2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.2.1 基本不等式學案 新人教A版必修第一冊

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1、第1課時　基本不等式 1．理解基本不等式的推導過程，掌握基本不等式及成立條件． 2．會用基本不等式證明簡單的不等式． 兩個不等式 叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 溫馨提示：“當且僅當a＝b時，等號成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 1．不等式a2＋b2≥2ab與≤成立的條件相同嗎？如果不同各是什么？ [答案]　不同，a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；≤成立的條件是a，b均為正實數(shù) 2．a＋≥2(a≠0)是否恒成立？

2、 [答案]　只有a>0時，a＋≥2，當a<0時，a＋≤－2 3．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　) (2)若a≠0，則a＋≥2 ＝4.(　　) (3)若a，b∈R，則ab≤2.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 題型一對基本不等式的理解 【典例1】　給出下面三個推導過程： ①因為a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2； ②因為a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因為x，y∈R，xy<0，所以＋＝－ ≤－2 ＝－2. 其中正確的推導過程為(　　) A．①② B．②③

3、 C．② D．①③ [思路導引]　根據(jù)基本不等式中的條件進行判斷． [解析]　從基本不等式成立的條件考慮． ①因為a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的條件，故①的推導過程正確； ②因為a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的條件， 所以＋a≥2 ＝4是錯誤的； ③由xy<0得，均為負數(shù)，但在推導過程中將＋看成一個整體提出負號后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式成立的條件，故③正確． [答案]　D 　基本不等式≥(a>0，b>0)的2個關注點 (1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)． (2)“當且僅當”的含義： ①當a＝b時，≥的等號成立

4、， 即a＝b?＝； ②僅當a＝b時，≥的等號成立， 即＝?a＝b. [針對訓練] 1．下列命題中正確的是(　　) A．當a，b∈R時，＋≥2 ＝2 B．當a>0，b>0時，(a＋b)≥4 C．當a>4時，a＋≥2 ＝6 D．當a>0，b>0時，≥ [解析]　A項中，可能<0，所以不正確；B項中，因為a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，當且僅當a＝b時等號成立，所以正確；C項中，a＋≥2 ＝6中的等號不成立，所以不正確；D項中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正確． [答案]　B 題型二利用基本不等式證明不等式 【典例2】　(1)已知a，

5、b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：a＋b＋c>＋＋. (2)已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1， 求證：≥8. [思路導引]　(1)左邊是和式，右邊是帶根號的積式之和，所以用基本不等式，將和變積，并證得不等式；(2)不等式右邊數(shù)字為8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式，可得三個“2”連乘，又－1＝＝≥，可由此變形入手． [證明]　(1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c為不全相等的正實數(shù)，故等號不成立． ∴a＋b＋c>＋＋. (2)∵a，b，c為正實

6、數(shù)，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 由上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得≥··＝8. 當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立． (1)利用基本不等式證明不等式，關鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉化為“積”式或將“積”式轉化為“和”式，從而達到放縮的效果． (2)注意多次運用基本不等式時等號能否取到． (3)解題時要注意技巧，當不能直接利用不等式時，可將原不等式進行組合、構造，以滿足能使用基本不等式的形式． [針對訓練] 2．已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [證明]　由基

7、本不等式可得： a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理：b4＋c2≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 從而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 課堂歸納小結 利用基本不等式證明不等式時應注意的問題 (1)注意基本不等式成立的條件； (2)多次使用基本不等式，要注意等號能否成立； (3)對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用. 1．若ab>0，則下列不等式不一定能成立的是(　　) A．a2＋b2≥2ab B．a2＋

8、b2≥－2ab C．≥ D．＋≥2 [解析]　C選項由條件可得到a、b同號，當a、b均為負號時，不成立． [答案]　C 2．已知a>1，則，，三個數(shù)的大小順序是(　　) A.<< B.<< C.<< D.<≤ [解析]　當a，b是正數(shù)時，≤≤≤(a，b∈R＋)，令b＝1，得≤≤.又a>1，即a≠b，故上式不能取等號，選C. [答案]　C 3.＋≥2成立的條件是________． [解析]　只要與都為正，即a、b同號即可． [答案]　a與b同號 4．設a，b，c都是正數(shù)，試證明不等式：＋＋≥6. [證明]　因為a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，

9、所以＋＋≥6， 當且僅當＝，＝，＝， 即a＝b＝c時，等號成立． 所以＋＋≥6. 課后作業(yè)(十一) 復習鞏固 一、選擇題 1．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 [解析]　a2＋1－2a＝(a－1)2≥0， ∴a＝1時，等號成立． [答案]　B 2．對x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　) A．x＋≥2 B．x＋≤－2 C.≥ D.≥2 [解析]　因為x∈R且x≠0，所以當x>0時，x＋≥2；當x<0時，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都錯誤；又因為x2＋1≥2|x|，所以≤，所

10、以C錯誤，故選D. [答案]　D 3．若00，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 [解析]　當a>0，b>0時，a＋b≥2，則當a＋b≤4時有2≤a＋b≤4，解得ab≤4

11、，充分性成立． 當a＝1，b＝4時滿足ab≤4，但此時a＋b＝5>4，必要性不成立，綜上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件． [答案]　A 5．已知x>0，y>0，x≠y，則下列四個式子中值最小的是(　　) A. B. C. D. [解析]　解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A. 解法二：取x＝1，y＝2.則＝；＝；＝；＝＝.其中最?。? [答案]　C 二、填空題 6．已知a>b>c，則與的大小關系是 ________. [解析]　∵a>b>c，∴a－b>0，b－

12、c>0. ∴＝≥，當且僅當a－b＝b－c，即2b＝a＋c時取等號． [答案]　≤ 7．若不等式≥2恒成立，則當且僅當x＝________時取“＝”號． [解析]?。剑剑? 2＝2，其中當且僅當＝?x2＋1＝1?x2＝0?x＝0時成立． [答案]　0 8．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是________(填序號)． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. [解析]　令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2?ab≤1，①正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正確；＋＝＝≥2，⑤正確． [答

13、案]?、佗邰? 三、解答題 9．設a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. [證明]　因為a，b，c都是正數(shù)，所以，，也都是正數(shù)． 所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c，當且僅當a＝b＝c時取等號． 10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證≥9. [證明]　證法一：因為a>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋， 故＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. 所以≥9(當且僅當a＝b＝時取等號)． 證法二：因為a，b為正數(shù)，a＋b＝1. 所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋， ab≤2＝，于是≥4，≥8，

14、因此≥1＋8＝9 . 綜合運用 11．已知a>0，b>0，則，，，中最小的是(　　) A. B. C. D. [解析]　因為a>0，b>0，所以≤＝，≥，＝≥＝(當且僅當a＝b>0時，等號成立)．所以，，，中最小的是，故選D. [答案]　D 12．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，則下列各式恒成立的是(　　) A.≥8 B.＋≥4 C.≥ D.≤ [解析]　∵當a，b∈(0，＋∞)時，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故選項A不正確，選項C也不正確．對于選項D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，當a，b∈(0，＋∞)時，

15、由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2，故選項D不正確．對于選項B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，當且僅當a＝b時，等號成立．故選B. [答案]　B 13．已知不等式(x＋y)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2.∵(x＋y)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，∴(＋1)2≥9.∴a≥4. [答案]　B 14．給出下列結論： ①若a>0，則a2＋1>a. ①若a>0，b>0，則≥4. ③若a>0，b>0，則(a＋b)≥4

16、. ④若a∈R且a≠0，則＋a≥6. 其中恒成立的是________． [解析]　因為(a2＋1)－a＝2＋>0， 所以a2＋1>a，故①恒成立． 因為a>0，所以a＋≥2，因為b>0，所以b＋≥2， 所以當a>0，b>0時，≥4，故②恒成立． 因為(a＋b)＝2＋＋， 又因為a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2， 所以(a＋b)≥4，故③恒成立． 因為a∈R且a≠0，不符合基本不等式的條件，故＋a≥6是錯誤的． [答案]?、佗冖? 15．設a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范圍． [解]　由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0. 因此，原不等式等價于＋≥m. 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可． 因為＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4， 當且僅當＝，即2b＝a＋c時，等號成立． 所以m≤4，即m∈{m|m≤4}． 12