(浙江專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法學(xué)案 理
《(浙江專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法學(xué)案 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法學(xué)案 理(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法 最新考綱 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式);2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù). 知 識 梳 理 1.數(shù)列的概念 (1)數(shù)列的定義:按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項. (2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系:從函數(shù)觀點看,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an=f(n),當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值. (3)數(shù)列有三種表示法,它們分別是列表法、圖象法和通項公式法. 2.數(shù)列的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項數(shù)分類 有窮數(shù)列
2、 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 按項與項間 的大小關(guān)系 分類 遞增數(shù)列 an+1>an 其中 n∈N* 遞減數(shù)列 an+1<an 常數(shù)列 an+1=an 按其他 標準分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M,使|an|≤M 擺動數(shù)列 從第二項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列 3.數(shù)列的通項公式 (1)通項公式:如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子an=f(n)來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式. (2)遞推公式:如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項),且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an-1
3、(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式. 4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,則an= [常用結(jié)論與微點提醒] 1.一些常見數(shù)列的通項公式 (1)數(shù)列1,2,3,4,…的通項公式為an=n; (2)數(shù)列2,4,6,8,…的通項公式為an=2n; (3)數(shù)列1,2,4,8,…的通項公式為an=2n-1; (4)數(shù)列1,4,9,16,…的通項公式為an=n2; (5)數(shù)列1,,,,…的通項公式為an=. 2.已知遞推關(guān)系求通項一般有兩種常見思路: (1)算出前幾項,再歸納、猜想; (2)利用累加或累乘法求數(shù)列的通項公式. 診 斷 自
4、測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.( ) (2)一個數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的.( ) (3)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達.( ) (4)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個.( ) 解析 (1)數(shù)列:1,2,3和數(shù)列:3,2,1是不同的數(shù)列. (2)數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的. (3)不是所有的數(shù)列都有通項公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則a8的值為( ) A.15 B.16
5、 C.49 D.64 解析 當n=8時,a8=S8-S7=82-72=15. 答案 A 3.已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是( ) A.a(chǎn)n=(-1)n-1+1 B.a(chǎn)n= C.a(chǎn)n=2sin D.a(chǎn)n=cos(n-1)π+1 解析 對n=1,2,3,4進行驗證,an=2sin不合題意,故選C. 答案 C 4.已知an=n2+λn,且對于任意的n∈N*,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍是________. 解析 因為{an}是遞增數(shù)列,所以對任意的n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整
6、理, 得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*) 因為n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3. 答案 (-3,+∞) 5.(2018·臺州月考)在數(shù)列{xn}中,x1=10,xn=log2(xn-1-2),則數(shù)列{xn}的第2項是________,所有項和T=________. 解析 ∵x1=10,xn=log2(xn-1-2), ∴x2=log2(x1-2)=log28=3,x3=log2(x2-2)=log21=0. 數(shù)列{xn}所有項的和為10+3+0=13. 答案 3 13 6.(必修5P33A5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù),
7、寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an=________. 解析 a1=1,a2=6=1+5=1+5×(2-1), a3=11=1+5×2=1+5×(3-1), a4=16=1+5×3=1+5×(4-1), ∴an=1+5×(n-1)=5n-4. 答案 5n-4 考點一 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項 【例1】 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值,寫出數(shù)列的一個通項公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2),,,,,…; (3),2,,8,,…; (4)5,55,555,5 555,…. 解 (1)偶數(shù)項為正,奇數(shù)項為負,故通項公式必含有因式(-1)n,觀察各項的絕對值
8、,后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6,故數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n(6n-5). (2)這是一個分數(shù)數(shù)列,其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列,而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積,分子依次為2,4,6,…,相鄰的偶數(shù),故所求數(shù)列的一個通項公式為an=. (3)數(shù)列的各項,有的是分數(shù),有的是整數(shù),可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察.即,,,,,…,分子為項數(shù)的平方,從而可得數(shù)列的一個通項公式為an=. (4)將原數(shù)列改寫為×9,×99,×999,…,易知數(shù)列9,99,999,…的通項為10n-1,故所求的數(shù)列的一個通項公式為an=(10n-1
9、). 規(guī)律方法 根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時,需仔細觀察分析,抓住以下幾方面的特征: (1)分式中分子、分母的各自特征; (2)相鄰項的聯(lián)系特征; (3)拆項后的各部分特征; (4)符號特征.應(yīng)多進行對比、分析,從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想. 【訓(xùn)練1】 (1)數(shù)列0,,,,…的一個通項公式為( ) A.a(chǎn)n=(n∈N*) B.a(chǎn)n=(n∈N*) C.a(chǎn)n=(n∈N*) D.a(chǎn)n=(n∈N*) (2)數(shù)列-,,-,,…的一個通項公式an=________. 解析 (1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù),對照選項排除即可. (2)這個數(shù)列前4項的絕對值都等
10、于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式為an=(-1)n. 答案 (1)C (2)(-1)n 考點二 由Sn與an的關(guān)系求an(易錯警示) 【例2】 (1)(2017·溫州市十校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,Sn是其前n項和,且Sn=2an+1,則數(shù)列的通項公式an=________. (2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+1,則數(shù)列的通項公式an=________. 解析 (1)依題意得Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,兩式相減得Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an,又S1=2a1+1=a1,因此a1=-1,所以數(shù)列{
11、an}是以a1=-1為首項、2為公比的等比數(shù)列,an=-2n-1. (2)當n=1時,a1=S1=3+1=4, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2·3n-1. 顯然當n=1時,不滿足上式. ∴an= 答案 (1)-2n-1 (2) 規(guī)律方法 數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是an=①當n=1時,a1若適合Sn-Sn-1,則n=1的情況可并入n≥2時的通項an;②當n=1時,a1若不適合Sn-Sn-1,則用分段函數(shù)的形式表示. 易錯警示 在利用數(shù)列的前n項和求通項時,往往容易忽略先求出a1,而是直接把數(shù)列的通項公式寫成an=Sn-Sn-1的形式,但它只適
12、用于n≥2的情形. 【訓(xùn)練2】 (1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2-2n+1,則數(shù)列{an}的通項公式an=________. (2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+,則{an}的通項公式an=________. 解析 (1)當n=1時,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 當n≥2時, an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,顯然當n=1時,不滿足上式. 故數(shù)列的通項公式為an= (2)由Sn=an+,得當n≥2時,Sn-1=an-1+, 兩式相減,得an=an-an-1, ∴當n≥2時,an=-2an-1,即=
13、-2. 又n=1時,S1=a1=a1+,a1=1, ∴an=(-2)n-1. 答案 (1) (2)(-2)n-1 考點三 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式 【例3】 (1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式an=________. (2)(2018·衢州質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中,a1=1,(n2+2n)(an+1-an)=1(n∈N*),則通項公式an=________. 解析 (1)由an+2+2an-3an+1=0, 得an+2-an+1=2(an+1-an), ∴數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=3為首
14、項,2為公比的等比數(shù)列,∴an+1-an=3×2n-1, ∴n≥2時,an-an-1=3×2n-2,…,a3-a2=3×2,a2-a1=3, 將以上各式累加得 an-a1=3×2n-2+…+3×2+3=3(2n-1-1), ∴an=3×2n-1-2(當n=1時,也滿足). (2)由(n2+2n)(an+1-an)=1得an+1-an==×,所以a2-a1=×,a3-a2=×,…,an-1-an-2=,an-an-1=,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=×+1=-. 答案 (1)3×2n-1-2 (2)- 規(guī)律方法 (1
15、)形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求通項公式,特別注意能消去多少項,保留多少項. (2)形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為=f(n)的形式,可用累乘法,也可用an=··…··a1代入求出通項. (3)形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式,構(gòu)成新的等比數(shù)列,求出通項公式,求變量x是關(guān)鍵. 【訓(xùn)練3】 在數(shù)列{an}中, (1)若a1=2,an+1=an+n+1,則通項公式an=________. (2)(一題多解)若a1=1,an=an-1(n≥2),則通項公式an=________. (3)若a1=1,an
16、+1=2an+3,則通項公式an=________. 解析 (1)由題意得,當n≥2時,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+(2+3+…+n)=2+=+1.又a1=2=+1,符合上式,因此an=+1. (2)法一 因為an=an-1(n≥2),所以an-1=·an-2,…,a2=a1,以上(n-1)個式子的等號兩端分別相乘得an=a1···…·==. 法二 因為an=···…···a1=···…·1=. (3)設(shè)遞推公式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1+t=2(an+t),即an+1=2an+t,解得t=3. 故an+1+3=2(an+3).
17、 令bn=an+3,則b1=a1+3=4,且==2. 所以{bn}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列. ∴bn=4·2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3. 答案 (1)+1 (2) (3)2n+1-3 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1.數(shù)列,-,,-,…的第10項是( ) A.- B.- C.- D.- 解析 所給數(shù)列呈現(xiàn)分數(shù)形式,且正負相間,求通項公式時,我們可以把每一部分進行分解:符號、分母、分子.很容易歸納出數(shù)列{an}的通項公式an=(-1)n+1·,故a10=-. 答案 C 2.數(shù)列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一個通項公式an等于(
18、 ) A. B.cos C.cos π D.cos π 解析 令n=1,2,3,…,逐一驗證四個選項,易得D正確. 答案 D 3.(一題多解)在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,則其通項公式an=( ) A.2n-1 B.2n-1+1 C.2n-1 D.2(n-1) 解析 法一 由an+1=2an+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,驗證可知an=2n-1. 法二 由題意知an+1+1=2(an+1),∴數(shù)列{an+1}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴an+1=2n,∴an=2n-1. 答案 A 4.數(shù)列{an}滿足an+
19、1+an=2n-3,若a1=2,則a8-a4=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析 依題意得(an+2+an+1)-(an+1+an)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即an+2-an=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4. 答案 D 5.數(shù)列{an}的前n項積為n2,那么當n≥2時,an等于( ) A.2n-1 B.n2 C. D. 解析 設(shè)數(shù)列{an}的前n項積為Tn,則Tn=n2, 當n≥2時,an==. 答案 D 6.(2018·寧波鎮(zhèn)海中學(xué)調(diào)研)已知數(shù)列{an}的首項a1=a,其前n項和為Sn,且滿足Sn
20、+Sn-1=4n2(n≥2,n∈N*),若對任意n∈N*,an<an+1恒成立,則a的取值范圍是( ) A.(3,5) B.(4,6) C.[3,5) D.[4,6) 解析 由Sn+Sn-1=4n2(n≥2,n∈N*),得Sn+1+Sn=4(n+1)2.兩式相減得,an+1+an=8n+4(n≥2),則an+2+an+1=8n+12.兩式相減得,an+2-an=8(n≥2).又由a1=a,a1+a2+a1=16得a2=16-2a,又由a1+a2+a3+a1+a2=4×32得a3=4+2a,所以a2n=a2+8(n-1)=8n+8-2a,a2n+1=a3+8(n-1)=8n-4+2
21、a.因為對任意n∈N*,an<an+1恒成立,所以解得3<a<5. 答案 A 二、填空題 7.若數(shù)列{an}滿足關(guān)系an+1=1+,a8=,則a5=________. 解析 借助遞推關(guān)系,則a8遞推依次得到a7=,a6=,a5=. 答案 8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an≠0(n∈N*),又anan+1=Sn,則a3-a1=________. 解析 因為anan+1=Sn,所以令n=1得a1a2=S1=a1,由于a1≠0,則a2=1,令n=2,得a2a3=S2=a1+a2,即a3=1+a1,所以a3-a1=1. 答案 1 9.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+
22、2n+1(n∈N*),則a1=________;an=________. 解析 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1,當n=1時,a1=S1=4≠2×1+1,因此an= 答案 4 10.(2018·紹興一中適應(yīng)性考試)數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n+1,bn= (-1)n·(an-2)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為________,數(shù)列{bn}的前50項和為________. 解析 當n=1時,a1=S1=3;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,當n=1時不滿足上式,則其通項公式為an=當n=1時,b1=-
23、1;當n≥2時,bn=(-1)n·(an-2)=(-1)n·2(n-1),則數(shù)列{bn}的前50項和為-1+2×1-2×2+2×3-…+2×49=-1+2×(1-2+3-…+49)=-1+2×25=49. 答案 an= 49 三、解答題 11.數(shù)列{an}的通項公式是an=n2-7n+6. (1)這個數(shù)列的第4項是多少? (2)150是不是這個數(shù)列的項?若是這個數(shù)列的項,它是第幾項? (3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)? 解 (1)當n=4時,a4=42-4×7+6=-6. (2)令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是這個數(shù)列的第
24、16項. (3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍). ∴從第7項起各項都是正數(shù). 12.已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和Sn=an. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通項公式. 解 (1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2, 解得a2=3a1=3. 由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3, 解得a3=(a1+a2)=6. (2)由題設(shè)知a1=1. 當n≥2時,有an=Sn-Sn-1=an-an-1, 整理得an=an-1. 于是 a1=1, a2=a1, a3=a2, …… an-1=an-2, an=an-1.
25、 將以上n個等式兩端分別相乘, 整理得an=. 顯然,當n=1時也滿足上式. 綜上可知,{an}的通項公式an=. 能力提升題組 13.設(shè)an=-3n2+15n-18,則數(shù)列{an}中的最大項的值是( ) A. B. C.4 D.0 解析 ∵an=-3+,由二次函數(shù)性質(zhì),得當n=2或3時,an最大,最大為0. 答案 D 14.(2018·杭州調(diào)考)已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,則a2 019的值為________. 解析 由題意得,a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1
26、,a7=a6-a5=2,∴數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列,而2 019=6×336+3, ∴a2 019=a3=1. 答案 1 15.(2017·金麗衢十二校聯(lián)考)對于各項均為整數(shù)的數(shù)列{an},如果ai+i(i=1,2,3,…)為完全平方數(shù),則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”.不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”,如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn},且{bn}同時滿足下面兩個條件: ①b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一個排列; ②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”,則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”. 下面三個數(shù)列: ①數(shù)列{an}的前n項和Sn=(n2-1)
27、; ②數(shù)列1,2,3,4,5; ③1,2,3,…,11. 具有“P性質(zhì)”的為________;具有“變換P性質(zhì)”的為________. 解析 對于①,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-n,∵a1=0,∴an=n2-n,∴ai+i=i2(i=1,2,3,…)為完全平方數(shù),∴數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”;對于②,數(shù)列1,2,3,4,5,具有“變換P性質(zhì)”,數(shù)列{bn}為3,2,1,5,4,具有“P性質(zhì)”,∴數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”;對于③,因為11,4都只有與5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù),所以1,2,3,…,11,不具有“變換P性質(zhì)”. 答案?、佟、? 16.(2018·臺州測試)
28、已知數(shù)列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值;
(2)若對任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍.
解 (1)∵an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),
又a=-7,∴an=1+(n∈N*).
結(jié)合函數(shù)f(x)=1+的單調(diào)性,可知1>a1>a2>a3>a4,
a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).
∴數(shù)列{an}中的最大項為a5=2,最小項為a4=0.
(2)an=1+=1+,
已知對任意的n∈N*,都有an≤a6成立,
結(jié)合函數(shù)f(x)=1+的單調(diào)性,
可知5<<6,即-10
29、<-8.
即a的取值范圍是(-10,-8).
17.(一題多解)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+2n,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2-bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn=a·bn,證明:當且僅當n≥3時,cn+1<cn.
(1)解 當n=1時,a1=S1=4.
對于n≥2,有an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n-1)n=4n.
又當n=1時,a1=4適合上式,故{an}的通項公式an=4n.
將n=1代入Tn=2-bn,得b1=2-b1,故T1=b1=1.
(求bn法一)對于n≥2,由Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn,
得 30、bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1),bn=bn-1,所以數(shù)列{bn}是以1為首項,公比為的等比數(shù)列,故bn=21-n.
(求bn法二)對于n≥2,由Tn=2-bn,得Tn=2-(Tn-Tn-1),
2Tn=2+Tn-1,Tn-2=(Tn-1-2),Tn-2=21-n(T1-2)=-21-n,
Tn=2-21-n,bn=Tn-Tn-1=(2-21-n)-(2-22-n)=21-n.
又n=1時,b1=1適合上式,故{bn}的通項公式bn=21-n.
(2)證明 (法一)由cn=a·bn=n225-n,
得=.
當且僅當n≥3時,1+≤<,即cn+1<cn.
(法二)由cn=a·bn=n225-n,得
cn+1-cn=24-n[(n+1)2-2n2]=24-n[-(n-1)2+2].
當且僅當n≥3時,cn+1-cn<0,即cn+1<cn.
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