《2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數的概念與性質 3.1.1.2 函數概念的應用學案 新人教A版必修第一冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數的概念與性質 3.1.1.2 函數概念的應用學案 新人教A版必修第一冊(13頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、第2課時 函數概念的應用
1.理解兩個函數為同一函數的概念.
2.會求一些簡單函數的定義域、值域.
1.常見函數的定義域和值域
2.函數的三要素
由函數的定義可知,一個函數的構成要素為:定義域、
對應關系和值域.
3.相同函數
值域是由定義域和對應關系決定的,如果兩個函數的定義域和對應關系相同,我們就稱這兩個函數是同一函數.兩個函數如果僅對應關系相同,但定義域不同,則它們
不是相同的函數.
1.已知函數f(x)=.
(1)函數f(x)的定義域是什么?
(2)函數f(x)的值域是什么?
[答案] (1)(-∞,-1]∪[1,+∞) (2)[0,+∞)
2、
2.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數的定義域和對應關系確定后,函數的值域也就確定了.( )
(2)兩個函數相同指定義域和值域相同的函數.( )
(3)f(x)=3x+4與f(t)=3t+4是相同的函數.( )
(4)函數值域中每一個數在定義域中有唯一的數與之對應.( )
(5)函數f(2x-1)的定義域指2x-1的取值范圍.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
題型一同一函數的判斷
【典例1】 下列各組式子是否表示同一函數?為什么?
(1)f(x)=|x|,φ(t)=;
(2)y=,y=()2;
(3)
3、y=·,u=;
(4)y=,y=x-3.
[思路導引] 兩個函數表示同一函數的關鍵條件是定義域相同,對應關系一致.
[解] (1)f(x)與φ(t)的定義域相同,又φ(t)==|t|,即f(x)與φ(t)的對應關系也相同,∴f(x)與φ(t)是同一函數.
(2)y=的定義域為R,y=()2的定義域為{x|x≥0},兩者定義域不同,故y=與y=()2不是同一函數.
(3)y=·的定義域為{x|-1≤x≤1},u=的定義域為{v|-1≤v≤1},即兩者定義域相同.又∵y=·=,∴兩函數的對應關系也相同.故y=·與u=是同一函數.
(4)∵y==|x-3|與y=x-3的定義域相同,但對應
4、關系不同,
∴y=與y=x-3不是同一函數.
判斷兩個函數為同一函數的方法
判斷兩個函數是否為同一函數,要先求定義域,若定義域不同,則不是同一函數;若定義域相同,再化簡函數的解析式,看對應關系是否相同.
[針對訓練]
1.與函數y=x-1為同一函數的是( )
A.y= B.m=()2
C.y=x-x0 D.y=
[解析] A中的x不能取0;B中的n≥1;C中的x不能取0;D化簡以后為y=t-1.故選D.
[答案] D
2.下列各組函數中是同一函數的是( )
A.y=x+1與y=
B.y=x2+1與s=t2+1
C.y=2x與y=2x(x≥0)
D.y
5、=(x+1)2與y=x2
[解析] 對于選項A,前者定義域為R,后者定義域為{x|x≠1},不是同一函數;對于選項B,雖然變量不同,但定義域和對應關系均相同,是同一函數;對于選項C,雖然對應關系相同,但定義域不同,不是同一函數;對于選項D,雖然定義域相同,但對應關系不同,不是同一函數.
[答案] B
題型二求函數值和值域
【典例2】 (1)已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
①求f(2)、g(2)的值;
②求f[g(3)]的值.
(2)求下列函數的值域:
①y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};
②y=x2-2x+3,x∈[0,3);
③
6、y=;
④y=2x-.
[思路導引] (1)代入法求值;(2)結合解析式的特征選擇適當的方法求值域.
[解] (1)①∵f(x)=,∴f(2)==.
又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.
②g(3)=32+2=11,
∴f[g(3)]=f(11)==.
(2)①(觀察法)∵x∈{1,2,3,4,5},分別代入求值,可得函數的值域為{2,3,4,5,6}.
②(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,
由x∈[0,3),可得函數的值域為[2,6).
③(分離常數法)y===2+,
顯然≠0,∴y≠2.
故函數的值域為(-∞,2)∪(2,+∞).
④(
7、換元法)設=t,
則t≥0,且x=t2+1.
∴y=2(t2+1)-t=2t2-t+2=22+.
∵t≥0,∴y≥.
故函數的值域為.
(1)函數求值的方法
①已知f(x)的表達式時,只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值.
②求f[g(a)]的值應遵循由里往外的原則.
(2)求函數值域常用的4種方法
①觀察法:對于一些比較簡單的函數,其值域可通過觀察得到;
②配方法:當所給函數是二次函數或可化為二次函數處理的函數時,可利用配方法求其值域;
③分離常數法:此方法主要是針對有理分式,即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式,便于求值域;
④換元法:即運用新元代換
8、,將所給函數化成值域易確定的函數,從而求得原函數的值域.對于f(x)=ax+b+(其中a,b,c,d為常數,且a≠0)型的函數常用換元法.
[針對訓練]
3.設函數f(x)=,若f(a)=2,則實數a=________.
[解析] 由f(a)==2,得a=-1.
[答案] -1
4.求下列函數的值域:
(1)y=-1;
(2)y=;
(3)y=x+.
[解] (1)(觀察法)
∵≥0,∴-1≥-1.
∴y=-1的值域為[-1,+∞).
(2)(分離常數法)
y==
==-.
∵≠0,∴y≠.
∴函數的值域為.
(3)(換元法)
設u=,則x=(u≥0),
9、
∴y=+u=(u≥0)
由u≥0知(u+1)2≥1,∴y≥.
∴函數y=x+的值域為.
題型三求抽象函數的定義域
【典例3】 已知函數f(x)的定義域為[1,3],求函數f(2x+1)的定義域.
[思路導引] 定義域是x的取值范圍,f(x)中的x與f(2x+1)中的2x+1是相對應的.
[解] 因為函數f(x)的定義域為[1,3],即x∈[1,3],函數f(2x+1)中2x+1的范圍與函數f(x)中x的范圍相同,所以2x+1∈[1,3],所以x∈[0,1],即函數f(2x+1)的定義域是[0,1].
[變式] (1)若將本例條件改為“函數f(2x+1)的定義域為[1,3]”,
10、求函數f(x)的定義域.
(2)若將本例條件改為“函數f(1-x)的定義域為[1,3]”,其他不變,如何求解?
[解] (1)因為x∈[1,3],所以2x+1∈[3,7],即函數f(x)的定義域是[3,7].
(2)因為函數f(1-x)的定義域為[1,3],
所以x∈[1,3],所以1-x∈[-2,0],
所以函數f(x)的定義域為[-2,0].
由2x+1∈[-2,0],得x∈,
所以f(2x+1)的定義域為.
兩類抽象函數的定義域的求法
(1)已知f(x)的定義域,求f[g(x)]的定義域:若f(x)的定義域為[a,b],則f[g(x)]中a≤g(x)≤b,從中解得x
11、的取值集合即為f[g(x)]的定義域.
(2)已知f[g(x)]的定義域,求f(x)的定義域:若f[g(x)]的定義域為[a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范圍,g(x)的值域即為f(x)的定義域.
[針對訓練]
5.若函數f(x)的定義域是[0,1],則函數f(2x)+f的定義域為________.
[解析] 由得0≤x≤,所以函數f(2x)+f的定義域為.
[答案]
6.若函數f(x2-1)的定義域為[-3,-1],則f(x)的定義域為________.
[解析] 由x∈[-3,-1],得x2-1∈[0,8],所以f(x)的定義域為[0,8].
[答案] [0
12、,8]
課堂歸納小結
1.對同一函數的概念的理解
(1)函數有三個要素:定義域、值域、對應關系.函數的定義域和對應關系共同確定函數的值域,因此當且僅當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數才是同一個函數.
(2)定義域和值域都分別相同的兩個函數,它們不一定
是同一函數,因為函數對應關系不一定相同.如y=x與y=3x的定義域和值域都是R,但它們的對應關系不同,所以是兩個不同的函數.
2.求函數值域的常用方法有:觀察法、配方法、分離常數法、換元法.
1.下列各組函數中,表示同一個函數的是( )
A.y=x-1和y=
B.y=x0和y=1
C.f(x)=(x-1
13、)2和g(x)=(x+1)2
D.f(x)=和g(m)=
[解析] A中的函數定義域不同;B中y=x0的x不能取0;C中兩函數的對應關系不同,故選D.
[答案] D
2.設f(x)=,則=( )
A.1 B.-1 C. D.-
[解析]?。剑剑健粒剑?.
[答案] B
3.下列函數中,值域為(0,+∞)的是( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=x2+1
[解析] y=的值域為[0,+∞),y=的值域為(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域為[1,+∞).
[答案] B
4.已知函數f(x)的定義域是[0,2],則函數g(x)=的定義域是(
14、)
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
[解析] 由f(x)的定義域是[0,2]知,
解得0≤x<1,所以g(x)=的定義域為[0,1).
[答案] B
5.已知函數f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},則函數f(x)的值域為________.
[解析] ∵x∈{1,2,3,4,5}
∴f(x)=2x-3∈{-1,1,3,5,7}.
∴f(x)的值域為{-1,1,3,5,7}.
[答案] {-1,1,3,5,7}
課后作業(yè)(十六)
復習鞏固
一、選擇題
1.已知函數f(x)=x+,則f(2)+f(-2)的值是
15、( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
[解析] f(2)+f(-2)=2+-2-=0.
[答案] B
2.下列函數,值域為[0,+∞)的是( )
A.y=x+1(x>-1) B.y=x2
C.y=(x>0) D.y=
[解析] y=x+1(x>-1)的值域為(0,+∞);y=x2的值域為[0,+∞);y=(x>0)的值域為(0,+∞);y=的值域為(-∞,0)∪(0,+∞),故選B.
[答案] B
3.下列函數與函數y=x是同一函數的是( )
A.y=|x| B.y=
C.y= D.y=
[解析] 選項A和選項C中,函數的值域都是[0,+∞)
16、;選項D中,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞);選項B中函數的定義域和值域都和函數y=x相同,對應關系也等價,因此選B.
[答案] B
4.已知函數f(x)的定義域為[-1,2),則函數f(x-1)的定義域為( )
A.[-1,2) B.[0,2)
C.[0,3) D.[-2,1)
[解析] ∵f(x)的定義域為[-1,2),
∴-1≤x-1<2,得0≤x<3,
∴f(x-1)的定義域為[0,3).
[答案] C
5.函數y=的值域是( )
A.(-∞,5) B.(5,+∞)
C.(-∞,5)∪(5,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞)
[解
17、析] ∵y===5+,且≠0,∴y≠5,即函數的值域為(-∞,5)∪(5,+∞).
[答案] C
二、填空題
6.設函數f(x)=x2-2x-1,若f(a)=2,則實數a=________.
[解析] 由f(a)=2,得a2-2a-1=2,解得a=-1或a=3.
[答案] -1或3
7.函數y=的定義域是A,函數y=的值域是B,則A∩B=__________________(用區(qū)間表示).
[解析] 要使函數式y=有意義,只需x≠2,即A={x|x≠2};函數y==≥0,即B={y|y≥0},則A∩B={x|0≤x<2或x>2}.
[答案] [0,2)∪(2,+∞)
8.已知
18、函數f(x)的定義域為(-1,1),則函數g(x)=f+f(2x-1)的定義域是________.
[解析] 由題意知即
∴0
19、4x+6,x∈[1,5);
(3)y=;
(4)y=x-.
[解] (1)∵x∈{1,2,3,4,5},∴(2x+1)∈{3,5,7,9,11},即所求函數的值域為{3,5,7,9,11}.
(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2.
∵x∈[1,5),∴其圖象如圖所示,
當x=2時,y=2;當x=5時,y=11.
∴所求函數的值域為[2,11).
(3)函數的定義域為{x|x≠1},y==-=-5-,所以函數的值域為{y|y≠-5}.
(4)要使函數式有意義,需x+1≥0,即x≥-1,故函數的定義域為{x|x≥-1}.設t=,則x=t2-1(t≥0),于是y=t2-1
20、-t=2-,又t≥0,故y≥-,所以函數的值域為{y|y≥-}.
綜合運用
11.函數f(x)=(x∈R)的值域是( )
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
[解析] 由于x∈R,所以x2+1≥1,0<≤1,即0
21、選項,f(x+1)=,f(x)+1=+1,不成立.對于D選項,f(x+1)=|x+1|,f(x)+1=|x|+1,不成立.
[答案] A
13.若函數f(2x-1)的定義域為[0,1),則函數f(1-3x)的定義域為________.
[解] 解法一(過渡搭橋):因為f(2x-1)的定義域為[0,1),即0≤x<1,所以-1≤2x-1<1.所以f(x)的定義域為[-1,1).所以-1≤1-3x<1,解得0
22、x-1與1-3x整體范圍一致,故-1≤1-3x<1,解得0