2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.2.1 基本不等式學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

第1課時(shí)　基本不等式 1．理解基本不等式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握基本不等式及成立條件． 2．會(huì)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式． 兩個(gè)不等式 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 溫馨提示：“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 1．不等式a2＋b2≥2ab與≤成立的條件相同嗎？如果不同各是什么？ [答案]　不同，a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；≤成立的條件是a，b均為正實(shí)數(shù) 2．a(chǎn)＋≥2(a≠0)是否恒成立？ [答案]　只有a>0時(shí)，a＋≥2，當(dāng)a<0時(shí)，a＋≤－2 3．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　) (2)若a≠0，則a＋≥2 ＝4.(　　) (3)若a，b∈R，則ab≤2.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 題型一對(duì)基本不等式的理解 【典例1】　給出下面三個(gè)推導(dǎo)過(guò)程： ①因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2； ②因?yàn)閍∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因?yàn)閤，y∈R，xy<0，所以＋＝－ ≤－2 ＝－2. 其中正確的推導(dǎo)過(guò)程為(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [思路導(dǎo)引]　根據(jù)基本不等式中的條件進(jìn)行判斷． [解析]　從基本不等式成立的條件考慮． ①因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的條件，故①的推導(dǎo)過(guò)程正確； ②因?yàn)閍∈R，a≠0不符合基本不等式成立的條件， 所以＋a≥2 ＝4是錯(cuò)誤的； ③由xy<0得，均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過(guò)程中將＋看成一個(gè)整體提出負(fù)號(hào)后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式成立的條件，故③正確． [答案]　D 　基本不等式≥(a>0，b>0)的2個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)． (2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義： ①當(dāng)a＝b時(shí)，≥的等號(hào)成立， 即a＝b?＝； ②僅當(dāng)a＝b時(shí)，≥的等號(hào)成立， 即＝?a＝b. [針對(duì)訓(xùn)練] 1．下列命題中正確的是(　　) A．當(dāng)a，b∈R時(shí)，＋≥2 ＝2 B．當(dāng)a>0，b>0時(shí)，(a＋b)≥4 C．當(dāng)a>4時(shí)，a＋≥2 ＝6 D．當(dāng)a>0，b>0時(shí)，≥ [解析]　A項(xiàng)中，可能<0，所以不正確；B項(xiàng)中，因?yàn)閍＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以正確；C項(xiàng)中，a＋≥2 ＝6中的等號(hào)不成立，所以不正確；D項(xiàng)中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正確． [答案]　B 題型二利用基本不等式證明不等式 【典例2】　(1)已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：a＋b＋c>＋＋. (2)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1， 求證：≥8. [思路導(dǎo)引]　(1)左邊是和式，右邊是帶根號(hào)的積式之和，所以用基本不等式，將和變積，并證得不等式；(2)不等式右邊數(shù)字為8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式，可得三個(gè)“2”連乘，又－1＝＝≥，可由此變形入手． [證明]　(1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，故等號(hào)不成立． ∴a＋b＋c>＋＋. (2)∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 由上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得≥··＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立． (1)利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過(guò)將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，從而達(dá)到放縮的效果． (2)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到． (3)解題時(shí)要注意技巧，當(dāng)不能直接利用不等式時(shí)，可將原不等式進(jìn)行組合、構(gòu)造，以滿(mǎn)足能使用基本不等式的形式． [針對(duì)訓(xùn)練] 2．已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [證明]　由基本不等式可得： a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理：b4＋c2≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 從而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 課堂歸納小結(jié) 利用基本不等式證明不等式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)注意基本不等式成立的條件； (2)多次使用基本不等式，要注意等號(hào)能否成立； (3)對(duì)不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用. 1．若ab>0，則下列不等式不一定能成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2≥2ab B．a(chǎn)2＋b2≥－2ab C．≥ D．＋≥2 [解析]　C選項(xiàng)由條件可得到a、b同號(hào)，當(dāng)a、b均為負(fù)號(hào)時(shí)，不成立． [答案]　C 2．已知a>1，則，，三個(gè)數(shù)的大小順序是(　　) A.<< B.<< C.<< D.<≤ [解析]　當(dāng)a，b是正數(shù)時(shí)，≤≤≤(a，b∈R＋)，令b＝1，得≤≤.又a>1，即a≠b，故上式不能取等號(hào)，選C. [答案]　C 3.＋≥2成立的條件是________． [解析]　只要與都為正，即a、b同號(hào)即可． [答案]　a與b同號(hào) 4．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，試證明不等式：＋＋≥6. [證明]　因?yàn)閍>0，b>0，c>0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2， 所以＋＋≥6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，＝，＝， 即a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 所以＋＋≥6. 課后作業(yè)(十一) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．不等式a2＋1≥2a中等號(hào)成立的條件是(　　) A．a(chǎn)＝±1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＝0 [解析]　a2＋1－2a＝(a－1)2≥0， ∴a＝1時(shí)，等號(hào)成立． [答案]　B 2．對(duì)x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　) A．x＋≥2 B．x＋≤－2 C.≥ D.≥2 [解析]　因?yàn)閤∈R且x≠0，所以當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都錯(cuò)誤；又因?yàn)閤2＋1≥2|x|，所以≤，所以C錯(cuò)誤，故選D. [答案]　D 3．若0<a<b且a＋b＝1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是(　　) A. B．a(chǎn)2＋b2 C．2ab D．a(chǎn) [解析]　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝. ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab， ∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<，∴a2＋b2最大． [答案]　B 4．若a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 [解析]　當(dāng)a>0，b>0時(shí)，a＋b≥2，則當(dāng)a＋b≤4時(shí)有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立． 當(dāng)a＝1，b＝4時(shí)滿(mǎn)足ab≤4，但此時(shí)a＋b＝5>4，必要性不成立，綜上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件． [答案]　A 5．已知x>0，y>0，x≠y，則下列四個(gè)式子中值最小的是(　　) A. B. C. D. [解析]　解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A. 解法二：取x＝1，y＝2.則＝；＝；＝；＝＝.其中最?。? [答案]　C 二、填空題 6．已知a>b>c，則與的大小關(guān)系是 ________. [解析]　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0. ∴＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c時(shí)取等號(hào)． [答案]　≤ 7．若不等式≥2恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝________時(shí)取“＝”號(hào)． [解析]　＝＝＋≥ 2＝2，其中當(dāng)且僅當(dāng)＝?x2＋1＝1?x2＝0?x＝0時(shí)成立． [答案]　0 8．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對(duì)一切滿(mǎn)足條件的a，b恒成立的是________(填序號(hào))． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. [解析]　令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2?ab≤1，①正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正確；＋＝＝≥2，⑤正確． [答案]?、佗邰? 三、解答題 9．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. [證明]　因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，所以，，也都是正數(shù)． 所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)． 10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證≥9. [證明]　證法一：因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋， 故＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. 所以≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào))． 證法二：因?yàn)閍，b為正數(shù)，a＋b＝1. 所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋， ab≤2＝，于是≥4，≥8， 因此≥1＋8＝9 . 綜合運(yùn)用 11．已知a>0，b>0，則，，，中最小的是(　　) A. B. C. D. [解析]　因?yàn)閍>0，b>0，所以≤＝，≥，＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b>0時(shí)，等號(hào)成立)．所以，，，中最小的是，故選D. [答案]　D 12．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，則下列各式恒成立的是(　　) A.≥8 B.＋≥4 C.≥ D.≤ [解析]　∵當(dāng)a，b∈(0，＋∞)時(shí)，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)C也不正確．對(duì)于選項(xiàng)D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，當(dāng)a，b∈(0，＋∞)時(shí)，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2，故選項(xiàng)D不正確．對(duì)于選項(xiàng)B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．故選B. [答案]　B 13．已知不等式(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2.∵(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，∴(＋1)2≥9.∴a≥4. [答案]　B 14．給出下列結(jié)論： ①若a>0，則a2＋1>a. ①若a>0，b>0，則≥4. ③若a>0，b>0，則(a＋b)≥4. ④若a∈R且a≠0，則＋a≥6. 其中恒成立的是________． [解析]　因?yàn)?a2＋1)－a＝2＋>0， 所以a2＋1>a，故①恒成立． 因?yàn)閍>0，所以a＋≥2，因?yàn)閎>0，所以b＋≥2， 所以當(dāng)a>0，b>0時(shí)，≥4，故②恒成立． 因?yàn)?a＋b)＝2＋＋， 又因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2， 所以(a＋b)≥4，故③恒成立． 因?yàn)閍∈R且a≠0，不符合基本不等式的條件，故＋a≥6是錯(cuò)誤的． [答案]?、佗冖? 15．設(shè)a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范圍． [解]　由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0. 因此，原不等式等價(jià)于＋≥m. 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可． 因?yàn)椋剑?＋＋≥2＋2 ＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即2b＝a＋c時(shí)，等號(hào)成立． 所以m≤4，即m∈{m|m≤4}． 12