(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:8+6分項(xiàng)練11 直線與圓 理

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1、(京津?qū)S茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練:8+6分項(xiàng)練11 直線與圓 理 1.(2018·襄陽(yáng)調(diào)研)已知點(diǎn)P(1,2)和圓C:x2+y2+kx+2y+k2=0,過點(diǎn)P作圓C的切線有兩條,則k的取值范圍是(  ) A.R B. C. D. 答案 C 解析 圓C:2+2=1-k2, 因?yàn)檫^P 有兩條切線, 所以P在圓外,從而 解得-

2、∵在平面內(nèi),過定點(diǎn)P的直線ax+y-1=0與過定點(diǎn)Q的直線x-ay+3=0相交于點(diǎn)M, ∴P(0,1),Q(-3,0), ∵過定點(diǎn)P的直線ax+y-1=0與過定點(diǎn)Q的直線x-ay+3=0垂直, ∴M位于以PQ為直徑的圓上, ∵|PQ|==, ∴2+2=10. 3.(2018·湖北省荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)若圓O1:x2+y2=5與圓O2:2+y2=20相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長(zhǎng)度是(  ) A.3 B.4 C.2 D.8 答案 B 解析 由題意可知,O1(0,0),O2(-m,0), 根據(jù)圓心距大于半徑之差而小于半徑之和, 可

3、得<|m|<3. 再根據(jù)題意可得O1A⊥AO2, ∴m2=5+20=25,∴m=±5, ∴利用·5=2×=10, 解得|AB|=4. 4.(2018·河北省衡水中學(xué)模擬)若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,B的距離之比為,當(dāng)P,A,B不共線時(shí),△PAB面積的最大值是(  ) A.2 B. C. D. 答案 A 解析 以線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系, 則A(1,0),B, 設(shè)P(x,y), 則 =,化簡(jiǎn)得2+y2=8, 當(dāng)點(diǎn)P到AB(x軸)距離最大時(shí), △PAB的面積取得最大值,由圓

4、的性質(zhì)可得, △PAB面積的最大值為×2×2=2. 5.已知點(diǎn)Q,P是圓C:(x-a)2+2=4上任意一點(diǎn),若線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+2=1,則m的值為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 設(shè)P(x,y),PQ的中點(diǎn)為M, 則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 因?yàn)辄c(diǎn)M在圓x2+2=1上, 所以2+2=1, 即(x-1)2+2=4. 將此方程與方程(x-a)2+2=4 比較可得 解得m=4. 6.(2018·四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)模擬)若圓x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:ax+by=0的距離為2,則直線l的斜率的取值范圍是

5、(  ) A.[2-,2+] B.[-2-,-2] C.[-2-,2+] D.[-2-,2-] 答案 B 解析 圓x2+y2+4x-4y-10=0可化為(x+2)2+2=18,則圓心為(-2,2),半徑為3, 則由圓x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:ax+by=0的距離為2可得, 圓心到直線l:ax+by=0的距離d≤3-2=, 即≤, 則a2+b2-4ab≤0,若b=0,則a=0,故不成立, 故b≠0,則上式可化為1+2-4×≤0. 由直線l的斜率k=-, 可知上式可化為k2+4k+1≤0, 解得-2-≤k≤-2+. 7.(201

6、8·甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)診斷)若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長(zhǎng),則(a-2)2+(b-2)2的最小值為(  ) A. B.5 C.2 D.10 答案 B 解析 由直線ax+by+1=0始終平分圓M的周長(zhǎng), 可知直線必過圓M的圓心, 由圓的方程可得圓M的圓心坐標(biāo)為(-2,-1), 代入直線方程ax+by+1=0可得2a+b-1=0, 又由(a-2)2+(b-2)2表示點(diǎn)(2,2)與直線2a+b-1=0上的任一點(diǎn)的距離的平方, 由點(diǎn)到直線的距離公式得d==, 所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為d2=2=5. 8.(

7、2017·全國(guó)Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ,則λ+μ的最大值為(  ) A.3 B.2 C. D.2 答案 A 解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD,AB所在直線為x軸,y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系, 則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1). 設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E,連接CE,則CE⊥BD. ∵CD=1,BC=2, ∴BD==, EC===, 即圓C的半徑為, ∴P點(diǎn)的軌跡方程為(x-2)2+(y-1)2=. 設(shè)P(x0,y0),則(θ為參數(shù)), 而=(x0,y0),=(0,1),=(2,0). ∵=λ+μ=λ(0

8、,1)+μ(2,0)=(2μ,λ), ∴μ=x0=1+cos θ,λ=y(tǒng)0=1+sin θ. 兩式相加,得 λ+μ=1+sin θ+1+cos θ=2+sin(θ+φ)≤3, 當(dāng)且僅當(dāng)θ=+2kπ-φ,k∈Z時(shí),λ+μ取得最大值3. 故選A. 9.(2018·湖南師大附中月考)與圓x2+(y-2)2=2相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有________條. 答案 3 解析 直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)方程為y=kx,利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑可求得k=±1,即直線方程為y=±x;直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)其方程為+=1(a≠0),同理可求得a=4,直線方程為x+y=4,所以符合題意的直線共3條

9、. 10.已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2),若直線kx-y+1-k=0與線段AB相交,則k的取值范圍是________. 答案 ∪[2,+∞) 解析 直線kx-y+1-k=0恒過點(diǎn)P(1,1), kPA==2,kPB==,若直線kx-y+1-k=0與線段AB相交,結(jié)合圖象(圖略)得k≤或k≥2. 11.設(shè)直線l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直線l2:2x+(a+2)·y+1=0.若l1⊥l2,則實(shí)數(shù)a的值為________,若l1∥l2,則實(shí)數(shù)a的值為________. 答案?。。? 解析 若l1⊥l2,則2(a+1)+3=0, 整理可得5a+8=0, 求解關(guān)于實(shí)

10、數(shù)a的方程可得a=-. 若l1∥l2,則=≠, 據(jù)此可得a=-4. 12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P是直線3x+4y+3=0上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,切點(diǎn)分別是A,B,則|AB|的取值范圍為__________. 答案 [,2) 解析 由題意知,圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,要使AB的長(zhǎng)度最小,則∠ACB最小,即∠PCB最小,即PC最小,由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)C到直線3x+4y+3=0的距離d==2,則∠PCB=60°,∠ACB=120°,即|AB|=,當(dāng)P在直線3x+4y+3=0上無(wú)限遠(yuǎn)時(shí),∠ACB趨近180°,此時(shí)|AB|趨近直徑

11、2. 故|AB|的取值范圍為[,2). 13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓M:x2+y2-6x-4y+8=0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,其中A在B的右側(cè),以AB為直徑的圓記為圓N,過點(diǎn)A作直線l與圓M,圓N分別交于C,D兩點(diǎn).若D為線段AC的中點(diǎn),則直線l的方程為________. 答案 x+2y-4=0 解析 由題意得圓M的方程為(x-3)2+(y-2)2=5, 令y=0,得x=2或x=4,所以A(4,0),B(2,0). 則圓N的方程為(x-3)2+y2=1, 由題意得直線l的斜率存在,所以設(shè)直線l:y=k(x-4). 聯(lián)立直線l的方程和圓M的方程消去y, 得(1+k2

12、)x2-(8k2+4k+6)x+16k2+16k+8=0, 所以4+xC=,① 聯(lián)立 得(1+k2)x2-(8k2+6)x+16k2+8=0, 所以4+xD=,② 依題意得xC+4=2xD,③ 解①②③得k=-. 所以直線l的方程為x+2y-4=0. 14.已知圓C1:(x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=1與圓C2:x2+y2=1,下列說法中: ①對(duì)于任意的θ,圓C1與圓C2始終外切; ②對(duì)于任意的θ,圓C1與圓C2始終有四條公切線; ③當(dāng)θ=時(shí),圓C1被直線l:x-y-1=0截得的弦長(zhǎng)為; ④若點(diǎn)P,Q分別為圓C1與圓C2上的動(dòng)點(diǎn),則|PQ|的最大值為4.

13、 正確命題的序號(hào)為________. 答案?、佗邰? 解析 對(duì)于①,我們知道兩個(gè)圓外切等價(jià)于兩個(gè)圓的圓心距剛好等于兩個(gè)圓的半徑之和, 由題意,得圓C1的半徑為1,圓心坐標(biāo)為(2cos θ,2sin θ),圓C2的半徑為1,圓心坐標(biāo)為(0,0), 所以兩個(gè)圓的圓心距為 ==2. 又因?yàn)閮蓤A的半徑之和為1+1=2, 所以對(duì)于任意θ,圓C1和圓C2始終外切,所以①正確; 對(duì)于②,由①得,兩圓外切,所以兩圓只有三條公切線,所以②錯(cuò)誤; 對(duì)于③,此時(shí)圓C1的方程為:(x-)2+(y-1)2=1, 故圓C1的圓心坐標(biāo)為(,1), 所以圓心到直線l的距離為=. 又因?yàn)閳AC1的半徑為1, 所以其所截的弦長(zhǎng)為2 =,所以③正確; 對(duì)于④,由①得,兩圓外切,所以兩圓上的點(diǎn)的最大距離就是兩圓的直徑之和, 因?yàn)镃1的直徑為2,C2的直徑也為2, 故|PQ|的最大值為2+2=4.所以④正確. 故正確命題的序號(hào)為①③④.

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