題可得解得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)設(shè),,則,.由,即.(*) ①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),. ②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其直線為,聯(lián)立得 ,則,,同理,代入(*),整理得,此時(shí),,∴. 綜上,的面積為定值1.

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